魔兽世界白猩猩:函数零点的教学

1．函数零点概念的教学

提出问题1：方程3456x²－3458x＋1＝0有实数根吗？

大部分同学拿起计算器开始计算起来。有少数学生并没有这样做，而是看着黑板上的问题在思考，观察系数特征。“系数怎么这个大？有趣，怪怪的，也算△吗？”我也没说更多的话。

一会儿，就有学生说“有实根。”他是计算一元二次方程根的判别式△的值，通过它的符号作出判断的。虽然数字较大，但计算器并不在乎。

“你的结论呢？”我问一位没有用计算器计算的同学。

 “有。”他肯定地说。

“你是怎么知道的？”

“设f（x）＝3456x²－3458x＋1，然后画个图。”

这里至少有两点是可贵的：一是把方程与函数联系起来，通过函数来研究方程；二是想到了画图，数形结合！

“图是怎么画的呢？”我追问。

“因为当x＝0时，f（0）＝1；而当x＝1时，f（1）＝－1，因此，方程3456x²－3458x＋1＝0在区间（0，1）上一定有一个实数根。”

看来，他已经观察出系数中的名堂。我应着他在黑板上画出示意图。

“你是怎么想到的呢？”

“想到”是对“知道”的挖掘，教师企图挖掘背后的思维过程。

“我们在初中就讲过（学过）。”开始把当前的问题与已有的知识、经验联系起来。

“初中是怎么讲的？”这一问题意在引导学生回忆、再现已有的相关知识。

学生把初中学习过的有关一元二次方程、二次函数、二次函数图象的关系叙述了一遍，基本上重复了教科书（P87）上的内容。

教科书的编写是从学生已有的知识出发，回忆初中已经学习过二次函数的图象与一元二次方程的关系引入函数零点的概念，这是正确的。但是，教学中如何处理？如何呈现？是另一个值得研究的教学处理的问题。如果老师照本宣科，把教科书的内容平铺直叙地复述一遍，学生不会感兴趣，也感受不到老师讲这些内容的必要。而由学生自己把它作为解决问题的理由叙述出来就大不一样了。是教师引导下学生的主动回忆，是过去所学知识、经验的运用。也正是本节课所学概念的“生长点”。

实践证明，“3456x²－3458x＋1＝0是否有实数解？”使得学生不至于用因式分解的方法去找方程的实数根。许多同学想到用判别式的符号进行判断也不奇怪，这是他已有的经验，但是，毕竟有一批学生（不是一两个）对教师提出的问题不是简单地去计算△，而是试图通过其他途径来解决，而且这个途径是可以找到的，当然要认真思考一下（与函数联系、画图）才能找到，符合能力“最近发展区”的要求。如果我们提出“方程x²－2x－3＝0是否有实数根？”学生一下子就可以给出结论。一是学生知道，对方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0），只要a，c异号，那么，△＝b²－4ac就一定大于零；二是很容易把x²－2x－3分解为（x＋1）（x－3），根是什么都知道了。这样与本节课的教学内容——函数零点的联系就不够紧密。

在学生用初中知识，运用函数f（x）＝3456x²－3458x＋1的图象这个工具，解释方程3456x²－3458x＋1＝0有实数解后，教师再提出函数零点的概念，学生是很容易接受的。于是不难得到“方程f（x）＝0有实数根函数f（x）的图象与x轴有交点＝0函数f（x）有零点”的结论。

实际上，函数的零点这个概念，就是学生初中所学习过的“一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数f（x）＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标”的直接推广。学生经历的是特殊问题一般化的过程。他们可以用这个旧知识来同化新知识。而且这个新知识与旧知识之间也只有一层很薄的窗户纸，一捅就破。对于函数零点概念的理解，他们仍然可以以二次方程为载体。不必把简单的问题搞复杂，清楚的问题搞糊涂。

