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提炼基本数学模型提高解题教学效益陈开金

【专题名称】中学数学教与学(初中读本)
【专 题 号】G351
【复印期号】2008年04期
【原文出处】《中国数学教育:初中版》(沈阳)2007年12期第43~45页
【作者简介】陈开金 广东深圳市光明中学


    数学模型实质上是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构。借助数学模型思考问题,既可防止无关信息的负面干扰,又能以“块到块”的思维模式代替“点到点”的思维模式,从方法论的角度提高思维的敏捷性。在解题教学过程中,引导学生主动识别、提炼基本问题模型的过程,其实也就是引导学生主动研究自身的解题思维流程、明晰解题过程中的算法结构、进行策略反思的过程。而识别及应用基本模型的过程,也就是用统一的基本模型沟通相关问题,有效促进解题过程的思维定势正向迁移,化生为熟、化非常规题为标准题的化归过程。本文展示一个相似模型的提炼过程及其在中考中的广泛应用。
    一、初始问题的呈现及模型的初步提炼
    例1 (2004年江苏省南京市第33题的问题(1))如图1,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B,C。当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否存在点P,使AP⊥PD。如果存在,求线段BP的长;如果不存在,请说明理由。
    
    解析 如图2,如果存在P,使AP⊥PD,那么∠APD=90°,设BP的长为x。
    因为∠C=∠B=∠APD=90°,
    所以∠BPA+∠CPD=∠BAP+∠BPA=∠CPD+∠CDP=180°-90°=90°。
    所以∠BAP=∠CPD,∠BPA=∠CDP。
    所以△ABP∽△PCD。
    
    解得x=2。
    解题后,对解题过程中所用到的知识、方法、思维流程的反思回顾是必要的。注意到解答过程中,由∠C=∠B=∠APD=90°,得出∠BAP=∠CPD,∠BPA=∠CDP,进而得出△ABP∽△PCD是解题的关键,不难提炼出基本模型1(如图3所示)。
    
    图3
    【说明】让学生基于自身的解题过程中积累的经验来总结提炼数学模型,符合“在学生已有的知识经验基础上开展数学教学活动”这一新课程理念。学生初做此题时,经过思考一般都能独立完成,但用时一般都在10分钟左右,最多的用了15分钟。调查得知,不少学生在选择解题突破口时,孤立地看待垂直条件,因此不能快速获得解题突破口。基本模型1的提炼和明确,使得学生在面对类似问题时,对模型1的关注多于对直角条件的关注,从而快速获得解题思路。
    二、模型的初步应用——模型应用情境从直角梯形到正方形的变式
    例2 (2006年四川省乐山市)已知:如图4,在边长为a的正方形ABCD中,M是边AD的中点,能否在边AB上找到点N(不含A,B),使得△CDM与△MAN相似。若能,请给出证明:若不能,请说明理由。
    
    解析 如图5,过点M作MN⊥CM,与AB相交于点N,则△CDM∽△MAN。
    由模型1的结论很易证明△CDM∽△MAN,此处略。
    【说明】这是一个与相似三角形有关的存在性问题,在提炼出模型1之前,学生习惯于从两边夹角方面去思考,耗时相对较多。而在提炼出模型1之后,学生的解题过程自然流畅,简洁明快。同时,从直角梯形到正方形的变式,使学生进一步丰富了模型1的应用情境,加深了对模型1的特征条件的认识,也让学生初步体会到提炼基本数学模型的价值,进而获得成功体验。
    三、模型的本质认识及拓展
    学生限于自身知识水平,模型提炼过程往往很难一步到位。例2中由于学生对模型1的特征的认识有些浅表化,因此从直角梯形变式到正方形后,学生在基本模型的使用上还有着明显的模仿痕迹。因此,教师必须延伸和拓展学生对模型的现有认识,引导学生更深入地把握数学模型的本质特征,在熟练应用的基础上进行创新。
    审视例1的解答,在由∠B=∠APD=∠C=90°获得△ABP∽△PCD时,90°并没有发挥实质作用,只要∠C=∠B=△APD就能得出∠BPA+∠CPD=∠BAP+∠BPA=∠CPD+∠CDP,进而∠BAP=∠CPD,∠BPA=∠CDP。从而证明△ABP∽△PCD,因此不难拓展到更一般的模型2(如图6所示)和模型3(如图7所示),图形中∠B=∠APD=∠C=α。
    四、拓展模型的应用情境
    由模型中同一线段上的两角∠B=∠C=α,不难联想到等腰三角形的两底角、等腰梯形同一底上的两底角、正多边形的相邻两内角等,由此可设计蕴含上述模型的形式不同但实质相同的问题情境。
    
