蛊惑 胡东:形 维基

分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”^[1]，此一性质称为自相似。分形一词是由本华·曼德博于1975年提出的，有“零碎”、“破裂”之意。

分形一般有以下特质：^[2]

• 在任意小的尺度上都能有精细的结构；
• 太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
• （至少是大略或任意地）自相似
• 豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
• 有着简单的递归定义。

因为分形在所有的大小尺度下都显得相似，所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）。自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等。但是，并不是所有自相似的东西都是分形，如实线虽然在形式上是自相似的，但却不符合分形的其他特质。

目录

• 1 历史
• 2 造法
• 3 分类
• 4 应用
• 5 软件
• 6 参看
• 7 参考文献
• 8 外部链接

[编辑] 历史

17世纪时，数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似，分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）。

直到1872年，卡尔·魏尔施特拉斯给出一个处处连续但处处不可微的例子，在今日被认为是分形的图形才出现。1904年，科赫·范·卡区不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义，给出一个相似函数但更几何的定义，今日称之为科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形；隔年，又造出了谢尔宾斯基地毯。原本，这些几何分形都被认为是分形，而不如现今所认为的二维形状。1938年，保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进，他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线。

格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实数子集－康托尔集，今日也被认为是分形。

复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究，但直到现在有电脑绘图的帮忙，许多他们所发现的函数才显现出其美丽来。

1960年代，本华·曼德博开始研究自相似，且写下一篇论文《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》。最后，1975年，曼德博提出了“分形”一词，来标记一个物件，其豪斯多夫维数会大于拓扑维数。曼德博以显著的电脑架构图像来描绘此一数学定义，这些图像有着普遍的映象；许多都基于递归，以至“分形”的一般意思。

[编辑] 造法

四个制造分形的一般技术如下：

• 逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递推关系式所定义，例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等。由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维矢量场也会产生分形，若点在此一矢量场中重复地被通过。
• 迭代函数系统：这些分形都有着固定的几何替代规则。康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、孟杰海绵等都是此类分形的一些例子。
• 随机分形：由随机而无确定过程产生，如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等。后者会产生一种称之为树状分形的分形，如扩散限制聚集或反应限制聚集丛。
• 奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生。

[编辑] 分类

分形也可以依据其自相似来分类，有如下三种：

• 精确自相似：这是最强的一种自相似，分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。
• 半自相似：这是一种较松的自相似，分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似，但不会是精确自相似。
• 统计自相似：这是最弱的一种自相似，这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）。随机分形是统计自相似，但非精确及半自相似的分形的一个例子。

[编辑] 应用

主条目：分形分析

如上所述，随机分形可以用来描述许多高度不规则的现实世界的物件。其他分形的应用亦包括^[3]：

• 医学中组织切片的归类
• 分形风景或海岸线复杂性
• 酵素/酵素学（米曼氏动力学）
• 制做新音乐
• 制作许多的艺术形式
• Signal and image compression
• 地震学
• 土壤力学中的分形
• 电脑及电视游戏设计，尤其是有机背景的CG和部份的过程生成
• 断口分析和断裂力学
• 分形天线－使用分形形状的小尺寸天线
• 小角度X光散射
• 新嬉皮T恤和其他的时尚服饰
• 伪装图样的制作，如MARPAT
• 数位日晷
• 价格序列的技术分析（见艾略特波浪理论）

[编辑] 软件

• FerryMan Fractal
• Ultra Fractal
• Visions of Chaos
• Fraciant