中国新石器仰韶文化的数学 [复制链接]

  楼主 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:05:23 |只看该作者 |倒序浏览 .pcb{margin-right:0} 中国数学，历史久远，渊源深厚，独具一格，是中华古代科技和传统文化的重要组成部分。从数学史的角度看，中国有文字记数后的数学表达形式，与无文字记数时期数学表达形式有很大的差别。由于人们对数学原始表达形式的不了解，加以文献记载的缺失，至今对中国新石器时期的数学认识基本还是空白。 8 W8 W' s' V% ^$ s2 {- K. J
在殷商时期，六十甲子表已经出现，说明距今3000年前十进制、十二进制数学的应用和最小公倍数计算方法已存在。由商周数字卦发展演变而成《周易》六十四卦，其筮法和“万有一千五百二十”二篇策数，则是运用数学方法对天地宇宙规律的演绎模拟。《史记》保存的《历术甲子篇》历算方法，把太阳回归年的岁实365 天、朔望月的朔实29 日、六十甲子三个周期谐调，以闰月定四时而成岁，体现了古代先民的数学智慧。《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等“算经十书”及1984年出土的张家山汉简《算数书》，总结了先秦以降中国古代的数学成就。一直到宋元时期，中国的数学都居于世界领先地位。
. V! H  B/ a! [8 N3 W8 }由商周上溯，中国数学的历史更为久远。据古代文献记载，伏羲立周天度，画八卦，由数起。黄帝“度四方”，“造甲子”，“作算数”，“起消息，正闰余”1。尧“历象日月星辰”，定四仲中星，“期三百有六旬有六日，以闰月定四时而成岁。”2舜，建极立法，“协时月正日，同律度量衡。”3禹治水，“兴人徙以傅土，行山表木，定高山大川”。“左准绳，右规矩 ，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”4。对于如此巨大的治水工程，如果没有数学的运用，取得成功是不可能的。《周髀算经》也明确指出禹在治水中运用和发展了勾股法。“故禹之所以治天下着，此（勾股）数之所生也。”赵爽注曰：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注於海而无浸溺，乃勾股之所由生也。”因此，《汉书·律历志》概括为：“伏羲画八卦,由数起，至黄帝、尧、舜而大备。”
$ p% d. g" N8 W《周髀算经》作为盖天说的天算书，其中在充满数理哲学的论述中，记载了源自上古的勾股数学、及其多种使用方法和基本数据。而且这些方法大多用数理图来表达，如“勾股方圆图”（三幅）、测日高和日晷之径的“至日图”、“望远起高之术”的“日高图”、“求方圆于方图”（两幅）、“七衡图”。书中有“一寸千里”的表影率、“八十寸而德径一寸”日体率、“径一周三”的古圆周率（3）、“勾三股四弦五”等原始数理。《周髀算经》的作者正是以这些方法和数理，用周代的的实测数据进行演算和推理的。由于后世对该书的成书年代（下限应在春秋战国）有争议，对其中有些数据存有置疑，以及文献记载的粗疏和原始资料的缺失匮乏，人们始终未能了解这些数学方法产生的时代。如把勾股法命名为“商高定理”，显然是把这一重要数学定理的产生推迟到了周代。
+ {. h# x: `- Y7 i数学是科学的基础。了解中国古代数学产生的时代，对于我们认识古代科技和传统文化有着积极的意义。出于这一想法，结合考古资料，作者对新石器时期的数学作一点探讨。 + I) [3 F* k4 G! c0 Q
一、中国古代数学伴随着天文历法产生发展 " l4 N+ \$ V! O
数学的产生和发展，离不开物质资料生产和文化生活的实践。世界上早期的数学都是源于生产、生活的实际需要而产生的，是一种应用数学。中国新石器时期的数学则更多的与天文历法联系在一起。中国是世界上最早进入农业文明的国家。众多的考古发现表明，早在八九千前就已经形成了南稻北粟水旱经济区。农牧业产生与季节气候的密切关系，使先民们通过观察日月星辰运行和鸟兽活动等自然现象认识季节变化的规律，并以此安排农牧业产生和农事活动，做到“不违农时”。这在生产力水平低下的农业社会初期尤其重要。从古代文献中可以看出先民对天时极端重视。《荀子·王制》曰：“春耕、夏耘、秋收、冬藏，四时不失”，“五谷不绝”。《吕氏春秋》在《任地》、《审时》篇说：“时至而作，竭时而止”。“夫稼，为之者人也；生之者地也；养之者天也。是故得时之稼兴，失时之稼约。”《韩非子》则说：“非天时，虽十尧不能冬生一穗。”所谓“天时”，就是春夏秋冬气候的变化。由于先民对天时的重视，天文历法成为中国最早产生和发展起来，并取代辉煌成就的古代科学。中国数学也随其需要而发展。也正因为如此，作为天算之书的《周髀算经》一书，才得以保留了中国上古时期的数学精华。      

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  沙发 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:05:30 |只看该作者 上古先民在长期的长期观测中，逐渐认识了日月星辰的运行周期性变化规律，并掌握了这种变化规律与季节气候迁移、昼夜交替的联系。对太阳、月亮周期天数的度量、季节变化的时间计算，必然涉及数学计算的应用。先民 在对日月星辰的观测过程中，形成了天圆地方的盖天宇宙观念和天地崇拜。几何形的圆、方成为天地之象。就连数的观念中也融入了天地的含义。所以《周易·系辞传》讲：“天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。五位相得而各有合。天数二十有五，地数三十，天地数五十有五。此所以成变化而行鬼神也。”随着天文历法的不断发展，数学也随之进步，并起着越来越重要的作用。
' P2 d+ E2 ?$ `" {5 r& _3 u( L二、立竿测影是新石器时期数学的开端 & ^+ D  B/ u* p1 W! r
数学真正在天文历法中的使用，应该是从立竿测影开始。从某种意义上讲，立竿测影是中国古代数学的真正开端。立竿测影的历史十分悠久。 1 i/ _, P8 v5 m4 t% F
湖南安乡县汤家岗大溪文化遗址M1:1中，出土有6000年前的陶盘5。陶盘底部刻有八角图式（图一∶1）。图式中四正方的内收角对应各有一个双侧三阶纹，象征观象台；在三阶纹的左右肩部都有“┏ 、┐”纹，呈相对的两个矩尺纹，象“用矩之道”的之意。在四正方燕尾角内，与三阶台形纹对应，各有二人相对，中间有表竿、表影，象二人正在立竿测影之状。在四隅的夹角里，都有飞鸟在平台上飞翔，象“金乌负日”丽行于中天，同测影的文饰相呼应。图中立竿测影的图形，与四川成都出土的汉代铜镜上的图案极为相似（图一∶3）。八角纹象征八方、八节。二至二分四立八节，是二十四节气中主要的节气，也最早测定的节气。只有八节历法产生，方能对农业产生起到“授时”作用。《系辞》：“伏羲始画八卦，以通神明之德，以类万物之情”。《晋书·律历志》：“分八节，以始农功。”八卦就是八节历。八节历的产生首先归功于立竿测影方法的使用。 " J, ?" d  N" d# U