函数零点的概念并不是这节课教学的重心，重心是“函数零点存在的条件”。

2．函数零点存在条件的教学

接着提问题2：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。

我特别强调“请举例说明”。

同学们议论起来。很快就有人说“不一定。”

“请举个例子”我说。

“f（x）＝，在区间（－1，1）上有f（－1）f（1）＜0，但是f（x）＝0在（－1，1）上没有实数根。”

大家都觉得这个例子很精彩。确实，举反例常常不是件容易的事。

再提出问题3：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，且有零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。

有一个学生在黑板上画出了图1，还有人画出图2。

我故意地数了数“3个，5个，…”

      图1              图2             图3               图4

“不一定是奇数个。”一个学生说。有学生听出我的话外音“老师是说一定有奇数个吗？”他到黑板上画出图3。

这时一个学生未经老师同意就主动上黑板画出了图4。我真没有想到学生会想出这个点子来，我被他们奇思妙想所感动，我索性说“还有吗？”有学生又画出间断不连续的图象来。

学生们认真思考，积极参与，热情很高。这样的教学可以达到促进学生发展的目的，特别是发展学生的思维能力！

接着，我让学生讨论问题4：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，还需要满足什么条件？就一定有且只一个实数根。”

又进入热烈讨论。最后得到要满足3个条件：（1）函数f（x）（的图象）在区间[a，b]上“连续不断”；（2）f（a）f（b）＜0；（3）函数f（x）在区间（a，b）上单调。

这就已经获得了函数零点存在条件：函数y＝ f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么函数y＝ f（x）在区间[a，b]上有零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c就是方程f（c）＝0的根。

接着让学生研究：方程lnx＋2x－6＝0是否有实数根，并估计根所在区间。

大多数学生采用，在同一个坐标系中同时画出函数y＝lnx与函数y＝6－2x的图象（图5），估计出它们交点的横坐标所在的区间是（1，3），这并不困难。教师再用几何画板画出函数f（x）＝lnx＋2x－6的图象，同样判断函数f（x）＝ lnx＋2x－6在区间（1，3）上有一个零点。这为下一节课用“二分法”缩小区间长度寻找这个解的近似值打下伏笔。  

图5

3．几点想法

（1）对于零点存在的条件，高中阶段不可能也不必要加以证明。本节课的重点就是让学生通过函数图象，直观感受零点存在的条件。如何让学生寻找这个条件呢？当然不要直接把结论抛给学生，这就需要设计一个过程，设计“问题链”，“问题”会引起学生的思考，让学生对这些问题进行讨论，参与到寻找条件的过程中来。

（2）要注意高中学生的思维特点。有研究表明，人的能力发展具有年龄特征，中学阶段以抽象逻辑思维占主导地位．初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维，而高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维。这些结论需要我们在教学设计中引起注意，对于培养学生的理性精神是十分必要的。既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，正确把握学生能力的“最近发展区”提出问题是教师的基本功之一。从教学的实践看，问题3虽然抽象，但是，同学们借助图象是有能力研究解决的。学生力所能及的事就让学生自己去做。

（3）数学教学是数学活动的过程，数学活动是数学的思维活动。怎样让学生活动起来呢，这个动力就是“问题”，有思维价值的问题。问题可以把学生带入“愤”与“悱”的境地。有思维价值就不会对答如流，就需要有一定的思考的时间。提出问题后，先让学生尝试尝试，看能否解决它。比仿说，你提出让学生去火车站的任务。如果他不知道方向（在北面还是南面）可以提示一下。至于他如何走到火车站应该先让他走一走，绕弯路也很正常。但是，也有可能他想到了教师还没有想到方法。实在不会走就再启发他一下。我们不能说，拉着我的手，跟着我到火车站去，到底是他去还是你去呢？对问题引导得太细，不费力气就解决了，对培养能力没有好处。思维有时需要安静！教师提出问题后喋喋不休，讲个不停，会干扰学生的思维。要培养学生主动思考的习惯，有困难时，教师加以启发、引导，而不是让他们首先依赖老师。