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文科生数学思维的偏差及矫正陆月明

【专题名称】中学数学教与学(高中读本)
【专 题 号】G35
【复印期号】2009年11期
【原文出处】《中学教学参考:理科》(南宁)2009年6期第15~16页
【作者简介】陆月明,广西南宁市第四十二中学(530200)。


    在我所任教的这所中学里,文科学生普遍反映,数学很抽象、难理解,看课本好像懂,但做练习却常找不到思路,或会做但很难把一道题完整地解出,在数学学习上越来越被动,以至于陷入绝望的境地。作为一名教师,如何使教学更有效,更符合学生的实际要求,是我所考虑的问题,同一道题,从老师角度是如何想的,而学生是怎样想的,为什么这样想,学生在数学学习中所表现出来的思维中有哪些偏差,老师如何利用教学帮助学生矫正错误的想法。本文通过对学生大量的学习活动观察后,再根据我近几年的部分统计数据,选择较典型的事例进行分析,有针对性地提出一些教学建议。
    一、文科学生数学思维偏差的表现
    1.学习知识表面化
    文科生在学习政、史、地等科目时,对课本上的知识大多是用死记硬背的办法,不需要了解知识产生的背景,故学生把这种学习的习惯用在学数学上,仅满足于记得公式、定理,会套用公式、定理即可,对老师精心组织的探索知识发展的过程普遍持听不懂就不听,迫不及待地下结论的心理。这种思维的表面化,造成头脑中知识发生的“过程”与“结论”的断裂,对知识不能够深层次地理解,只知其然而不知其所以然,这不仅增加了学生的记忆负担,还严重制约了知识的迁移和能力的发展。因此就会出现题目容易时会做,但题目灵活性强一些的就无从入手。
    学习等比数列的前n项和公式时,学生对公式的推导过程有些漫不经心,特别对公比是否等于1的讨论很不放在心上,于是,我布置了三道课堂作业:
    (1)某企业去年的产值是138万元,计划在今后5年内每年比上一年产值增长10%,那么这5年的总产值是多少?(精确到万元)
    
    对这次作业的统计结果是:第(1)题全班62位学生中有41位全对,有16位结果算错,5位不会做;第(2)题有45位直接套公式,不对a是否为1进行讨论,只有15位全对,2位不会做;第(3)题,全班只有2位学生懂得用错位相减法,其他学生认为老师没讲过这类题目,不会做。由此可见,大部分学生对公式的理解仅停留表面。
    2.解题的思维过程无序化
    “无序化”表现在学生的思维呈现颠三倒四的无序状态,尤其是做证明题,即使没有使思维受阻的障碍,会做的题目,也缺乏简洁、准确、流畅的表述能力。还有因果关系的错位,或是列出一大堆多余的条件等,在解题中屡见不鲜。这种思维的无序化,造成学生对做对的题目不能确信其正确,对做错的题难自查其错误,严重制约着学习的效率和能力的提高,更谈不上独立获取知识及发展知识。
    3.孤立、单一地考虑数学问题,阅读理解能力及获取数学信息的能力较弱
    很多文科学生认为,数学很抽象,难理解,跟实际生活联系不大,总想用死记硬背的办法学习数学,因此在考虑问题时习惯于孤立地、静止地看问题,不能从整体上把握数学对象,缺乏用运动、发展的眼光全面认识事物。
    【例】 正方体A'B'C'D'-ABCD的棱长为a,EF在AB上移动,且|EF|=b(b≤a),Q点在D'C'上移动,则四面体A'-EFQ的体积为(  )。
    A.与E、F的位置有关
    B.与Q位置有关
    C.与E、F、Q的位置都有关
    D.与E、F、Q的位置均无关
    这题顶多称得上是中等难度,同为重点班,理科班有48人做对,但文科班只有20人做对。文科班中做错的大部分选C,且大多是见题中EF和Q移动而选C,没想到动中有定,即距离为定值。高中数学中,诸多最大、最小、最近、最远等等问题,无不与某个变量的连续变化或与某点的不断运动有关,所以,克服思维的单一性,不孤立地看待一个问题,是学好数学的一个关键。
    大部分文科生对数学问题的反应不够敏感,题目问得比较直白时会做,但对拐弯抹角的问法往往找不到切入点,不能够根据题目提供的信息,提取相应的知识进行有机组合,探索解题的思路和方法。
    
