九乡新闻网豪爵摩托车专用机油:de Moivre定理
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/28 05:24:26
辗转相除法
设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。
原理及其详细证明
在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：
对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：
推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）
推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除
因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c
所以：(a±b)也能被c整除
推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b
因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1
所以：a=b
辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。其理论如下:
如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的: 设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)
证明：
∵a为m,n的最大公约数，
∴m能被a整除，且n也能被a整除，
∴由推论1得：qn也能被a整除，
∴ 由推论2得：m-qn也能被a整除，
又 ∵m-qn=r，
∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数）
∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数
∴a≤b，
棣莫弗(de Moivre)定理
设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:
Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
其实该定理可以推广为一般形式:
圆排列
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式：
n个不同元素的m-圆排列数为 n!/[(n-m)!*m]
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].
证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]
如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,
Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)
这和指数的可加性一致.