象征八方八节的八角图式，在距今7400－6790年湖南高庙文化遗址出土的陶器上也有发现（图一∶3）。距今9000年－7800年河南舞阳贾湖遗址，是伏羲氏太昊部族生活栖息的地方。贾湖遗址出土文物上有太阳纹符号和“日”字刻苻。显示着贾湖人对太阳的观察和崇拜。七孔八音骨笛的出土，说明贾湖人数学计算水平和八方、八风，八卦（八角）概念的存在。遗址有众多龟甲伴石子的出土。石子用于计算，龟甲则是盖天观念的象征和原始崇拜的表现。高庙文化年代的上限与贾湖遗址年代的下限相去不远。从两处遗址有共同崇鸟、崇风习俗特征来看，在文化上有着一定的承继关系。因此立竿测影产生的年代可以上溯到8000年前。 , ?/ r9 V+ z/ N/ d0 X$ O
从简单立竿测日影，到测望之法“用矩之道”，再到勾股法的产生运用，是中国古代数学产生发展的过程。勾股方法的出现，标志着“度天地之高厚，推日月之运行，而得其度数”6成为可能。因此勾股法的产生和运用，使中国古代的天文历法更为精确。河南濮阳西水坡45号墓北斗青龙白虎图的发现，表明北斗授时系统和二十八宿体系已经基本确立。它足以说明距今6500年中国天文历法达到的惊人高度。这也是数学发展的里程碑。当然对日月特别太阳的观测，在历法的制定中有着更为重要的意义。对太阳的观测中，不同季节日道的直径、日道周长计算，对数学的要求更高、更迫切。从观象授时历到精确的推步历的发展过程中，数学的运用更是具有决定的意义。种种迹象表明新石器时期有数学计算方法的存在。但是，它在那里，又以何种形式存在？这正是我们要寻觅的答案。 - U& C* V, M& M0 t  A/ D
三、方圆是新石器时期数学的基本表达形式
; _* \7 Y% n' s4 h中国上古时期的文化，是以象数为基本表现形式，以“制器尚象”为传播手段的文化。物之有象，有象则有形，有形则有数。象中有数，数中有象。象数结合，是古代先民记录和表达对客观事物认识的独特方式。数学作为古代文化的重要方面，它与古代的天文历法一样，也不例外的具有象数表现的形式。
, i% K3 Y' r" J/ l圆属天，方属地。天圆地方是古代盖天理论的基本表述。圆、方的几何形状也因而成为天地之象。由于古代数学与天文历法密不可分关系，圆、方的几何形状也就成为它的基本表达形式。

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  板凳 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:05:44 |只看该作者 《周髀算经》卷首，周公问商高曰：“请问古者包犠立周天历度。夫天不可阶而升，地不可将尺寸而定，请问数从安出？”精通数学的商高回答说：“数之法出於圆方。圆出於方，方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。”赵爽注：“圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。政圆方邪径相通之率，故曰数之法出於圆方。圆方者，天地之形，阴阳之数。”这里把勾股弦数学与圆、方几何形的关系讲的很明白。
1 H1 D% S9 @: t8 m+ B! J周公又问“用矩之道”。“商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。智出於勾，勾出於矩。夫矩之於数，其裁制万物，唯所为耳。”说明勾股数学方法在望高、测深、知远的具体应用中，仍然不离方圆。 % w- F0 h4 U+ i; l: n) b
值得注意的是，商高的两段话中的“矩”有不同的含义。按赵爽的解释，在勾股弦中，“矩”指勾股两边。古人称“矩”为正方之器（或曲尺）。而在测天地高远的实际运用中，“矩”为表（竿），勾为影。表正不移，则勾亦正。观察勾（影）的长短变化，而知物之高远。
2 E8 g8 Z* j. @: r1 R从上述可知，古代数学基本内容，可以概括为勾股方圆。“伸圆之周为勾，展方之匝为股”，图象为“内圆外方”。因此，内圆外方的几何图形，就是勾股方圆的数学表达（如图二∶1）。“圆出於方，方出於矩，”“环矩以为圆，合矩以为方”，的数学表达则是“内圆外方”（如图二∶2）。此外，表达用矩之道的有矩尺形（┏ 、┐），即勾股两边，璇矩的万字形（卍、卐）；表现勾股弦为直角三角形（勾股弦）；还有表示“圆径一而周三”等边三角形（△）等。数和数学方法都寓于图形中，往往是隐而不现。特别值得注意的是，由于历法与生命的有机联系，先民在表达天文历法和数学方法时，经常把上述图形与鸟、鱼等禽兽生命体结合在一起，表现其“生生”观念。因此，我们决不可用文字记数后的数学表达形式去看待新石器时期的数学形式。 * s( W4 C+ G0 f: k
以上各种图形在新石器时期各地的文化遗址中多有发现。如文章前面提到的高庙文化遗址的八角纹旁边、汤家岗大溪文化遗址的八角纹内都有矩尺纹“┏ 、┐”图形存在（见图一）。在仰韶文化半坡类则更为集中的存在着圆、方、直角三角形、正三角形等图形。另外，在其他文化遗址中还发现了同心圆的两衡、三衡、五衡、七衡图。应该说这些图形都反映了数学应用。我们应以此为依据，沿着古代先民的象数思维和表达方法，去寻觅新石器时期数学。   f" U( l7 S& O
四、新石器时期对数学的应用 , O0 T0 v% `3 @( D/ q' p: W& C4 |
单纯的几何图形的存在，似乎很难说明数学的存在，而实际的应用则能证明它存在。因此我们从首先从数学的应用去发见它。 5 s1 _  e# b. P
1987年6月，在河南濮阳西水坡发现了距今6500前的仰韶文化遗迹，其中45号墓中的蚌塑北斗青龙白虎图震惊世界7。20世纪80年代初期，辽宁省建平县牛河梁发现距今5000年前（经树轮校正、碳14测定约为公元前3000年）红山文化晚期的“积石冢”群8。其中有一座三环圆形 石坛和一座三重方坛。圆坛在东，方坛在西。圆形石坛中内外三环的直径分别为：11米、15.6米和22米。冯时根据西水坡45号墓的南圆北方奇特形制和数据所复原的盖图，与牛河梁石坛三环数据、《周髀算经》七衡图（内衡中衡外衡）三副盖图（图三∶1、2、3、）进行研究比较，并列表说明（见下表）。 1 ^7 z/ f7 u" k( t
早期盖图比较表（冯时） 2 D+ x. J3 g- N, z; Y/ }

6 x- q& S+ A2 P( \$ O盖图名称 时代 三衡直径的关系 外衡与内衡直径之比 观测者位置 分至昼夜关系
3 D$ ^: X1 e* c西水坡盖图 约公元前4500年 缺内衡，拟等比数列 等于二倍 外衡之外 部分准确
/ }; {' J8 V! }% F: N# \2 `牛河梁盖图 约公元前3000年 等比数列 等于二倍 内、中衡之间 准确 ; }2 D' {# b- T* x6 m: `
《周髀算经》盖图 约公元前5—1世纪 等差数列 等于二倍 内衡之内 不准确

