阿三造型:[转载]数学解题七策略-20110811

◆  闫瑞利

新的数学课程标准将解决问题作为一个重要目标，这是课程改革和发展的需要。通过解决问题，不仅让学生学到数学知识，更重要的是让学生学会在错综复杂的情境中，利用学过的数学知识对具体的问题做出有条理的分析，进行创造性的思考，体验探索与解决问题的过程。只有掌握了一定的解题策略，才会在遇到问题时，找到问题的思考点和突破口，迅速、正确地解题，因此，我们要适当加强数学解题策略的指导，优化学生的思维品质，提高学生分析问题和解决问题的能力。

一、转化策略

有些题目，按原题意进行分析，数量关系比较复杂、抽象，解答起来很困难和无法解答，这时，如果我们转换一下思路，改变方式进行思考，探求新的解题途径，常常可以使问题得到解决。

【例题】快、慢两车分别从甲、乙两城同时相对开出，经过2小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过1.5小时，快车到达乙城，这时慢车距甲城还有40千米，求甲、乙两城的距离。

【剖析】因两车从相遇到离开用的时间相同，所以我们可转化成两车同时从两城相向而行，2个小时行完了1个单程，而相遇后合行1.5小时比行完全程少40千米，说明两车合行（2-1.5）小时，恰好行了40千米，则两车1小时合行40÷（2-1.5）=80（千米），此时很容易求出甲、乙两城相距80×2=160（千米）。

二、变中抓不变策略

一个数量的变化，往往会引起其它数量的变化。如“某班转来5名男生”，男生人数变了，总人数自然也跟着变了，男生与女生、男生与总人数之间的倍数关系也变了。只有注意到这些变化，才能防止出错，在诸多变化的条件中，也常常会有些不变的量，有些题目又往往需要我们抓住不变量，从不变量入手解决问题。

【例题】2006年学校田径队里的女同学人数是全队总人数的2/5，2007年又吸收2名女同学，这样女同学人数是全队总人数的3/7，2007年田径队有多少人？

【剖析】题中的2/5和3/7虽然都是以全队总人数为单位“1”，但因为2007年又吸收2名女同学使2007年与2006年总人数发生了变化，自然这2/5和3/7的单位“1”不同，不能用（3/7-2/5）来当作2名女同学对应的分率。我们仔细审题就会发现，尽管女同学人数和全队总人数都是变化的量，而男同学的量却始终没有变。因此，抓住男同学不变为单位“1”，就能迎刃而解了。根据条件可知2006年全队学生是男同学的5÷（5-2）=5/3，2007年全队总人数是男同学的7÷（7-3）=7/4，很明显7/4与5/3的差1/12,对应的量就是2人，这时可先求出男生：2÷1/12=24（人），再求2007年全队人数：24÷（1-3/7）=42（人）。

三、类比推理策略

运用“类比推理”的策略，有助于同学们解决教学中的某些特殊问题。

【例题】一盒饼干，分给幼儿园大小两个班的儿童，每人可分得8块，只分给小班，每人可分得24块。问只分给大班，每人可分得几块？

【剖析】这道题，有些学生感到比较生疏，无从下手。其实，只要我们“类比推理”到工程问题上来，就能很快把这道题解出来。我们把这盒饼干看作一项工程，“分给幼儿园大小两个班的儿童，每人可分得8块”看作两个班合作完成，那么他们的工效之和就是1/8，把“只分给小班，每人可分得24块”，看作单独由小班完成，很明显小班的工效是1/24，由此得出大班的工效是：1/8-1/24=1/12。要求只分给大班，每人可分得几块，根据工程问题的数量关系，可列式计算为：1÷（1/8-1/24）=12（块）。所以，只分给大班，每人可分得12块。

四、假设策略

有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手，这时，可先假设某一数量与另一数量相等，使题目明朗化、简单化，从而找到对应关系，使问题得到解决。

【例题】甲、乙二人共需做零件140个，甲做自己任务的80%，乙做自己任务的75%，这时甲、乙共剩下32个零件未完成。问甲、乙二人原来各需做多少个零件？

【剖析】假设甲、乙均做自己任务的80%，即甲乙均差20%未完成任务；甲任务的20%与乙任务的20%的和便是甲、乙总任务数的20%，也就是140×20%=28（个）。现在已知甲、乙共剩下32个零件未做，32-28=4（个），这4个零件对应于假设乙多做了自己任务的（80%-75%），即5%，这样，可以求出乙数原来需做的零件数应是（32-140×20%）÷（80%-75%）=80（个），进而可求出需做的零件数为140-80=60（个）。

五、还原策略

还原就是从题目的问题或结果出发，一步一步进行逆向推理，逐步靠拢条件，直至这些条件是已知的，那么倒回去，就能求得所求的结果了。

【例题】水果店里卖苹果，第一天上午卖出总数的1/4又5千克，下午卖出余下的1/2又2千克，第二天上午又卖出余下的1/3少2千克，还剩下20千克，问水果店里原来共有多少千克苹果？

【剖析】从最后的结果“20千克”倒推出（20-2）千克是第一天下午余下的2/3，由此求出第一天下午余下的苹果为（20-2）÷（1-1/3）=27（千克）；根据下午卖出余下的1/2又2千克得知，（27+2）千克是第一天上午余下的1/2，可以求出第一天上午余下的苹果为（27+2）÷（1-1/2）=58（千克）；从第一天上午卖出总数的1/4又5千克说明（58+5）千克是总数的（1-1/4），因此水果店里原来有（58+5）÷(1-1/4)=84(千克)苹果。

六、列举分析策略   

一些题的数量关系较复杂，分析时可先将题中已知条件一一列举，然后再进行综合分析，就能寻求出解题途径。
【例题】今年二月的一天，有三批同学到王老师家，每批的人数不相等，没有单独一个人来的。三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几个人？

【剖析】这道题有三个条件，我们可以列举如下：（1）这是二月的某一天；（2）三批学生的人数都不相同，且都不为1；（3）三批人数的乘积正好等于二月某一天的日期数，即不大于29。根据以上列举的条件，可判定有两种可能性:2、3、4或2、3、5。由于2×3×4＝24,24＜29，2×3×5＝30，30＞29，因此，这三批学生的人数分别是2人、3人、4人。

七、找规律策略

寻找规律是解决数学问题最常用有效的方法。碰到较为复杂的问题可以先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出一般规律，然后用得出的一般规律去指导问题的解答。

【例题】有一列数，第一个数是1，第二个数是2008，以后每个数都是前两个数的差（以大数减小数），问第2008个数是多少？

【剖析】根据题意我们可以得出这样的排列：1、2008、2007、1、2006、2005、1、2004、2003、1、2002、2001、1………从左向右观察，分析这列数，我们可以把每三个数分为一组，每组中第一个数是1，每组中的后两个数是按照从大到小的顺序排列的。2008÷3=669……1，所以我们可以判断第2008个数是1。

使学生成为有效的问题解决者，既是小学数学教学的目标，又是对小学数学教师的挑战。为了能够更有效地提高学生的解题能力，我们应该把解题的主动权交给学生，提供给学生更多的展示属于他们自己的思维方式和解题策略的机会，引导学生在解题实践中注意不断思索探求、逐步积累解题经验，以掌握更多、更具体的解题方法和思维策略。