谷歌地球手机版:从平均变化率到瞬时变化率

在本次课题活动中，笔者有幸承担了“选修2—2中第一章导数及其应用  1.1变化率与导数（第一课时）”研究课的任务。这是一节概念课，笔者针对研讨过程中提出的有关问题，结合自己的教学实践，谈谈对这堂课的几点想法。

1．合理处理教材

教材是教学活动的重要依据，它提供了教学活动的基本线索，需要我们“深入”教材，认真研究，但这并不等于要“照搬”教材，而是要根据教学的实际情况对教材进行“再加工”。

1.1 根据教学目标安排教学内容

本节的教学目标是：(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；(3)体会导数的思想及其内涵。经过与专家们的讨论，笔者理解了这三点之间的关系：重思想引导，轻形式化表述；重实践认知，轻“机械操作”。这里用“大量实例”的目的在于让学生能真正体验“导数就是变化率”，为“体会导数的思想和内涵”提供平台，这是实现教学目标的核心。鉴于此，在教学设计时，笔者没有按照教材的安排操作，而是以教学目标为基点，对教学内容作了如下安排：第一课时是从平均变化率到瞬时变化率（平均变化率的几何意义放在第三课时），第二课时是从解析式的角度进一步理解导数，第三课时是从割线到切线理解导数的几何意义。这样设计，一方面突出了大量的体验，另一方面也体现了新课程“螺旋式上升”的思想。

1.2 “两个问题”的顺序

课本先以“两个问题”（气球的膨胀率、高台跳水）为背景讲平均变化率，再从平均变化率到瞬时变化率。在教学过程中笔者也是按照这样的顺序。课后许多专家提出意见：能否调整两者的顺序；还有人认为可以只讲高台跳水。实际上自己在上课的过程中也发现学生对气球的膨胀率比较陌生，对高台跳水反而比较熟悉。在物理学习中，学生对平均速度已经非常熟悉，所以，交换两个例子的顺序甚至只讲高台跳水问题还是值得采纳的意见。

通过自己的实践和课题组的讨论，笔者认识到，深入理解教材的编写意图是搞好教学的前提，同时也要注意根据学生实际水平设计教学。

2．合理运用教学方法

对“气球的膨胀率”，笔者原先试图以下列问题引导学生探究：（1）以学习小组的形式，吹气球，观察，并思考每次吹入体积差不多的气体，气球变大的速度一样吗？为什么？(2)如何从数学的角度描述这种现象？(3)当气体容量从增加到时，气球的平均膨胀率是多少?引导学生观察现象、从特殊到一般地进行探究。但实际效果不理想，原因是学生不知道平均膨胀率是，由此，问题也就起不到引导探究的作用。

为了“化深奥为平易”，笔者认为应当发挥图象的作用。于是把问题改为：（1）取相同的观察的变化情况？取相同的观察变化相同吗？那哪段上气球变大得快呢，为什么？（2）若取不同的、那哪段上气球变大得快呢，为什么？其意图是：让学生先探究或之一变化时气球膨胀的快慢（学生容易回答），再探究、同时变化时的情况（学生很难回答此问题），在此基础上再给出平均变化率的概念。使学生从“数”和“形”两个角度分析比较变量的变化快慢问题，可以使平均变化率概念的引入更直观，学生也更容易理解。

本节课的另一个内容在求时的瞬时速度。教学中，笔者采用了教材中的方案：先求出这段时间内平均速度，然后取好、、……请学生算出，再观察，最后得出当越来越接近于0时的变化趋势。在这一过程中，学生算了、看了，但却没有体会极限的思想，没有给学生足够的空间去探究，去体会无限趋向于0真正意思，以致出现了概念上的“空白”。这里虽然没有给出极限的严格定义（），但要求学习极限的描述性定义（“无限趋向于”），而由平均变化率到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。所以在后来的设计中做了如下调整：求当取不同值时这段时间内平均速度（学生自己取，但要满足“越来越接近于0”）。设计意图是：（1）这里开始没有先算平均速度目的是让学生在取不同的计算时观察出通法（求平均速度），有利于培养学生的归纳能力；（2）当学生在自由选取时可以充分体验当越来越接近0时的变化趋势，从而更好地体验极限的过程和思想。

上述过程使我认识到，教学设计时，应当认真考虑教学内容有没有必要探究？学生是否有能力探究？只有弄清这些问题才能合理运用教学方法，使教学取得较好的效果。

3．合理创设问题情境

“气球膨胀率”问题的处理，在试讲中是这样的：（1）每人配备一个气球，以学习小组的形式，吹气球，观察，并思考每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？为什么？后来改为：老师吹气球，学生观察，思考每次吹入差不多大小的气体，气球变大的速度一样吗？原来的设计虽然激发了学生的兴趣，但远离了教学目标——学生的兴奋点不在“膨胀率”上；改成老师吹气球、学生观察并思考，可以避免干扰，使他们集中注意力于“气球变大的速度”。

处理第二个问题时，吸取了上个问题的经验，用如下问题串推进教学：“观看十米跳台，在0秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度是多少？在1秒到2秒时间段内呢？在时间段内呢？在某一段时间里的平均变化率分别为正数、负数或0的时候，其运动状态是怎样的？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？根据物理中的知识，运动员在每一个时刻必有瞬时速度，那么如何求瞬时速度呢？求当取不同值时这段时间内平均速度（自己确定，要求越来越接近0）？”这一连串由浅入深、环环相扣问题，让学生经历了用平均变化率描述运动员运动状态的过程，为学生理解为什么要研究瞬时变化率问题打下了基础。