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  地板 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:05:50 |只看该作者 他说：“复原工作的成功使我们可以大胆提出，西水坡45号墓除去方形大地的设计之外，上部图形就是原始的盖图！尤其令人惊讶的是，依照墓穴的实际尺寸，这张盖图所表示的分至日的昼夜关系非常合理，特别是春秋分日道，其昼夜关系的准确程度简直不差毫厘。显然，这比根据《周髀算经》所复原的盖图更符合实际天象。”“将三环石坛所表现的三衡直径的关系与《周髀算经》七衡图之内、中、外三衡直径的关系进行比较，可以发现，二者内衡与外衡的关系完全一致。”“牛河梁三环石坛的考定，证明中国古老的盖天理论在公元前第三千纪已经发展到一定的水平。作为早期的盖天图解，牛河梁的盖图完全具有实用性。它不见描述了一整套宇宙理论，同时准确地分至日的昼夜关系。这种完整的理论体系的确立，必然经历了一段漫长的形成过程，因此，盖天理论的发端必之原始盖图的出现无疑有着更悠久的历史。而牛河梁盖图所表现的五千年前先人们对宇宙的认识水平，已足以令人惊叹！”“毋庸置疑，如果说盖天理论与勾股法的结合就是‘周髀’的话，那么我们岂不是通过牛河梁三衡图找到了最早的‘周髀’！”9。冯时的研究成果，使我们可以得出这样的结论：即中国在距今五六千年前勾股数学的方法已经经存，并在天文观测和墓穴、祭坛的设计和建造中应用。 & W$ b0 y2 K- v
七衡盖天图，是由三衡、五衡盖图发展而来。人们已经从河姆渡文化遗址（距今7000－6500年）陶象模型上，看到了三衡图（四∶1）；残损的一件工艺品上有太阳鸟五衡图10（图四∶2）；“双凤朝阳纹”的牙雕上同样可以看到五衡图11（图四∶3）形象。后来，在春秋战国的铜镜上，还有二、三衡图的存在（图五∶1、2）。至于七衡图，我们从1976年出土于殷商妇好墓的铜镜上看到3100前的带有光芒纹的七衡图12（图五∶3）。1979年考古人员在新疆罗布泊地区孔雀河古河道北岸发现了数十座3800年前的“太阳墓”。在木桩围成墓穴外围，有用木桩围成的7个同心圆，木桩同时又呈太阳光芒放射状13（图五∶4）。“太阳墓”的七衡盖图墓葬形式与西水坡45号墓的三衡盖图形制，有着异曲同工之妙，都体现了盖图观念和所处时代的天文历法成就。《周髀算经》中除了日道，还有光道的计算：太阳“冬至所北照，过北衡十六万七千里，为径八十一万里。”“故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里。”说明这些带有光芒的七衡图更符合古意。七衡图是与二十四节气相关的日道。其从产生到被人们接受而应用到生活实际中，必然是经历了相当长的一段时间，这在上古时期更是如此。因此，七衡盖图产生的时间应该追溯到更为久远的年代。衡图的产生，是建立在对日道进行观测和数学计算基础的。因此，衡图是古代先民数学应用的成果，这说明新石器时期的数学在应用中延续发展着。
& G9 J0 w- y* V4 i* p五、仰韶文化时期的数学
/ e7 I/ v/ J6 m7 S' W* N* o0 Z1、仰韶文化锥刺三角形的数学意义
- o& @" i+ J' B- l数学是关于客观空间形式和数量关系的科学14。有图无数是很难说明数量关系的。二十世纪五十年代末期，在仰韶文化西安半坡遗址和西华县元君庙遗址，出土的陶片或陶器上，发现了36、45、55数点组成的锥孔三角形。这些类似幂形排列的数点三角形，对于我们解开新石器时期数学之谜，有着决定的意义。
, V0 t' \# n0 V( x# f, T8 S2 N1 F元君庙出土的陶钵上有锥刺的三角形图案。图案呈“△▽△▽”相间，刺在上下两道平行的规线之间，连续环上腹部一周（图六∶2）。留存的十个三角形中，有九个是由55个锥刺孔组成，一个是由45个锥孔组成。考古报告说，55数的三角形从一至十分十层。45数三角形从一至九有九层15。在西安半坡遗址出土的陶器残片上也发现了锥刺三角形图案16。由于陶片残缺，很难看出图案的全貌，但其中由一至八数组成的八层36数点三角形，基本完整，而且它与图案的其他部分有明显的间隔，显示其有相对的独立性（图六∶1）。考古发现的这三种由36、45、55个数点组成的三角形图案，因为它们是用具体的数组成的三角形，这对于我们认识当时的数学和科技是一件很有意义的事情。

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  5^# 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:06:03 |只看该作者 宋、清代的一些学者从河图、洛书的55、45数，演绎数理，希图用河图洛书数去涵盖55、45 的所有数理。因此出现了河图为“加减之源”，洛书为“乘除之源”的说法，反而增加了河图洛书的神秘感。但有些推演，对我们仍有借鉴作用。清代李光地的“点数应河图十位”中，用55数点组成三角，并形分成内外三重的做法，对我们是有启发的。他说：“周围三角，分三重，中一重九，次内一重二九一十八，外一重三九二十七，除中心，凡数五十四17。”换句话说，五十四数，加中心的一数，为五十五数。这种三重的分法，可以帮助我们分析仰韶文化遗址的36、45、55数点组成的三角形。 4 G- {& [! ]* }
36数点组成的一至八数八层三角形，分为三重数点三角形，其数点为：
' Y; ^  r4 y9 u. k9 ?' M/ o: A内重3，次重12，外重21。三重数点之和为36，即3＋12＋21＝36。 0 R( v8 i3 }5 [3 Q$ P
同理，45数点组成的一至九数九层三角形，可分为：内重6，次重15，外重24。三重数点之和为45，即6＋15＋24＝45。55数点组成的一至十数的十层三角形，三重的数点分别为：内重9，次重18，外重27。即9＋18＋27＝54。因中心正居其正中一点，为1数，合为55数。
6 E1 o5 a0 E/ p* ~6 o& N我们把以上三种三角形分为内外三重，重与重之间的圆周数差，都为9数，谓之“九重差”。 - m( Z5 ^. n! Y1 F& u3 a, q
刘徽在《九章算术》注序中说：“徽寻九数有重差之名，……凡望极高测绝深，而兼知其远者，必用重差。勾股则必以重差为率，故曰重差也。”《周髀算经》书中有勾三股四弦五、勾六股八弦十的勾股弦法。但何为重差？为什么“九数有重差之名”？古代的文献并没有明确记载。从刘徽“寻”的语气中，看出“九数重差”已久不为人知。
8 C( i3 y, Z0 o% e) U2 `; i从刘徽的说法至少提示我们两点：其一，数点三角形可以分成重差为九的三重。其二，九重差三角形与勾股有关。“率”，即圆周率。三三为九，圆周率为三，九为三的圆周数。故数点三角形与圆周有着一定的联系。沿着这一思路，我们去寻求仰韶文化时期这些36、45、55数点三角形的数学、数理意义。 7 }: k8 A3 q8 B3 d* J
按照“圆径一而周三”的计算方法，我们发现，36数点组成的三角形，其内外三重三角形的周长数，也是直径为一、四、七时三个同心圆的圆周数（图七∶1）。即：
( C! b, [$ T+ T1×3＝3， 4×3＝12， 7×3×21。 3＋12＋21＝36。 8 i6 d8 P3 R+ r6 q8 P2 F( W
45数点组成的三角形的三重三角数，是直径二、五、八，三个同心圆的圆周数（图七∶2）： ) E3 Y9 x7 c6 `7 U6 U' _7 H
2×3＝6， 5×3＝15， 8×3＝24。 6＋15＋24＝45。
8 S! r& \2 {1 P; `而由55数点组成的三角形三重三角数，则是直径为三、六、九，三个同心圆的圆周数（图七∶3）：
. j6 |7 A( i! z; `4 r# q  n0 E3×3＝9， 6×3＝18， 9×3＝27。 9＋18＋27＝54。 . z$ X) Z: S$ W/ E6 [& k. o3 H7 C8 }+ o
