隔夜的银耳汤能喝吗:第三讲 趣味算式（1）

第三讲 趣味算式（一）

　　趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。这类问题的题目类型多样，解题方法灵活，有利于提高逻辑思维能力和推理能力，也有利于提高计算能力。解题时主要运用有关整数运算方面的知识，所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。

　　解答趣味算式题，首先要熟悉以下的一些基本知识

　　1．和、差、积、商的位数

　　（1）两个n位数的和，最多是n＋1位数，最少是n位数（n是自然数）。如999＋999＝1998，100＋100＝200。

　　一个m位数与一个n位数的和（m＞n，m、n是自然数），最多是m＋1位数，最少是m位数，如999＋99＝1098，1000＋100＝1100。

　　（2）两个n位数的差（n是自然数），最多是n位数，如99－10＝89。

　　一个m位数与一个n位数的差（m＞n，m、n是自然数），最多是m位数，最少是一位数，如999－10＝989，1000－999＝1。

　　（3）两个n位数的积，最多是2n位数（n是自然数），最少数2n－l位数，如99×99＝9801，10×10＝100。

　　一个m位数与一个n位数的积，最多是m＋n位数，最少是m＋n－1位数（m、n是自然数），如999×99＝98901，100×10＝1000。

　　（4）两个n位数的商，当商是自然数时，它是一位数（n是自然数）。

　　一个m位数除以一个n位数，当商是自然数时，它最多是m＝n＋1位数，最少是m－n位数（m＞n，m、n是自然数），如9999÷11＝909，1001÷91＝11。

　　2．乘数与积的个位数字

　　如果n个数的个位数字都相同，那么它们的积的个位数字的可能情况见下表：

　　3．奇偶性

　　我们知道2，4，6，8，10，12，…这些数是偶数，1，3，5，7，9，11，…这些数是奇数，奇、偶数在运算中有以下一些基本性质：

　　（1）n个偶数的和、差、积还是偶数，如8＋16＝24，38－20＝18，16×4＝64。

　　（2）两个奇数的和与差都是偶数，如7＋9＝16，13－7＝6。

　　（3）两个奇数的积还是奇数，如7×5＝35。

　　（4）一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数，如3＋4＝7，12－7＝5。

　　（5）一个奇数与一个偶数的积是偶数，如14×3＝42。

例1 王老师批改作业时发现，李强同学的一个计算题的结果正确，但丢掉了括号，于是出现了如下错误等式：

　　9×8＋12÷6－2＝45

分析与解：因为没有括号的算式，要求先乘除后加减，所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑，比如对6－2添括号，计算得4，又因为6前面是除号，所以6前面的算式如果能得180，就可以求得本题的一个解，而9×（8＋12）正好等于180，于是得到本题的一个解：

　　9×（8＋12）÷（6－2）＝45

　　又因为（8＋12）÷（6－2）＝5，于是又得本题的一个解：

　　9×[（8＋12）÷（6－2）]＝45

例2 在下面等式中的□内填上适当的运算符号，也可以添上适当的括号，使等式成立。

　　9□8□7□6□5□4□3□2□1＝60

分析与解：因为题目给出的数字较多，所以要分段试填运算符号。如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段，如果5□4□3□2□1中的□都填加号，则得15，那么9□8□7□6□中的□填运算符号后，只要它与15进行运算后得60，就能得到题目的一个解。

　　因为9＋8－7－6＝4，所以本题的一个解是

　　（9＋8－7－6）×（5＋4＋3＋2＋l）＝60

　　又如对前五个数进行试填，因为（9－8＋7－6）×5＝10，而后四个数4＋3－2＋1＝6，这样又可以得到题目的一个解：

　　（9－8＋7－6）×5×（4＋3－2＋1）＝60

例3 在下列数字间，添上运算符号和括号，使等式成立。

　　4 4 4 4＝1 ①

　　4 4 4 4＝2 ②

　　4 4 4 4＝3 ③

　　4 4 4 4＝4 ④

　　4 4 4 4＝5 ⑤

分析与解：可以从后往前进行倒推，如①中的最后一个4前面先添一个“－”号或“÷”号，即

　　4 4 4－4＝1

　　于是问题转化为对4 4 4＝5进行试添运算符号，显然4÷4＋ 4＝ 5，于是得到①的一个解：

　　4÷4＋4－4＝1

　　若在最后一个4前添“÷”号，即

　　4 4 4÷4＝1

　　问题又转化为对444＝4进行试添运算符号，显然4＋4－4＝4，于是又得到①的一个解：

　　（4＋4－4）÷4＝1

　　如果把四个4分成前后各两个数来考虑，则又可得下面的解：

　　（4＋4）÷（4＋4）＝1

　　（4×4）÷（4×4）＝1

　　（4÷4）÷（4÷4）＝1

例4 把＋、－、×、÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立。

　　（5○13○7）○（17○9）＝12

分析与解：按运算顺序，等式中两个括号内的数要先进行计算，最后进行两个括号之间的运算。所以解本题，应先确定两个括号之间的符号。在试填过程中发现，如果括号之间填“＋”号，其它三个○内填“－”、“×”、“÷”，则不论怎么填都不能使等式成立；如果在两个括号之间用“－”或“×”，也不能使等式成立。

　　当两个括号之间用“÷”时，因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的12倍，所以后面括号内的○应填“－”号，即17－9＝8；因为5＋13×7＝96，于是本题的解是

　　（5＋13×7）÷（17－9）＝12

例5 在下面的十五个3之间添上＋、－、×、÷号，使下面的算式成立。

　　3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3＝1993

分析与解：因为本题数字多，也不限制必须每两个数字间都要添运算符号，所以可将给的数字，先凑出一个接近1993的数，如3333÷3＋333×3＝2110就是一个接近1993的数，而且已经用了九个3，剩下六个3，因为2110－1993＝117，所以只要用剩的六个3凑出一个117的数就可以了。因为33×3＝99，（3＋3）×3＝18，99＋18＝117，所以得到本题的一个解

　　3333÷3＋333×3－33×3－（3＋3）×3＝1993

　　本题也可以用另外的方法凑出接近1993的数，如333×3＋333×3＝1998，因为1998－1993＝5，所以只要用剩下的七个3凑出一个5即可，实际上3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝5，所以又得到本题的一个解

　　333×3＋333×3＋3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝1993

例6 在算式1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝303的合适位置添上括号（ ），使等式成立。

　　括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7＋8）×9＝303处，显然不行，因为左边运算结果比303大，另外括号内不论得什么数，也不可能是303除以9的商。

　　括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7）＋8×9＝303处，显然等于没有添括号。

　　括号放在（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303处试算的结果，等式正好成立，所以本题的解是

　　（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303