递减数列:【转帖】深入理解课标教材　努力提高教学质量（人教社中数室李海东）-初中数学园地（撰稿家园）...

人教版初中数学课标教材于2003年经教育部中小学教材审定委员会审查通过，2004年秋起在全国课程标准教材试验区开始使用。2007年，本着“尊重实验检验，深入研究问题，不断提高质量”的态度，人教社中数室又对教材进行了修订。教材使用几年来，笔者通过教材研讨会、教材培训回访、教材实验情况调查、读者来信等，收集到了许多教材使用中的意见和建议。在对这些问题认真思考的基础上，现将一些共性的问题整理出来，供广大教师和教研员参考，希望对于教学的研究与实践有所帮助。

一、关于教材的知识体系安排

课标实验教材中代数、几何不再分科，而是综合安排课程标准规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”几部分教学内容。因此，教材的体系结构与以往的大纲教材相比，发生了很大的变化。为了更好地让教师理解编者的意图，现将几个问题说明如下。

1．代数预备知识的处理

在数与代数领域，基本内容仍然是数、式、方程（组）、函数等。为了突出方程、函数等重点内容的学习，教材对于代数式的相关内容作了分散处理。在2007年以前的课标实验本教材中，教科书是利用分配律，将有理数的运算引伸到相同字母因数的式子的加减法及去括号问题，在解一元一次方程时，对相关的代数预备知识进一步巩固，最后再在前面已有具体的、分散的对式的学习的基础上，安排整式、分式和二次根式各章，对代数式的有关内容进行较系统的学习。实际上，代数式的内容是学习方程、函数等内容的预备知识，而我们在研究一次（一次方程、一次函数）的问题时，用到的代数知识也就是最简单的含有一个相同字母因数的式子的合并同类项、去括号等。因此实验教材的这种安排在逻辑上是没有问题的。

教科书的这种“分散安排、够用即可”的处理方式，体现了数学知识的本身的发生发展过程。但是，由于实验教材与原来大纲教材变化很大，很多教师难以适应。也有教师指出，教材的这种处理对教师、学生的要求都比较高，对于一些基础比较差的学生，在学习有理数的运算后对于由数到式的自然过渡不适应，解方程时出现欠缺必要的预备知识的难点，不利于对基本运算技能的掌握。考虑到这些意见，2007年教科书对这个问题进行了修订。将整式的运算分成两部分，“整式的加减”的内容单独安排一章，放在“有理数”和“一元一次方程”之间，作为学生学习“一次”内容（式、方程、不等式、函数等）的预备知识；“整式的乘除与因式分解”安排为另一章，放在“一次函数”内容之后，作为学生进一步学习“二次” 内容的基础。这种处理，既保持了教科书对于代数预备知识“突出重点、分散安排”的处理原则，又使得相关内容比较集中，利于教师教学，从一年来教学实验的反馈信息来看，教师对此调整还是比较认可的。

2．函数内容的安排

课标教材改变了大纲教材“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，使方程和函数内容交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。这样处理，一方面克服直线式发展所产生的不易理解消化的弊病（原大纲教材的“函数”内容一直是教学的难点），分阶段地不断地深化对方程和函数的理解；另一方面强化基本概念之间的内在联系，从函数角度提高对方程等内容的认识，“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式”等就是为此而特意安排的内容。

这种处理，还是得到大部分教师的认可的。我们知道，函数内容历来是初中代数的重点，也是难点。难就难在它是反映事物间运动变化关系的数学模型，是由常量数学到变量数学的一个过渡。教材在处理这部分内容时，对于如何克服这个难点也作出了很多努力。在呈现概念时，无论是正比例函数和一次函数，还是后面研究的反比例函数、二次函数、三角函数等，教科书都是通过大量的实例（图象的、表格的、解析式的），向学生展示不同函数所反映的运动变化的规律；在研究它们的图象和性质时，注意加强类比，突出研究方法的引导，突出“观察图象反映的变化规律——用自然语言描述变化规律——用符号语言描述变化规律”的三步曲等等。教学中要注意理解教材的这种安排，使得学生对这种运动变化的数学模型有一个长时间的认识过程。不要开始就一步到位，将许多原来初三复习时的综合题目拿来处理。否则不是“难点分散”，而是“难点提前”了。今年秋开始使用的修订后的八上教材中，我们也将“一次函数”的内容适当地作了后移，这也是为了适应学生的认知规律，让学生更好地理解函数内容。