由于直径三、六、九同心圆的圆心正在三角形第七层中间一个数点上，故三圆周数外加中心1数，构成三角形的55数。 ( Z* X8 q% G+ q& K$ x# P
这就是说，36、45、55数点三角形，分别是直径为一、四、七，二、五、八，三、六、九时，三重同心圆的圆周数之和组成的图形。
) Z. H9 ^! p' W1 U圆属天，方属地，天圆地方。三重圆或曰三圜，是古代先民表示天圆或圜道重要图象。既然36、45、55都是三重圆周之和数，它们在象数文化中主要用于表示与天文历法有关的事物。36数，古人从又称为“天罡”数；易经八卦、六十四卦中阳爻（—）的策数，皆为36数。因此与天文历法有关的河图、洛书也用55、45数组成；天地数之和为55数。汉马王堆帛书《易传》：“大衍之数五十有五”。由此也可以看出，仰韶文化遗址的三种数点三角形的重要意义。
, N0 z, G) k1 e$ y7 x既然仰韶时期的36、45、55数点组成的三角形图案是三环圆周数的表达形式。就说明当时的先民是用三角形来表达圆周的。三角形成为“圆径一而周三”的数理的形象表达。按古代一物多象、多物一象的象数思维的特征，三角图形（▲、△）可以包含多种象数意义。三角形之一边为圆径；三角形之“三”象圆周率（π）之三；三边之和为圆周数。故三角形又象征圆周、圆、圜、天圆、圜道。由此也使我们知道古代器物上的各种形式的连山纹，是圆周、圜道、天圆的象征。三角形又是山形的象，甲骨文的山字就是三个“△”连在一起。春秋战国的山字铜镜上的“山”，应是源于三角形之象，表示天圆、圆周、圜道。三角图形与圆形的区别，在于它包含了圆周的数理意义。仰韶36、45、55数点三角形中三圜圆周含义存在，是勾股方圆数学存在的有力证据。
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2、仰韶文化时期的内圆外方图形和勾股数学   B( e6 S6 f+ Q& u* c
仰韶文化的数点三角形的发现，成为揭示仰韶文化时期勾股数学的重要环节。《周髀算经》中赵爽注曰：“圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角，邪适弦五。政圆方邪径相通之率，故曰数之法出于圆方。圆方者天地之形阴阳之数。”勾股法中，勾数来自圆周数，股数来自方周数。勾股方圆数学的图像，是圆方同径的“内圆外方”形，它是勾股方圆的基本图形。内圆外方图，《周髀算经》中称“方圆图”。
- L; T( `4 H, _. \6 U/ \8 Z+ s考古资料表明勾股方圆的的图形有两种表现方法：一种是内圆外方形。如新石器时期玉琮平面形（图八∶1）。安徽阜阳双古堆西汉汝阴侯墓出土式盘，都是内圆外方形式。内圆外方形的的特点是直观，方形边长与内圆的直径同率相等。又因为古人用三角形（△）来表示圆周数，所以这另一种图形，就是三角形与方形相结合，方形内有三角形，同样表现“内圆外方”。这后一种是更为原始的表现形式。在西安半坡和山西芮城东庄村西王村仰韶文化遗址出土的器物上都有发现18（图八∶2、3）。它是由方形和方形两条对角线组成的四个三角形组成，或者更简单的在方形中间画一个三角形图案。因为四个正三角形不可能组成方形，因此只能是一种象征性图形。由于三角形与方形共边，其主要目的是形象表达“圆径一而周三，方径一而匝四”，圆方同率这一数理关系的。
! v- y; d; f- h! T; [另外，在山西芮城东庄村西王村仰韶文化遗址出土的器物上，还有表达方周数的图形（图八∶4）。该图是由内外两重方形组成。内层方形的四角各有一个数点，共四个数点；外层方形的四角个有两个数点，合为八个数点。分别表示方径一而匝四、方径二而匝八。这种用数点表示方周的做法与用数点表示圆周的做法完全一致。 0 V) ^2 q: |/ L6 G% B
在内圆外方的数理图形中，圆的直径正是方形的边长。而在用三角形边长之和表现圆周数时，三角形的一个边长也同时是圆径，圆径又与方边相同，因此方匝数也因此而产生。 + l- h5 U. ^' l: m/ z7 G  f
按照“方径一而匝四”，依据36、45、55数点组成三重三角形各边长（圆直径）的数据，我们可以求出方径（边长）一至九数的的方匝（方周）数：
$ \. q# O/ A0 h7 n6 u- x6 t一、四、七的方周分别为：4、16、28，即： ( W( @% p4 y: \  Q1 W. r9 V
1×4＝4， 4×4＝16， 7×4＝28。 7 g( f4 ?3 X( N1 a( _2 s) Z
二、五、八的方周为：8、20、32，即：
7 K: v4 @  I. B8 q- a9 x& B* q  @4 n9 y- X2×4＝8， 5×4＝20， 8×4＝32。 % r- [8 H/ y5 Z
三、六、九的方周为：12、24、36，即： ) ^! B, j8 U# [
3×4＝12， 6×4＝24， 9×4＝36。 ( l3 t- K% a! ]
我们以三种数点三角形的边长为圆、方作圆方图（图七:1、2、3），可看出数点三角形与圆方的关系。 % o6 G* j8 a& z
综合36、45、55数点三角形的方、圆周数，可列表： 5 |2 `: s( |6 N' K2 X
5 X3 y4 E' m; j7 L
* i/ ]' c0 M/ B" y
圆方径一至九的圆周方周数表 ) I' g  L; j9 Q1 g* h
+ L" w2 a* G4 V9 P# i
圆、方径 内层圆周 内层方周 中层圆周 中层方周 外层圆周 外层方周 圆、方周长之和
. B* B1 p( ]0 D. w* \×3 ×4 ×3 ×4 ×3 ×4   c/ J' S' E- \7 e
1、4、7 3 12 21 36
# Z# i; F9 o8 ?: F4 16 28 48 7 f# x0 e2 ?. y% L% k
2、5、8 6 15 24 45
) s8 j$ P# {0 z3 y8 20 32 60
$ l% X% U- t6 `; B# b) b) ?6 v3、6、9 9 18 27 54＋1
; B% z) d1 B; ?. b5 A% m; X12 24 36 72
( _6 L# f. C9 H, ^: K$ q! U* ?: O9 x6 q) c
依《周髀算经》：“伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角”。可得下列九个勾股弦数： ! ~+ a5 s" u- `1 F* K( G
勾三股四弦五     勾十二股十六弦二十     勾二十一股二十八弦三十五
1 p& U1 r& k6 F  G9 O- r. ]7 E2 f勾六股八弦十     勾十五股二十弦二十五   勾二十四股三十二弦四十 ; |. `/ f! u4 P% V0 N+ w+ K
勾九股十二弦十五 勾十八股二十四弦三十   勾二十七股三十六弦四十五
& Q- v  w$ [7 f+ k- C# I从上述勾股弦数的纵向变化中，我们可以看出，当圆方径从一至九按自然数列排列时，它们的圆、方周数组成的勾股弦中，勾数以三数级差增加，股数以四数级差增加，而弦数则以五数级差增加。弦数减去股数的差数，就是该勾股方圆径数。若以上述勾股弦中的勾为方圆径数，则股数和弦数之和，恰是以勾数为圆径的圆周数，从而可以建立新的圆方勾股弦。因为当圆径、方径都为一数时，其圆周数为三、方周数为四，所得勾股弦为勾三股四弦五。所以勾三股四弦五，成为最基本的勾股弦数，故后来成为勾股定律（a2＋b2＝c2）的基本数据。