    1。拓展模型在等腰三角形中的应用
    例3 (2006年湖南省常德市)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,将三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q。
    (1)如图8,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ。此时,AP·CQ=______。
    (2)将三角板DEF由图8所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α。其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变?说明你的理由。
    (3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式。
    
    
    2.拓展模型在等腰梯形中的应用
    例4 (2006年广东省)如图11所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,点P为x轴上的一个动点,点P不与点O、点A重合。连接CP,过点P作PD交AB于点D。
    
    图11
    (1)求点B的坐标;
    (2)当点P运动到什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
    (3)当点P运动到什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且,求这时点P的坐标。
    解析 (1)B(5,);
    (2)因为∠COA=60°,△OCP为等腰三角形。
    所以OP=OC=4。
    所以P(4,0)或P(-4,0)。
    即点P运动到点(4,0)或点(-4,0)时,△OCP为等腰三角形。
    (3)由于∠CPD=∠OAB=∠COP。由基本模型2的结论知△COP∽△PAD。
    
    得OP=1或6。
    所以点P的坐标为(1,0)或(6,0)。
    五、拓展模型的再拓展
    拓展1 若限制三个模型中的PA=PB,则相似比变为1,两个三角形变为全等。
    这一拓展建立了相似和全等之间的联系,其在中考题中的应用也相当广泛,现略举一例。
    例5 (2005年江苏省常州市)如图12,已知△ABC为等边三角形,D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且△DEF也是等边三角形。
    
    图12
    (1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
    (2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程。
    拓展2 若限制点P的位置为BC的中点,则进一步会有△ABP∽△PCD∽△APD。
    事实上,此时有,且∠B=APD,故△ABP∽△APD。类似地有△PCD∽△APD。
    例6 (2004年湖北省潜江市)在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,取一块等腰直角三角板,含45°角的顶点放在斜边BC的中点O处,顺时针旋转(如图13所示),使角的两边分别与AB,AC分别相交于点E,F(如图14所示),设BE=x,CF=y。
    
    (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围。
    (2)直角三角板绕点O旋转的过程中,△OEF是否能成为等腰三角形?若能,求出△OEF为等腰三角形时的所有x值;若不能,请说明理由。
    (3)若以点O为圆心的圆与AB相切,①探究直线EF与⊙O的位置关系,并证明你的结论;②如果E点与BA的延长线上,F点仍在边AC上,试问直线EF与⊙O有怎样的位置关系?请直接写出结论,并在图15中画出位置关系示意图,不必证明。
    
    图15
    
    (2)△OEF能成为等腰三角形。
    ①当刚开始转动(点F与点4重合)时,EO=EF,此时x=1。
    
    ③当三角板转动到点E与点A重合时,x=2。
    (3)由拓展2的结论,如图16,有△BOE∽△CFO∽△OFE,进而∠BEO=∠OEF,∠EFO=∠OFC,而⊙O与AB相切,则⊙O与EF相切。若点E在BA的延长线上时(如图17所示),⊙O与EF相切。
    
    【说明】不难看出,在借助模型进行思考时,由于免除其他附加条件的干扰,从“点到点”的思维模式提升到“块到块”的思维模式,不但思维过程简洁流畅,而且解题突破快。^