3．平面直角坐标系位置

在原大纲教材中，平面直角坐标系的内容安排在函数内容之前，坐标系的内容仅只是为了研究函数。在课标教材中，为更好地反映数与形之间的内在联系，提前安排了平面直角坐标系的内容（七年级下学期，第6章），使坐标这种能充分体现数形结合思想的工具能更早更多地得到使用。坐标系的内容不仅用于研究函数，也用于其他方面，如用坐标方法分析平移变换、对称变换等的本质特征，处理某些图形问题，加深对函数及二元一次方程组、不等式等的认识等。

教科书提前安排平面直角坐标系的内容，主要是为了尽早的把这个数形结合的工具给学生。在平面直角坐标系中，一个有序数对（x，y）可以和平面上的一个点建立一一对应关系，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用代数方法研究几何问题，又可以用几何方法研究代数问题。对于平面直角坐标系的这种桥梁作用，教学中要充分重视。另外，在课程标准中，坐标系的内容是放在“空间与图形”领域的，教科书也是从位置确定的角度引入的，这与大纲教材不同，教学中要引起注意。此外，由于七年级下学期初学生还没有学习实数，“平面直角坐标系”一章主要研究的是点与有序整数对的对应关系，要注意把握这一教学要求。

4．圆与相似的位置

本套教科书中，“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：

首先，在课程标准中，相似是图形变换的一个内容，教科书也是将它作为一种图形的变换处理的。对于图形的变换，按照由简单到复杂的顺序，教科书先安排的平移、轴对称、旋转等全等变换，后安排相似变换。而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。

其次，对应课程标准中“圆”的内容，已经删去诸如“弦切角”“圆幂定理”等教学内容和教学要求，学习圆的相关知识，用不到相似的知识储备。即便是修订的课程标准（征求意见稿）中增加了有关定理（弧、弦、圆心角的关系、垂径定理、圆周角定理、切线的判定和性质定理等）的证明，也不需要相似的知识。因此，可以把相似放在圆后来学习。

另外，把相似的内容安排在圆之后，还可以把圆中的一些问题作为研究相似的应用来处理。例如作为相似三角形判定和性质的应用，教科书安排了相交线定理的例题（没有给出定理名称），以及一些与圆有关的习题等。这样也能复习有关圆的知识，加深学生对与圆的理解。“把圆中的一些问题作为研究相似的应用”与“把相似作为工具来研究圆”这两种处理方式中相似的作用是不同的，相应的难度也是不同的，这一点也请老师们注意。

二、关于教材对一些内容的处理

课标教材的编写中充分注意体现普及性、基础性和发展性，在知识内容的处理上，重视科学、关注文化；重视基础、返璞归真；重视思想、立足发展。素材选取注意贴近生活，内容呈现注重过程，注意体现学生的主体地位，引导学生思维等。下面就几个具体问题加以说明。