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  6^# 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:06:16 |只看该作者 因此，我们从仰韶文化的36、45、55数三个锥刺三角形中，不仅可以得到一至九数为径的方、圆周数，而且可以得到连续九个勾股弦。依据这些勾股弦的规律，还可以得到更多的新的勾股弦。上古先民也许还没有乘方、开方的数学概念，但他们却用简单的加减方法，解决了乘方、开方的数学问题。可见，这三个数点三角形，对当时人们进行勾股数学计算中具有十分重要的作用。 ! G$ u9 r# Y! Z- P
正是由于36、45、55数点三角形的发现，使我们了解了上古先民表现圆周数理的方式。直径一至九的圆周数的产生和内圆外方图形的存在，我们可以得出一个结论：即勾股方圆的数学，在新石器的仰韶文化时期已经产生和存在！
+ w( L6 M5 I9 v* P5 {! g3、仰韶文化的内方外圆图形和“圆出于方，方出于矩”数理
% M, H& H( x& r/ P《周髀算经》：“商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”商高的这段话，简明的概括了上古时期勾股法数学产生的历史和方法。所谓“数之法”即是勾股数学方法。“数之法出于圆方”，就是“伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角”，而成勾股数学法。勾股的图形是直角三角形，两直角边呈“曲尺形”，又称矩尺。勾股的两边通称为矩，故曰“折矩”。“折矩”，是就勾股弦的图形而言。古代先民把立竿测影的表竿称为“髀表”，表影称为勾。“髀，股也”（《说文·骨部》），髀就是股，“勾股”名称由此生。表竿亦称为“矩”，所谓正绳以测高厚深远时的“平矩”、“偃矩”、“覆矩”、“卧矩”，都是就表竿而说。古人从立竿测影开始，掌握了确定东西南北之法，而有地之四方概念；通过立竿测影知四时日影变化，而知春夏秋冬八节，周而复始；通过立竿测影，方有“一寸千里”影表率和“八十寸而得一寸”日髀率产生，从而可度二十四节气太阳运行圆径和圆周之数。随之使原始的盖天观念发展到数理的盖天理论。同时，“圆出于方，方出于矩”，又是数学方法。
8 e( I; W  _% L, l5 P; @“圆出于方，方出于矩”，其数学图式是内方外圆形，即《周髀算经》中的“圆方图”。这种数学图形，在仰韶文化遗址出土的器物上也有发现。说明“圆出于方，方出于矩”数理与勾股方圆数学同时出现在仰韶文化时期。
" _$ v) B+ l$ k! t+ o+ s! \9 |在郑州大河村遗址陶器上，人们发现距今5000年的的内方外圆的图形（图九∶3）。潘雨廷先生说：“这一图形，确有中国的民族特色，当时尚无文字而已知规矩方圆及内外相接的形象。19”图中正方形的外接圆，是方形旋转后而产生的。“圆出于方”的概念在这里表达很明确。这一图形与西亚公元前四千年陶器的图形相似（图九∶1）。相比之下，西安半坡遗址6000年前陶盆上的“内方外圆”图要原始的多，对其识读也困难一些（图九∶2）。图形是由纵横十格的网状正方形和其四角上的四个三角形组成。如文章前面所说，三角形（△）具有圆周、圆、圜等象数意义。因此，网状方形四角上的三角形，象征圆、圆周。此图形尽管原始，但由于方形纵横十格和三角形象征的圆周，使该图极具数理特征。其形式更能表达古人的认识。《说卦传》和孟氏逸象讲：离为日、为黄矢、为网、为乾卦。黄矢即太阳光线。乾为天，为圜。图中的网纹象征着天上太阳光照大地。网纹纵横十格，象征天地十数。网纹四角的三角形，则表示人们应用勾股数学对日月运行的度量。因此这一图形，也是表示圆出于方的“内方外圆”图。 ) H5 I2 W  o3 G- ]( `5 m" G
郑州大河村遗址出现的“内方外圆”图形，具有形成三方三圆的连续性和可计算特征。我们把该图形四个内弧的中心点连接起来，就是一个圆外切正方形（图九∶4）。旋转这个外切方形又可产生一个新的外接圆。同样的方法，我们可以向外得到第三个正方形和圆形（图九∶5）。从而形成连续的三方三圆图形。此时，我们就会发现，三个同心圆的直径分别是三个正方形的对角线。据此我们可以求出三个同心圆直径之间的比例关系。
: j. L, `, G* W/ @" L. u" l% A0 x假设：第一个内接正方形的边长为a；从内到外三个圆的直径分别为，R1、R2、R3。可得： 6 s+ g+ ]4 Y$ a3 m$ T

3 `& i5 ]* V' |; |
; |9 M* Z1 ^1 T* \; z ! {8 Q3 w1 }8 T& {1 O1 H: p, C
R1＝ a，    R2＝2a，    R3＝2 a  . o2 d- P& r3 f  n3 Q
其中外圆直径R3，是内圆直径R1的二倍。三个圆的直径成等比， # h8 o$ q* H1 ?, w
即：R3／R2＝R2／R1   （ 2 a／2a＝2a／ a）
3 S7 r+ ]0 }% j( @6 m三个同心圆的这种比例关系，即外圆直径是内圆直径的二倍，外圆直径与中圆直径之比等于中圆直径与内圆直径之比。同辽宁牛河梁红山文化遗址祭天石坛的三环直径之间的比例关系完全一致。 + n: W# A7 Y& w& ^2 {7 P) L
石坛内环、中环、外环的直径分别为：11米、15.6米、22米。其外环直径也是内环直径的二倍。外环与中环、中环与内环之比，同样成等比关系，
+ ~7 A1 J6 a* t+ F1 \2 A即 ：22／15.6 ＝15.6 ／11 。
4 H# N) a; }) T. u我们只要按照大河村古陶器上“内方外圆”图形给出的方法，在确定方形边长的基础上，所得到的连续三个同心圆，其直径都存在这样的等比关系。半坡遗址网纹正方形的边长是十数。若以此为基础，所得三个同心圆的直径比例也是如此。这种等比关系组成的三个同心圆，就是一幅能表现二至二分日道比例的三衡图。半坡遗址和大河村遗址发现的“内方外圆”图形，及牛河梁红山文化遗址三环石坛存在，不仅进一步证明勾股方圆数学存在，而且早已被先**用在对日月运行观测、历法制定、和祭祀、墓穴形制等实际当中。 ( ?. i6 U0 @$ F. G* \
在《周髀算经》中，商高说：“圆出于方，方出于矩”，“圜矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆，笠以写天”。商高所说，无疑是对产生于新石器时期的勾股方圆数学方法，及其应用和发展的总结。
0 ?/ }9 B2 M, i) n6 H4、新石器时期的圆周率“径一而周三” ! F5 `6 |5 ]% x4 ]' b: ~