    (1)求证:b+c=-1;
    (2)求证:c≥3
    学生思考了5分钟后还是没能想到要证b+c=-1,只要证f(1)=0即可。大多数学生在分析问题时,不能把已知条件中不等关系和问题中的等式联系起来,因而不知条件的作用,也就找不到解题的办法。
    二、矫正文科学生数学思维偏差的对策
    1.强调“过程”,改变学生只求“结果”的心态
    数学中每一个结论和公式,都不是无缘无故就产生,这个结论的产生过程和结论的应用都是为了“解决问题”,忽略过程只重视结果的应用,那对结论只是粗浅的了解,碰到条件较为隐蔽的题目就很难弄清题目的意图。因此,教师在教学活动中可以“解决问题”为切入点,把“过程”与“结论”设计得浑然一体,使“过程”以解决问题为目的,“结论”只不过是过程的一个结果。
    对二项式定理,为了改变学生对“过程”的认识,并习惯使用它,我设计了这样的教学过程:
    
    分析:(1)令x=2即可;
    (2)令x=1,x=-1后,两式相加即可。
    通过这样的设计,使学生认识到,“结论”固然重要,但是“过程”也不可忽视,“过程”常为我们解决问题提供方法、依据。
    2.平时教学过程中应加强解题方向和目标意识的培养,强化数学推理严谨性的训练
    解决问题的关键是分析题意,分析题目中所包含的解题信息,理解问题的实质,确定解题的方向,教师在教学中可以抓住典型错例,剖析其错误根源,把充足的理由渗透其中,引导学生在解题时想清楚推出的每一步用的是什么定理、公式,现有条件是否符合这个定理、公式的前提条件,宁可放慢讲课的进度,也要坚决矫正学生无依据的推理,做到推理步步有据,并注重关联词的使用,以增强推理的可读性和流畅性。
    【例】 AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC,求证:平面PAC⊥平面PBC。
    班上竟然有近十位学生用下面的证明方法:
    因为PA⊥平面ABC且BC平面ABC,①
    所以PA⊥BC。②
    又因为PA平面PAC,BC平面PBC,③
    所以平面PAC上平面PBC。④
    下面是我的课堂实况:
    师问:“由①推出②是否正确,理由是什么?”学生答:“正确,用的是线面垂直的定义。”师问:“那么,由②和③推出④是否正确,理由又是什么?”学生答:“不对。”且学生很快拿书来做模型,证明由线线垂直不能证得面面垂直。正确证明应是:
    因为PA⊥平面ABC且BC平面ABC,
    所以PA⊥BC。又因为AB是圆O的直径且点C在圆O上,所以AC⊥BC(根据圆的性质)
    而PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,(根据线面垂直的判定定理)
    所以BC⊥平面PAC。
    又BC平面PBC。(根据面面垂直的判定定理)
    所以平面PAC⊥平面PBC。
    这题虽然简单,但如果不及时纠正,那这种错误的证法可能会扎根在学生脑中,很难改变。根据我的追踪记录,经过这次的纠正后,这些学生基本上不再犯这种错误。
    另外,对于解题过程较长的题,我们可以让学生在想通解题思路的基础上,用类似作文打腹稿的办法,先列个提纲,再动笔。如求二面角大小的题目可以按“一作”即作平面角,“二证”即证明所作的角是平面角,“三计算”即求平面角的大小的步骤来完成。
    3.教学中适时变题,培养学生全面观察问题的习惯
    文科生用单一、孤立的眼光看数学问题其重要原因是:一、对知识理解不透彻;二、受习惯思维的影响。所以,教师在教学过程中应把运动变化的观点引进教学,紧扣教材,适时创设问题情境,让学生理解问题的本质。
    如在讲“配方法”求最值时,我设置了如下一组题:
    
    (1)求函数f(x)的值域;(2)若x∈[-2,1]时函数f(x)的最小值为-7,求a的值。
    第1题作为“配方法”最直接、最基本的应用,设置的三个小题包括二次函数在给定区间内递增、递减、有增有减三种情况,只要把这个问题搞清楚了,第2题就容易想到,只需让对称轴x=a-1在坐标系中平行移动即可获解a∈[5,+∞)。第3题中函数定,但区间未定,故需分三种情况:(1)t+1<2;(2)t≤2≤t+1;(3)t>2进行讨论。第4题是区间定,但函数未定,也需分三种情况讨论:,转化为第1题的类型。这五题由浅入深进行变题,使学生深刻理解“配方法”,而不是古板套用“配方法”。
    文科生普遍怕数学,这是一个不争的事实,这与学生的基础有一定的关系,但作为老师如何帮助学生克服思维上的偏差,引导学生正确的思维方式,从而慢慢喜欢数学,是我一直在研究的问题,在这里希望能得到各位同仁的指教,从而得到更有效、更有力的教学方法。^NU1DA20100120



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