韩国电影女秘书的诱惑:初中几何基本知识汇总（初中全部）-运算-运算知识学习

初中几何基本知识汇总

一、线和角

1、线段、射线、直线（略）

① 过二点有且只有一条直线。

②所有连接二点的线中，线段最短，叫二点间的距离。

2、同位角、内错角、同旁内角（略）

3、互为补角（两角的和是一个平角），互为余角（两角的和为直角）。

① 同角或等角的补角相等。

②同角或等角的余角相等。

4、平行线：

① 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

② 推论：两条直线都和弟三条直线平行，则两直线平行

性质

①两直线平行，同位角相等

②两直线平行，内错角相等

③两直线平行，同旁内角互补

判定：

①公理：同位角相等，两直线平行

②内错角相等，两直线平行

③同旁内角互补，两直线平行

5、线段的垂直平分：①定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

②逆定理：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6、对称轴：定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

二、三角形、四边形、多边形

6、三角形的内角和、外角、中线、中位线、高

①三角形三个角平分线交于一点：内心（该点到三角形三边距离相等）

②三条边的垂直平分线相交于一点：外心（该点到三角形三个顶点的距离相等）

③三角形中线相交于一点：重心（这点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）

④三角形三条高交于一点：垂心

7、三角形两边之和大于弟三边，两边之差小于弟三边

8、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，大于和它不相邻的恣意内角。

9、三角形的判定：①边角边（SAS） ②角边角（ASA） ③边边边（SSS） ④斜边直角边公理（HL）

10、角平分线

定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理2：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

11、等腰三角形：

⑴性质定理：等边对等角（两底角相等）

①推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直底边。

（三线合一）

②推论2：等边三角形各角相等，均为600

⑵判定定理：两底角相等的三角形是等腰三角形

⑶在Rt△中，300角所对的边是斜边的一半

①在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半

②过三角形一边中点且平行于弟二边的直线必过弟三边中点

12、勾股定理；a2+b2=c2(此定理可逆，适合此条件的是直角三角形)

13、图形的平移：

⑴概念：图形沿着一定的方向平行移动。图形的平移由移动的方向和距离决定。

⑵平移是物体、图形的平行移动，运动过程中，物体、图形的形状、大小都不会发生改变。

⑶平移的特征：

①平移后，图形中的每一个点沿着同一方向移动同一距离。

②平移后，对应线段平行且相等。

③平移后，对应角相等。

④平移后，对应点的连线相互平行或在同一条直线上

14、几何证明初步

⑴定义：用来说明一个名词的语句。定义一方面可以作为性质使用，另一方面又可以作为判定的方法。

例：说出下列名词的定义：①两点之间的距离，②全等三角形，③一元一次方程，④两条平行线间的距离

⑵命题：

①定义：判断一件事情的句子叫命题。

②判断一个语句是否为命题要抓住两条：命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题；必须对某件事情做出肯定或否定的判断，二者必居其一。

③命题的组成：由题设、结论组成。模式：如果……那么……

④真命题、假命题：（略）要判断一个命题是真命题，可以通过实验的方式，也可通过推理的方式；要判断一个命题是假命题，只要举一反例即可。

⑶互逆命题：

㈠如果弟一个命题的题设是弟二个命题的结论，弟一个命题的结论是弟二个命题的题设，这两个命题叫互逆命题。（其中一个叫原命题，另一个叫逆命题）

㈡任何一个命题都有它的逆命题，但逆命题不一定是真命题。

⑷互逆定理：

㈠一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，一个叫另一个的逆定理。

㈡从逆定理定义上不难看出，逆定理一定是真命题。

⑸公理和定理

①公理：

㈠作为判定其他命题真假的根据的真命题叫做公理。即有些真命题是通过长期实践总结出来，被大家所公认，并且作为证实其他命题的起始依据，这样的真命题叫公理

⑵耙们学过的公理，如：两点确定一条直线；平行公理；两直线平行同位角相等；同位角相等，两直线平行；ASA SAS SSS ;全等三角形的对应边相等等

②定理：

㈠其正确性是用推理证实的真命题叫定理。即我们把由已知条件、定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实的真命题叫公理。