圆周率是一个重要的数学常数。“径一而周三”，就是中国古人对圆周率的表述。这个在今天看来很不精确的数据，却是世界上最早的圆周率近似值。它的使用一直延续到汉代初期。从张家山出土的汉简《算数书》中，仍可以看到人们对它使用。到了魏晋南北朝时才由刘徽、祖冲之先后计算出更为精确的圆周率数，从而代替了这一存在了数千年的圆周率（3）数。我们用圆周率3这一数据，从仰韶文化时期36、45、55数点组成的三个三重三角形中，计算出圆径一至九数的圆周数，并了解了其中存在的“九重差”。这说明当时的先民们已经知道圆周率3，并在实际应用中使用了这一重要数据。也许人们仍然会怀疑的问，六、七千年前它果真存在吗？它又是以何种形式表现呢？显然，我们要说明新石器仰韶文化时期已经产生和存在勾股方圆数学，这是一个不可回避的问题。 # Y; r6 a! ]0 E0 j# X" [
中国古代圆周率的产生最初与月相变化有关。《管子·宙合》：“岁有春夏秋冬，月有上下中旬”。沈括《梦溪笔谈》：“殊不知一月之中自有消长，望前月行盈度为阳，望后月行缩度阴两弦行平度，至如春木夏火秋金冬水，一月中亦然。”江国栋引上述两段话，从“形数”结合上说明月相周期变化与圆周率的关系。认为圆周率“径一而周三”来源于月相的“一弦三周”20。此说并非无据。而与仰韶文化时期先民对月相和圆周率3数的表达方式基本符合。 $ u6 u7 E3 v$ ^; r7 Q% |  F9 }8 B
从仰韶文化半坡类型的人面鱼纹中，我们可以解读出“一弦三周”的含义。圆形人面纹明暗变化，象征月相的朔望弦月变换（图十∶1、2、3）。人面纹两侧的鱼形纹，表示上下弦月。《说卦传》：“坎为水，为月”。先民用水中半月形的鱼象征弦月，是再形象不过了。圆形人面纹正上方的三角形纹，象征月相变化的（圆）周期三旬。一月三十日，一旬十日，一月三旬。把人面纹和网纹方形组合在一起的图案中（图十∶4），网纹的纵横十格，也是表示十日一旬的内容。《释名·释天》说：“弦，半月之名也。”月相上弦、下弦，通称弦月。两弦月合为一月，故有“一弦三周”之说。人面鱼纹成为“一弦三周”的象数表达方式。半坡在先民们又把许多鱼头画成近似于正三角形，把鱼身画成直角三角形（图十∶5、6）。半月形的鱼、三角形的鱼头、直角三角形的鱼身，把“一弦三周”、“圆径一而周三”、勾股弦数学法有机联系在一起。由月相“一弦三周”的变化，而联想到圆径与圆周的“径一而周三”关系，并用三角形（△）表示。从一定意义上说，一个“弦”字，把月相变化、圆周率三、勾股弦三者联系在一起，成为勾股方圆数学的象数表现形式。鱼的形象成为这种数学数理关系地理想的象数表达形式。这不仅说明“径一而周三”圆周率早在新石器仰韶文化时期已经存在，同时体现了当时先民们的聪明智慧和象数思维的特点。

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  7^# 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:06:29 |只看该作者 5、三衡和七衡盖天图的原始图形 0 b! d. Q9 p, Y1 Q- O
人们通常在出土文物上看到的盖天衡图，是由三个、五个或七个同心圆组成。那么有没有其他表现形式呢？从对36、45、55数点三角形的解读中，知道可以用三角形表示圆周。因此三角形（△、▲）可以作为圆周、或圆的象（数）。既然如此，能不能用几个连续相套在一起的三角形来表现盖天衡图呢？从象数表达的角度来讲，是完全可以的。事实上，我们在半坡仰韶文化出土的彩陶钵上看到的正是这种图形（图十一∶1）。
) n, k. j, q0 [' a陶钵上部，斜线和三角形交错相间带状图案中，每一个三角形的两侧都有七条相对的斜线。当我们把因带状图案上下距离限止而中断的斜线延长，就成为如图十一∶2图形所示的七个相套的三角形。中间的三角形象征北天极璇玑圆周，其外的七重三角形象征太阳的七衡圆周。如果我们把图十一∶2中上、下两个七重三角形相合，则成七重菱形图（图十一∶3）。如果我们把菱形图转换成用圆形表示，则成图十一∶4，就成为一幅七衡盖图。因此，我们可以大胆的说，半坡遗址彩陶钵上的图案，是原始的七衡盖图。用同样的方法，我们可以把半坡遗址发现的三重三角形图案21，转换成为一幅三衡盖图。可见考古发现的古代文物上多层上下相间的三角形图案、菱形图案（如图六∶3）都应该是盖图衡图的象数表现。
3 |, D% a) n% ^0 b半坡原始盖图的这种表现形式，与当时的勾股方圆的数学表达方式完全一致。既然三角形能把圆径和圆周有机的统一在一起，那么用三角形表示不同季节日道直径和圆周，也是完全合乎情理的做法。其次，这种表现形式与人们的直观视觉一致。因为有昼夜变化的存在，人只有在白天能观测到太阳的运行，而在夜间是看不到的。所以先民用上下两种图形，表示昼夜观测的不同。 & {4 z" l  J/ m. `0 `2 k
由于勾股方圆数学方法的产生和原始七衡盖图的存在，我们相信仰韶文化时期的先民们，已经可以通过立竿测影，根据表影长短的变化和勾股数学方法，计算出不同季节日道变化规律。从而导致二十四节气历法产生，把中国古代的天文历法推向一个新的发展阶段。 5 x; T& V( N4 y0 n
尽管我们现在已经无法知道当时人们的具体计算情况，但至少还可以从《周髀算经》中了解一些古老的信息。
  f3 G4 s- l" ~" w" ~《周髀算经》，首先通过立竿测影实测，得出“一寸千里”的“表影之率”。即表影相差一寸，而地相去一千里。从而得出周髀长八尺，夏至日中表影一尺六寸，日至南万六千里，冬至表影一丈三尺五寸，日至南十三万五千里的数据。
. o6 Z! p- g8 }8 ]9 l6 L又候日中表影六尺之时，与八尺髀表构成勾六股八弦十勾股弦率，“即取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，口正掩日。而日应空之孔。”得日髀率“八十寸而得径一寸”。
) N# m+ a2 K- e6 Z0 M) |由于髀下无影时，日去地六万里， 而“从此（地）以上至日则八万里”。“以日下为勾，日高为股”。勾六万里（“一寸千里”表影率），股八万里，“得邪至日，从髀旁至日所十万里。”日髀率“八十寸而得径一寸”，按表影率计算，即八十里而径一里。可求得十万里之日晷径一千二百五十里。 ! @9 o& m: ?- ~: f4 S- z; N
以盖天理论，夏至日中表下无影时，表竿与北天中齐。因此又可“立表八尺以望极（星），其勾一丈三寸，由此观之则从周北十万三千里而极下。” 1 R5 i" J6 `2 ?/ ?9 R! o
由此可知太阳夏至日中南至一万六千里，而距天中十一万九千里。北至夜半距离同样。夏至日道直径为二十三万八千里。 0 k3 {. \1 N- Y& Y$ t) J1 e6 h
简言之，就是按照“一寸千里”的影表率、“八十寸而得径一寸”的日髀率、极下勾“一丈三寸”数据，结合不同节气的表影长度，可以求出其对应的日道半径，倍之即日道直径。再乘以圆周率（3），可得该节气的日道圆周数。如夏至日中表影一尺六寸，故其日径为： ( [3 t4 n( p% J8 q  k" F3 s3 t
（16×1000）＋（103×1000）＝119000（夏至日道半径）
2 }9 ]9 [$ V$ S$ g119000×2＝238000（夏至日道半径）   C, u  Z; m3 L. Y
天戴日行，“圆径一而周三”。故夏至日周七十一万四千里，
6 L* `* g& q& e  }238000×3＝714000。