1．注重知识之间的联系

课标教材的编写特别重视知识之间的联系，通过相关内容的呈现，引导学生认识数学知识之间的联系，感受数学的整体性，教学时应注意到这一编写意图。

在数与代数领域，有理数及其运算是一切运算系统的基础。让其他运算的对象和数作类比，让其他对象的运算和数的运算作类比，可以使我们得到很多研究方法方面的启示。例如，在“整式的加减”中，由于式子中的字母表示数，合并同类项和去括号实际就是利用有理数乘法对加法的分配律；“整式的乘除”中，各种法则实际上就是有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算时将数字换成字母的一般情形；“分式”中，分式的概念、分式的性质、分式的运算也完全可以看作是分数的相关内容的拓展；“二次根式”中，将二次根式化为最简根式后，二次根式的加减也就类同于整式的合并同类项，也就是利用有理数的分配律，等等。教材编写时充分注意到上述联系，重视数的基础地位，类比数的运算法则和运算律学习式、方程、函数的相关内容，使学生的学习形成正迁移。

在“空间与图形”领域，教科书按照“从感性直观认识逐步上升到理性本质认识，从对静止状态的认识发展到对运动状态的认识，从定性描述向定量刻画过渡”的顺序编排这个领域的内容，注意在教科书各处对于“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”之间的联系。例如，教科书将等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章，学习等腰三角形时，充分利用它的轴对称性，发现等腰三角形的一些性质，为利用三角形全等的知识证明性质提供思路。将图形的运动与图形的认识、图形的证明有机整合，利用运动研究图形，得到图形的性质，再通过推理证明这些结论。

在“统计与概率”领域，注意渗透统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数据对总体的可能性进行估计等。教科书安排的反映课程标准“实践与综合应用”领域的课题学习和数学活动，更侧重于体现探索性和研究性，更关注把数学和社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会数学知识之间以及数学与外界之间的联系。

2．关于与实际问题的联系

教科书编写中，我们力求贯彻理论联系实际的原则，更加强调数学知识的背景（实际的和数学内部的），内容素材的选取力求贴近学生的生活实际和社会现实，并注意把所学到的知识应用到解决实际问题中去。教科书中方程、函数等内容均注意尽可能以实际问题为出发点和归宿，在分析和解决实际问题的过程中，建立数学模型，讨论有关概念和方法，然后再运用所学知识进一步探究新的实际问题，提高对数学内容及其应用的理解，从而体现“实践—理论—实践”的认识过程。例如，第3章“一元一次方程”中，全章改变了“概念──解法──应用”的传统教材结构，而以实际问题为主要线索，将概念与解法融于对实际问题的分析和解决过程之中。

模型思想是课标对“数与代数”领域的一个重要要求，教材的这种处理，体现了知识的来龙去脉，将原来教学中的“列方程”这一难点分散，有利于学生理解方程的本质，同时学生解决实际问题的能力也有提高。对此，也有一些老师提出了不同意见，认为将列、解方程合在一起造成了难点集中，一节课中列方程已经花了很长时间，没有时间再去讲解方程，造成学生解方程的技能下降，还是原来“概念──解法──应用”的模式有利于学生对基本技能的掌握。对此，教材修订时进行了充分的考虑。2007年后的新版教材在基本保持原来体系的基础上，降低了引入的实际问题的难度，增加了一些基本的解方程的例、习题，删去了一些较难的问题等。同时，教学时也应注意，教材“实际问题──方程──实际问题”的循环是一个总体上的要求，并不要要求每一节课都要学生经历这样的过程。例如在第一课时利用较简单的实例引入相关内容，介绍相应的解法后，后续课时可以安排纯粹解方程的练习课，以巩固基础知识和基本技能。

3．循序渐进的安排推理与证明的内容

对于推理能力的培养，教科书按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排，使推理论证成为学生通过观察、探究得到数学结论的自然延续。教科书从七年级开始渗透推理的初步训练，到七年级下学期的“第7章 三角形”中结合三角形内角和开始正式出现证明。在以后各册中，对于推理证明的要求一以贯之，逐步培养学生的逻辑思维能力。对于教材的这种处理，实验教师还是充分认可的。也有教师提出，教材对于推理证明的这种安排很好，但教师教学中如何把握好各个阶段的具体要求？