㈡定理可作为判定其他命题真假的依据；

⑹证明：命题的真实性都需要通过推理的方法证实，推理的过程叫证明。

15、图形的旋转：

⑴旋转：如果平面内的点绕着某点O按顺时针或逆时针转动一定的角度，这种点的移动称为旋转，点O就是旋转中心。

⑵图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定。

⑶旋转角：和旋转中心相连的对应线段的夹角。

⑷旋转中心是旋转变换的唯一不动点，反之，若有一点在旋转中保持不变，则必为旋转中心

⑸图形旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小都没有发生改变。

⑹作旋转后的图形，关键在于找准对应点，利用图形旋转的特征来作。

⑺旋转对称图形：

①图形绕着一点旋转一定的角度后，能与自身重合，这样的图形称为旋转对称图形。

②注意旋转对称图形与旋转对称的联系和区别：前者就一个图形而言，后者就两个图形而言。

⑻中心对称：

①中心对称：将一个图形绕着一个点旋转1800后，与另一个图形重合，我们称这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫对称中心。

②中心对称图形：将一个图形绕着中心点旋转1800后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫对称中心。

③中心对称指的是两个图形的位置关系；而中心对称图形指的是一种具有特殊性质的图形。

④中心对称图形是特殊的旋转对称图形。

⑤中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

⑥中心对称的识别：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这个点成中心对称。

⑼、㈠定理 ：①关于中心对称的两个图形是全等形

②关于中心对称的两个图形对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分

㈡逆定理：如果两个图形的对称点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这点对称

16、四边形

⑴凸多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×1800

⑵恣意凸多边形外角和定理：均为3600

⑶从凸n边形一个角引的对角线条数：n-3

⑷凸n边形对角线总条数：n(n-3)/2

⑸平面内有n个点（每三点不共线），最多能确定的直线的条数：n(n-1)÷2

能确定的圆的个数：n(n-1)(n-2) ÷6

17、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

18、平行四边形性质：

①平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

②平行四边形的对边平行且相等。

③平行四边形对角线互相平分。

④平行四边形的对角相等、邻角互补。

19、两条平行线间的距离

⑴定义：两条平行线中，一条直线上恣意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

⑵两平行线间的距离处处相等

20、平行四边形的判定：

①两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③对角线互相平分的四边形是平行四边形。

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形

21、矩形：

⑴定义：一个内角是直角的平行四边形

⑵性质：

⒆肋有平行四边形的一切性质，

②四角是直角，

③对角线相等

④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有两条对称轴）

22、菱形：

⑴定义：有一组邻边相等的平行四边形

⑵菱形的性质：

⒆肋有平行四边形的一切性质，

②四条边相等，

③对角线相互垂直、每一条对角线平分一组内对角

④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形

⑶菱形的面积计算：底×高 或者：两条对角线乘积的一半

23、正方形：

⑴定义：①有一个角是直角的菱形

②有一组邻边相等的矩形

⑵性质：

⒆肋有平行四边形的性质，

②边：四条边相等，邻边垂直，对边平行。

③角：四角是直角，

④对角线：相等、相互垂直平分、每条对角线平分一组内角

⑤是轴对称图形，有四条对称轴；又是中心对称图形

⑺梯形：①定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形

②等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等

③等腰梯形判定：同一底上两角相等的是等腰梯形

④平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分弟三边。

①三角形中位线定理：平行弟三边且等于弟三边的一半

②梯形中位线定理：梯形的中位线平行两底且等于两底和的一半

三、相似形：

24、 ① 比例线段 a:b a称前项 b称后项

②a:b =c:d 比例的项 比例外项 比例内项 弟四比例项（略）

③ 比例的基本性质：a:b=c:d 则 ad=bc （可逆）

a:b=b:c 则 b2=ac （b称为ac的比例中项）

④和比性质：若a:b=c:d则 (a+b)/b=(c+d)/d

⑤等比性质：若a/b=c/d=……=m/n 则(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

⑥黄金分割：把线段AB分成两段AC、BC（AC＞BC），使AC2=AB×BC，叫把线段AB黄金分割， C点叫AB的黄金分割点

25、⑴平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

⑵推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

⑶定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例

四、相似三角形

26、定理1：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形和原三角形相似

定理2：射影定理：Rt△ABC斜边的高为CD，则①AC2=AD×AB

②BC2=BD×AB ③CD2=AD×BD

27、相似三角形的性质

性质1、相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

性质2、相似三角形周长的比等于相似比。

性质3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

28、相似三角形的判定