# Q8 N: Q9 S3 J0 [. J) Q' }同理：冬至日中表影一丈三尺五寸。可知冬至日径四十七万六千里，日周一百四十二八千里。
# ?1 {6 \6 E( |. r2 K5 L- H; Y135000＋103000＝238000   Z! q8 ]- a9 D& o! P/ l

) y5 U( I4 e# a  i238000×2＝476000， ( f# e( n, J0 {& _! E7 L
476000×3＝1428000。 7 Q2 }8 c( G* U. }9 I
春秋二分，日中表影七尺五寸五分，可知其日径三十五万七千里，周一百七万一千里。
  v2 o. A8 a, p# A75500＋103000＝178500
; D. w: v1 q/ k1 _5 O178500×2＝357000， $ {# h) u6 G+ O3 ~1 R7 o* @
357000×3＝1071000。 0 g( T2 q; e/ n" T& c
由于，“髀表八尺，勾之损益寸千里”与勾股法结合，可测日之高远，天之广袤。所以只要观测日影，就可以求出不同节气的日径和日月轨道。因此说，立竿测影对于中国古代天文历算及数学的发展具有决定的意义。
9 \- Y3 Y- E. \: b; V! ?. e* Z《周髀算经》中，以损益九寸九分六分分之一，而得二十四节气晷长（表影）的记录。 8 b6 P! ~+ [: i, \3 I7 o& B8 a& l& Q
冬至晷长一丈三尺五寸。 小寒晷长丈二尺五寸。 大寒晷长丈一尺五寸一分。 立春晷长丈五寸二分。 雨水晷长九尺五寸二分。 启蛰晷长八尺五寸四分。 春分晷长七尺五寸五分。 清明晷长六尺五寸五分。 谷雨晷长五尺五寸六分。 立夏晷长四尺五寸七分。 小满晷长三尺五寸八分。 芒种晷长二尺五寸九分。 夏至晷长一尺六寸。 小暑晷长二尺五寸九分。 大暑晷长二尺五寸八分。 立秋晷长四尺五寸七分。 处暑晷长五尺五寸六分。 白露晷长六尺五寸五分。 秋分晷长七尺五寸五分。 寒露晷长八尺五寸四分。 霜降晷长九尺五寸三分。 立冬晷长丈五寸二分。 小雪晷长丈一尺五寸一分。 大雪晷长丈二尺五寸。凡八节二十四气。
2 L& g* G; h2 I/ l, n# l七衡图又称七衡六间图。七衡是十二中气的日道，六间是十二节的日道。共二十四节气。七衡日道的直径和圆周数据成等差。分别是：
" Z3 e% Q; {; F9 S3 g, |. K内一衡（夏至），日道径238000里×3＝日周724000里； 7 e3 B4 g  ~! k+ G) Q& s3 @/ N+ U
次二衡，日道径277666里200步×3＝日周833000里；（一里等于300步） . [" B" f2 @* V8 o* m
次三衡，日道径317333里100步×3＝日周952000里；   d" f1 o% L& n& `* x* G
次四衡（春分、秋分），日道径357000里×3＝日周1071000里；
) {7 l$ E2 f3 T( C) q0 k" G% o次五衡，日道径396666里200步×3＝日周1190000里； & R) |0 P% A) j1 ^
次六衡，日道径436333里100步×3＝日周1309000里；
5 u8 ^( w0 m% r6 C4 Y次七衡（冬至），日道径476000里×3＝日周1428000里。 ( ?0 }) C. G. ~/ {( A2 X  q
相邻日道直径直径差都为39666.666，日道周长差为119000，（39666.666×3≈119000）。外衡是内衡的两倍。外衡、中衡、内衡成等差关系。
' m. x+ x" f4 @+ i$ {5 W! \: d从立竿测影、勾股数学、测高望远术的悠久历史看，这些数据应该是非常久远的。而日晷的记录则更古老。西安半坡仰韶文化遗址与周王城属同一纬度，测量的数据应该差别不大，计算出的日道直径、圆周也应一致。从上述《周髀算经》中周王城的观测计算数据里，也许能获得一些半坡先民的信息。黄帝“调历”、造甲子；尧，定四仲中星，“期三百有六旬有六日，以闰月定四时而成岁”；舜，建极立法，“协时月正日，同律度量衡”，必有所宗。半坡类仰韶文化时期先民的数学及计算成果，为黄帝、尧、舜、禹等继承和发展，应该是可能的。这样流传下来，被周代天文官们继续发展应用，也就不足为奇了。
1 n4 @5 @/ \4 ]. \由于对半坡遗址三角形原始七衡盖图的发见，我们便可以把对日道直径、日道周长的计算，上溯到距今六、七千年以前的新石器仰韶文化时期。
' D! O! Q  y. D+ S* Y6、“参天两地”数理和天圆地方的宇宙数理图式 ; F. Z  ^+ L7 C$ s
中国古代天文历法的产生发展和与之相伴的数学，始终和古老的盖天理论密切联系在一起。勾股方圆数学的产生和应用，便出现了盖天论的数理表达和数理图式。
' S2 c3 v" S: m+ G. C& `8 L  S“参天两地”，就是天圆地方盖天说的数理概括。它的出现是勾股数学存在和应用的结果。《周髀题辞》：“参两以生勾股，遂至于算数所不可及，盖亦因天地自然之数耳。”这里的“参两以生勾股”，显然是把“参天两地”宇宙数理观念的产生与勾股法联在一起了。这种说法与朱熹对“参天两地”的解释一致。朱熹解释“参天两地”时说：“天圆地方，圆者一而围三，三各一奇，故参天而为三。方者一而围四，四合二耦，故两地而为二。22”“参”，即叁。天圆地方。三（叁）为奇数，为阳，为天数；三为圆周率，三又为直径一的圆周数。所以，三（参）成为“天圆”的数理表达。勾股两边为矩，两矩相合为方。“两地”，即两矩。二二为四，方之四边。二、四为偶数，为阴，为地数。《周髀算经》：“夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。”因此，“两地”是对“合矩为方”表述，也是“地方”的数理表达。所以，“参天两地”是“天圆地方”的数学语言，是古人以勾股方圆数学对盖天理论的数理表达。

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  8^# 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:06:42 |只看该作者 这一对盖天理论的数理表达，在半坡遗址的已经亮相。它就出现在被称为“羊角柱”的图案中23（图十二∶1）。“羊角柱”图案，既是一幅半坡先民立竿测影的“图腾”形象，又是半坡先民用“参天两地”数理同勾股方圆数学的特殊表达形式结合在一起，绘出的一幅宇宙数理图。
8 c; U# h5 X2 x+ c# T% W& l: S羊角柱图案上方的两个角盘，成两个半圆弧形，象征日月东西天区。左右弧形中间，分别有“∴”、“∶”数点。从三、二数点图中的位置，包含两重含义：其一，就是用“参天两地”数理表达天圆地方宇宙观念。其二，以三、二的阴阳观念，象征日月运行于天。《周髀算经》说：“阴阳之数，日月之法。”《系辞传下》说：“日往则月来，月往则日来，日月相推，而明生焉。寒往则暑来，暑往则寒来，寒暑相推，而岁成焉。”因此，图案中的“∴、∶”二数点，寓意了日月相推寒暑变化的自然数理。天地阴阳，日为阳之精，月为阴之精。羊角柱图案中用三、二阴阳数点象征日月，与“参天两地”的数理含义完全一致。这是迄今发现的最早有关“参天两地”的数理表达。这一数理的再次出现，是在安徽含山凌家滩出土的距今5000年左右的玉版图24中（图十二∶2）。玉版图的上边三三九个孔，下边二二四个孔，九、四也是“参天两地”的表现形式。这就说明随着勾股方圆数学的产生运用，“参天两地”这一阴阳数理已经被先民用来描述对宇宙的认识。
