躲过最大电流:工程力学短柱

8.  屈 曲

8.2  理论知识

8.2.1  不同边界条件下的柱屈曲

1.3.1节利用放在两个圆形铅笔上的直尺和放在一个圆形铅笔上的直尺试验说明了稳定平衡和不稳定平衡的概念。稳定平衡和不稳定平衡的概念也可以通过另外一种方式来说明。图8.la所示为一弹性杆，底部铰支，顶部由刚度为k的弹簧水平支承。杆的顶端施加有一轴向压力P。当杆顶部发生水平位移时，关于点O会产生一干扰力矩和回复力矩。当时，意味着结构处于稳定平衡状态；当时，意味着结构处于不稳定平衡状态；当或时，意味着结构处于临界状态，这里的即为临界荷载[8.1]。

考虑两个两端铰支、截面尺寸相同的柱子，其中一个为短柱（图8.2a), 即柱长度与柱截面尺寸在同一数量级上；而另外一个为长柱（图10.2b)，即柱长度要比其截面尺寸大得多。随着柱顶端压力P的不断增加，可以观察到：

★ 短柱将产生轴向压缩，其值与所施加的荷载值成正比。当压力值达到屈服荷载后，柱发生塑性变形。这里的屈服荷载可定义为柱截面面积与材料屈服强度的乘积。撤掉荷载后，柱的塑性变形不可恢复，即产生了永久变形。图8.2a给出了短柱的荷载与轴向变形关系。

图8.2  不同柱的屈曲现象比较[10.2]

★ 当作用在无缺陷细长柱上的荷载值P较小时，柱会保持竖直。当荷载达到临界荷载时，柱在微小侧向扰动下会突然产生较大的侧向位移。这里的临界荷载可定义为柱截面面积与临界应力的乘积，相应的失效模式即为屈曲。细长柱屈曲时通常仍处于弹性状态，相应的临界应力也要比材料屈服应力小得多。图 8.2b给出了无缺陷细长柱上的荷载与柱中侧向变形间的关系。

★ 实际情况下，细长柱不可能是绝对直的。假定初始缺陷为柱中初始挠度 ，则柱中侧向变形将随着荷载的增加而不断增长。当荷载达到某值后，柱将因较大的侧向变形而破坏，该荷载值通常小于无缺陷柱的临界荷载。图8.2c。给出了有缺陷细长柱的荷载与柱中侧向变形间的关系。

很明显，受压短柱与细长柱的破坏模式是不同的。短柱的破坏主要与材料受压屈服强度和柱截面面积有关，而与材料的弹性模量、柱的长度和截面形状无关。细长柱的破坏主要与柱的长度、材料弹性模量、柱截面的面积及形状有关，而与材料屈服强度无关。

图8.3a所示为一两端铰支的无初弯曲柱。在柱顶端施加通过柱中性轴的竖向集中压力，不断增加压力值直至柱产生图8.3b所示的变形。在此变形状态下建立平衡方程，以揭示屈曲现象的本质。如果将图8.3b逆时针旋转，则变为一根梁在两端压力作用下的弯曲变形状态。这样在第7章中介绍的梁受弯理论可用来建立柱屈曲变形时的基本平衡方程。为得到柱的平衡微分方程，取如图8.3c所示的隔离体。在距离柱顶点为y的截面处侧向位移为u，相应的弯矩为，这里的P为柱顶压力。柱内力与柱顶压力P一起维持隔离体的平衡。利用式（7.2）可得：

     或             （8.1）

求解式（8.1）可得到简支柱的屈曲临界荷载表达式为[10.1，10.3]：

                    （8.2）

上式表明，屈曲临界荷载与截面抗弯曲刚度EI成正比，与长度的平方成反比；增加柱截面惯性矩I或减小柱长度L可以提高屈曲临界荷载值。

图8.3  两端铰支柱的屈曲变形

具有不同边界条件柱的屈曲临界荷载可以用类似的方法导出，并用与式(8.2）类似的形式表达。由此得到屈曲临界荷载的统一表达式为：

                     （8.3）

式中，为考虑不同边界条件的柱的有效长度。表8.1列出了四种不同边界条件下的柱屈曲临界荷载值。可以看出，两端固定柱的临界荷载值是两端铰支柱的4倍，而两端铰支柱的临界荷载值是悬臂柱的4倍。当作用在柱顶端的集中力接近其临界荷载值时，柱的有效刚度趋于零。

表8.1   不同边界条件下的柱屈曲临界荷载值比较

8.2.2 梁的侧向弯扭屈曲

梁的主要功能是通过弯曲来承受竖向荷载的作用，其在竖直平面内的变形随荷载增加而不断增大，直至跨中截面因完全进人塑性而破坏。这仅在梁侧向受到约束或者无侧向位移时才成立。如果没有侧向约束，在荷载的作用下梁先在垂直于中性轴的竖直平面内产生弯曲变形，随着荷载不断增大，梁会突然产生侧向弯扭变形，而此时梁尚未完全进人塑性状态。这种失效模式称为梁的侧向弯扭屈曲，即梁的破坏是由其侧向弯扭变形引起的[8.2，8.4，8.5] 。

图8.5  矩形梁的侧向弯扭屈曲

考虑一均匀的弹性直梁，无初始弯曲和扭转（图8.5)，在yz平面和xz平面内简支。在yz平面内对梁的两端施加弯矩，不断增加弯矩至梁发生如图8.4所示的变形。对此变形状态建立平衡方程以揭示梁的侧向弯扭屈曲本质。图8.4给出了截面A–A在发生侧向变形前后的几何关系，可以看出侧向变形包括侧向线位移u和扭转角位移两部分。要确定临界荷载就要同时考虑这两种位移。其平衡微分方程为[8.2]：

                   （8.4）

式中，为梁截面绕y轴的惯性矩，G和J分别为剪切模量和极惯性矩或截面扭转常数（参见第5章）。对于矩形截面有，b和h分别为梁截面的宽度和高度。

式（8.4）与式（8.1）具有相同的形式，采用类似的处理或简化分析方法，可以得到与柱临界荷载类似的梁临界弯矩表达式如下：

                    （8.5）

式（8.5）中同时包含了梁的侧向抗弯刚度和抗扭刚度，因而反映了梁侧向弯扭屈曲变形（图8.5）的耦合本质。

对矩形截面梁（高h、宽b)，有，，代人式（8.5）得：

                    （8.6）

式（8.6）表明了梁的临界弯矩与其截面高度以及宽度的三次方成正比，而与梁的跨度成反比。因此要增大临界弯矩，增加梁的宽度要比增加其高度更有效。

式（8.5）和式（8.6）是在梁受等弯矩作用情况下得出的。对于自由端作用有集中荷载的悬臂梁，与固定端相距z处截面的弯矩为：

                    （8.7）

将式（8.7）代人式（8.4），整理得[10.4]：

          （8.8）

式（8.8）将在8.3.3节得到验证。