定理1：两角对应相等的两个三角形相似。

定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，则两三角形相似。

29、 ⑴射影定理：如图

则：AC2=AD·AB

BC2=BD·BA

DC2=AD·DB

30、解直角三角形

⑴特殊角的三角函数值(请同学们在下表中填上正确的数值)

00

300

450

600

900

sinA

0

1

cosA

1

0

tanA

0

不存在

cotA

不存在

0

⑵三角函数公式：

①定义公式（略）

②tanA=sinA/cosA cotA=cosA/sinA

③tanA·cotA=1

④sin2A + cos2A = 1

⑤sin(900-A)=cosA

⑥cos(900-A)=sinA

⑦tan(900-A)=cotA

⑧cot(900-A)=tanA

五、圆：

31、圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。

① 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

② 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

32、弦：连接圆上恣意两点的半径

半圆：圆的恣意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧。

劣弧：小于半圆的弧。

弓形：由弦及所对的弧组成的图形。

等圆：能够重合的两个圆。

等弧：在同圆和等圆中，能够重合的两弧。

33、点的轨迹：

⑴到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，以定长为半径的圆。

⑵和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是线段的垂直平分线。

⑶到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

⑷到直线L的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线并且到这条直线的距离等于定长的两条直线

⑸到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

34、垂直于圆的直径

⑴圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴

⑵垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

⑶垂经定理推论

推论1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等

35、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系

⑴圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

①圆心角：顶点在圆心的角

②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等

③弦心距：圆心到弦的距离

⑵定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

36、圆周角：⑴定义：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角

⑵定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

37、圆与三角形：

⑴与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆圆心叫三角形的内心，这个三角形叫外切三角形；三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

⑵过三角形的三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边中垂线的交点。

⑶不在同一直线上的三个点确定一个圆

38、圆的内接四边形

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

39、直线和圆的关系

⑴直线于圆相交（割线）、相切（切线）、相离（略）

⑵切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

⑶切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

推论1，经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

⑷三角形的内切圆（内心，圆的外切三角形）

⑸切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

推论：圆外切四边形的两组对边的和相等

⑹弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

（弦切角：一边和圆相交，另一边和圆相切的角）

40、和圆相交的比例线段

⑴相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

⑵切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

41、圆和圆的位置

⑴位置：相切（外切和内切）、相交、相离（外离、内含）

⑵如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

⑶定理：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦

⑷两圆的公切线：外公切线，内公切线（略）

42、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

43、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

44、⑴圆周长：C=2πR

⑵弧长： L=nπR÷180 （n为圆心角度数）

⑶圆面积：S=πR2

⑷扇形面积：S扇形=nπR2÷360=LR÷2 （L为弧长）

45、圆锥的侧面积和片面积:

⑴母线：把圆锥底面周长上恣意一点与圆锥顶点的连线。

⑵圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段。

⑶侧面积：S=πra （r为底面半径；a为母线长）

46、作圆的辅助线的几种方法：

⑴作垂直于弦的直径

⑵添加辅助线，构成直径上的圆周角（直角）

⑶作过切点的半径

⑷两圆相切时，作公切线

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