对于一个需要推理证明的问题，从开始思考这个问题到最后表示出完整的证法是需要一个过程的，我们首先需要分析这个问题的各种条件，寻找证明思路，然后理清证明过程，最后才能把它完整的表达出来。同样，学生接触推理证明也需要一个循序渐进的过程。开始阶段，得到结论后，要问个为什么，要讲点道理，这时讲的道理可能不完整，但能把关键的内容说出来，这就是“说点儿理”，例如教材对“等角的补角相等”的处理。进一步，学生能把一个简单的思维过程完整叙述出来（文字语言），这就是“说理”，例如教材对“对顶角相等”的处理。再进一步，用简单的三段论推理的形式表述一个一步到两步的推理（这时有文字语言、也有符号语言），这就是“简单推理”，例如教材由“两直线平行同位角相等”推出“两直线平行内错角相等”。最后，能用数学符号语言完整的表述一个思维过程，就是“用符号表示推理”，即“证明”，例如教材中“三角形内角和定理”的证明。

4．概率内容的处理

了解概率的意义，是课标的要求，不同的教材对概率定义的处理方式有所不同。人教版课标教材修订前后对概率的意义的处理也不相同，修订前教材是“先介绍用频率估计概率，再讲简单事件的概率计算”，修订后是“先讲简单事件的概率计算，再介绍用频率估计概率”。为什么要做这样的改动呢？

在概率论的历史上，人们曾经从不同角度、在不同层次上给出概率的定义。这包括古典概率定义，几何概率定义、概率的频率定义、概率的公理化定义等。这四个定义，体现了概率定义“从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象”的逐步变化，也反映了人们对概率的认识所经历的过程。、

修订前教材中从掷硬币试验说起，是想借助具体问题说明频率的稳定性，引出概率的频率定义。但是实际教学中，学生对此的理解却存在较多障碍。由于频率是随机的，而概率是一个客观存在的常数，试验中出现频率与概率的偏离程度较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。为什么大量重复试验中频率会稳定？是稳定在一个常数附近还是在一个范围？这个常数为什么是0.5，而不是0.5001或0.4999？类似这样的问题学生理解起来是很困难的。修订后教材改变了顺序，先从掷硬币试验仅有两个结果说起，再分析硬币质地均匀使得两个结果出现的机会均等，这是客观的、有道理的，从而使学生较容易地接受了正面向上的可能性是0.5。然后再说明大量重复试验会反映客观规律，而规律是合乎道理的，从而进一步解释在一般情形下频率的稳定性，引出概率的频率定义。这种做法使得教学过程顺利得多，学生对试验中出现的频率偏离概率的现象也能接受了。

三、对于一些具体问题的讨论

1．有理数乘法

对于有理数的乘法，不同的教材有不同的处理方式，有的直接是“规定”；有的采用“归纳”的方法，利用一些特殊值，从“正×正”到“正×负”再到“负×负”。在有理数的乘法中，对于“正×正”“正×负”“负×正”不难理解，问题的焦点在“负负得正”上。有理数的乘法法则可以说是一种“规定”，但是这种“规定”是有其合理性的，其核心就是要在正有理数扩充到全体有理数后，其运算律（特别是分配律）保持不变。例如，要使分配律保持不变，就必须有

（－3）×（－5）

＝（－3）×（0－5）

＝（－3）×0－（－3）×5

＝0－（－15）

＝15

这也就是“负负得正”。

人教版教科书在初次送审时。采用的是这种“保持分配律”的做法。这种做法，体现了数域扩充中的规定的合理性，但比较数学化，学生不易理解。为此，审查委员希望我们能找到一种联系实际的问题情境，体现有理数的乘法法则。这也就是目前教材的处理方式。采用联系实际的处理方式，对于“负负得正”来说，就是要找到两个具有相反意义的量，它们互相之间还要存在倍数关系。如果这两个量都在三维空间，必然引起混乱。为此，必需有一个量是时间，另一个在三维空间。经过反复考虑，教科书最终采用了小蜗牛在数轴上爬行的例子。

对于教科书的做法，也有一些教师表示不好理解。实际上，对于这个例子，我们可以把“过程”和“结果”一起来看。例如，对于“负负得正”的情况，由于小蜗牛一直在以每分2cm的速度向左爬行，3分前它应该在原点右边6cm处，也就是＋6处，再加上向左爬是－2，3分前是－3，这就是（－2）×（－3）＝＋6。这样，给“负负得正”一个联系实际的直观解释，有利于引起学生兴趣，也有助于它们理解相关内容。

2．总体与个体的定义

关于总体和个体，在不同的概率统计的工具书、专著以及教材等文献上，有不同的界定。有的把全体研究对象作为总体，每一研究对象作为个体；有的把全体研究对象的数量指标取值（如身高）作为总体，每一研究对象的数量指标取值（如身高）作为个体。目前修订的人教版课标教材采用前一种方式。

实际上，每一种说法中，总体与个体是按照同一解释界定的。虽然两种说法不尽相同，但是前者所说的总体、个体与后者所说的总体、个体之间存在一一对应关系，这就是说两者所反映的总体和个体的从属关系是完全一致的。两者仅有说法上的差别，而本质相同，它们并不矛盾，没有对错之分。把所有研究对象作为总体，每一研究对象作为个体，能简明地反映调查范围及总体与个体的从属关系。在调查多种数量指标的问题中，对应于不同个体取多维数量指标值，表达更方便、简明和清晰。而直接把所有研究对象的数量指标取值作为总体，可以强调调查目的，而且对导出总体的分布的表述也比较自然。

教学中，在总体和个体的概念上，重点是它们之间的从属关系，而不在于不影响这种关系的的定义方式上。很多概念不必过度挖掘，只要学生明白其基本意义就可以，过分强调非本质的表述，可能导致重点的偏离。

3．信息技术的使用

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响，信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，重视现代信息技术的使用也正是本套教材的特点之一。教科书将科学计算器作为必学内容，可以利用科学计算器进行一些较复杂的运算，进行验算，帮助探索一些结论等。对于计算机软件，教科书安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，包括利用计算机软件描述和分析数据，探索函数图形的性质，在图形的运动变化中探索其中不变的位置关系和数量关系等。有条件的学校，应当尽可能多的使用信息技术工具，帮助学生更有效地学习数学。

对于科学计算器的使用，应当注意在保证学生对基本的运算规则理解的基础上使用，要保证一定程度的笔算的训练，不能削弱对运算的基本要求。教科书在“有理数”一章修订时，将对使用计算器的介绍调整到有理数的四则运算后也说明了编者对这一点的考虑。

4．习题的处理

教科书对于练习、习题的处理，是按照“使练习、习题成为学生学习正文内容的自然延续”的原则来安排的。练习题的安排，不是简单的课时划分，而是根据内容的需要来安排。对于习题，改变了以往根据题目难度分为A、B组的方法，而是按照习题功能设置了“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次。“复习巩固”层次的习题主要是让学生复习本节（章）所学的基础知识和基本技能；“综合运用”层次的习题体现了知识间的相互联系，是要学生综合运用本节（章）所学知识去解决问题（包括实际问题和数学内部的问题）；在此基础上，“拓广探索”层次的习题的综合性、实践性更强（不仅是难度的提高），为学生提供了更充分发展的空间。

对于教科书练习、习题的处理，实验教师也是充分认可的。也有教师指出，练习、习题中基础题目数量偏少，是不是会减少对学生基础知识和基本技能的训练？从教材编写的角度考虑并不是这样的。由于后面两个层次的习题编制较难，所以教材编写时是作为重点考虑的，但这并不意味着不要基础训练。实际上，教学时对“复习巩固”的题目稍加变式就能得到新题目。这次教材修订在练习、习题中适当的增加了一些基础题目，也是希望达到一定的训练量，进一步巩固基础知识和基本技能。