4 a. {. R) M  {# ?  H2 X“参天两地”宇宙数理概念的产生，是对原始天圆地方盖天概念的发展。由象形到数理的发展，进一步突出了阴阳观念。赵爽在注释《周髀算经》时，显然是意识到勾股方圆数理的产生，给盖天理论带来的影响。所以他说：“物有圆方，数有奇耦。天动为圆，其数奇。地静为方，其数耦。此配阴阳之义非天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎。又曰，北极之下高人所居六万里，滂沱四隤而下，天之中央亦高四旁六万里。是为形状同归而不殊涂。隆高齐耽而易以陈。故曰，天似盖笠，地法覆盘。”从天圆地方，到“天似盖笠，地法覆盘”的天极思想，从中可以发现“参天两地”的阴阳数理，在盖天理论的演变和发展过程的重要作用。
. X4 B! @4 U* ?1 t1 `  l羊角柱图形上段，两个直角三角形中间的一树纹，表示立竿测影的表竿，表竿指向左右圆弧的正中，象征与“天中”齐。有表竿组成的左右两个直角三角形象征测高望远的“用矩之道”。在二直角三角形的下方，上下三个近似方形纹，其间各有一个三角形（▲）。这是“内圆外方”原始简图。它象征天圆地方，又是仰韶文化时期先民表达勾股方圆数学的方式。三道横线又把“羊角柱”的柱体，分成四段和左右八节，象征四时八节。八节太阳历是立竿测影的产物。三个“内圆外方”图，象征用勾股方圆数学方法测出不同季节的日道和日道圆周。 ' e9 s  x1 ^9 ?. v9 J
一幅简单羊角柱图案，综合了“参天两地”数理、勾股方圆数学和用矩之道，从而构成了“天圆地方”盖图。这是最早用数理、数学方法表现的宇宙图式。
0 ?& f, {$ d8 m% U2 q我们看到的另一幅“参天两地”盖天数理图，就是殷商时期的数字盖天图了。 7 A5 o+ m" c2 e$ b- t1 K! q
中华传统文化就像江河之水，流淌不息。特别是由于古代科技发展缓慢，任何一个的科学成果，总是一代又一代的继承和发展着。到了殷商时期，随着文字的产生和使用，人们开始用数字组成宇宙图式，来表达宇宙观念。
% i( g/ h  B2 q* r2 K六、勾股方圆数学数理与殷墟数字宇宙图式
# g% K& w2 U0 q在商代与数学密切是甲骨文。“甲骨文中对数字的排列都有一定的规律，根据这些规律可以窥见商代人已经掌握或可能掌握的数学知识。连续排列的数目字绝大数到九为止，少数到十（|），超过十的极为少见。25”吴文俊主编的《中国数学史大系》曾对甲骨文上的数字排列分成五类。第一类：前若干个连续自然数的顺序排列。第二类：某个自然数的重复排列。第三类：左右对称排列。第四类：奇偶分开排列。第五类：前九个自然数的分三段排列26。可惜，美中不足的是，书中未能做出有关数学的结论。
5 w0 o. w: B& S6 o尽管我们还不能对甲骨文上的这些数字排列做出详细的解释。但从殷墟妇好墓出土的七衡纹铜镜和四分月相铜镜来看，天文历法和盖天理论在商代占有十分突出的地位。因此，这些数字的排列组合，极有可能是人们表达勾股方圆数学和“参天两地”数理，并切是力图用勾股数学表现宇宙观念的。这些数字的排列中有一、二、三、四、五、六之差的不同。文章前面，我们在对仰韶文化时期36、45、55数点三角形解读中，计算出相应的九个圆周数、九个方周数，并因而构成了九个勾股弦数。我们还发现，当方圆径从1至9按自然顺序排列时，圆方径每增加1数，则勾股弦的勾数按3数级差递增，股数按4数递增，弦数则以5数递增。以“参天两地”数理，方数4，又可以用2表达。即所有的方周数都可以以其一半数表达（两地，即两矩）。“数出方圆”。因此，甲骨文的这些数字排列，可能是用数字和数字之间的差数在表达勾股方圆数理和天圆地方盖天观念。我们特别注意到，一、四、七，二、五、八，三、六、九成三等差数组，及一、三、五、七、九、二、四、六、八、九成等差二数数组排列的重复出现。特别是《殷墟文字缀合》第一九九片上的数字，残损部分补上后，排列如下数字图形（图十二∶3）后，更说明甲骨文数字排列的意义，在于通过勾股方圆数理表现一种宇宙观念。  ! J4 R; v) V0 |

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该数图由四组一至九数组成，左右对称，上下成“T”形结构。从数的对称排列情况，总体可分为上下两层。象征天地。
" f! s8 n5 ]( S) K& n$ ], j( O上面一层，数字纵向排列成一四七、二五八、三六九，左右对称六组，每组数之间等差为“三”。下面一层纵列一、三、五、七、九，二、四、六、八对称左右对称，成四列，等差为“二”。天地相协，阴阳对应，故上下左右各用一至九数。等差三、二，寓意“参天两地”。
; s6 @0 s  N' X8 {2 n8 L0 ?从仰韶文化的数点三角形图中，我们已经知道，一、四、七，是36数九重差图三同心圆周的直径数；二、五、八，是45 数九重差图三圆周的直径数；三、六、九是55数九重差三圆周的直径数。三三九，九个直径数相应是九个圆周数。与九个圆周对应的是同径同率九个方周数。
. k* O4 J3 K- H0 w/ s4 d! G' z《周髀算经》在说到七衡日道时，既讲日道直径，又讲日道圆周。就是说直径数也是圆周数的表现方式。在殷墟卜甲上的这一图中，显然是用直径来表示圆周、圆或圜道的。说实在的，如果没有对仰韶文化遗址36、45、55数点三角形的破解，我们真不知道该如何理解这些数组。既然圆周是用圆径表现的，那么方周自然也是用方径（边长）表现的。 # T3 d! N9 \. ^) j
为了直观起见，我们把卜甲数字图转换成圆周数和方周数，排列如下： 6 U7 ~" K, [  U$ L

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( ]. Q+ m# X' P# N, ]转换之后，我们我们会发现殷墟甲骨上的数字图上方表示圆周直径的一至九数，与下方表示地方方径九个数一一对应，便可得到它们的圆周数和方周数。圆、方同径同率，“伸圆周为勾，展方匝为股”，从而构成九个勾股弦数。由此可见殷墟卜甲上的数字图是以勾股方圆数理构成的。
. D, Q% d1 z; w: @! i卜甲用三三为九，九个直径数，表示了九圜（圆）。圆属天，九圆以象征九野（九天），即中央和八方。古代“九野”，是以周天二十八宿进行划分的。 1 @( l0 h  U0 o  l0 b; \
关于九野，《吕氏春秋·有始》、《淮南子·天文训》都有记载：“何为九野？中央曰钧天，其星角、亢、氐。东方曰苍天，其星房、心、尾。东北曰变天，其星箕、斗、牵牛。北方曰玄天，其星婺女、虚、危、营室。西北曰幽天，其星东壁、奎、娄。西方曰颢天，其星胃、茆、毕。西南曰朱天，其星觜隽、参、东井。南方曰炎天其星舆鬼、柳七星。东南曰阳天，其星张、翼、轸。”显然，殷墟数字图式，是用“圆径一而周三”的数理，表达先民对自然天道的理解和认识。与仰韶文化时期的三种数点三角形联系起来看，这种认识的历史已经是相当久远了。
" h5 [( v. ?$ S2 `# {* X殷墟数字图式之所以把相同的数组左右对称放值，体现了天地阴阳刚柔的观念。在天为日月、阴阳，在地为东西、春秋、寒暑、昼夜、刚柔。 ) ~/ c$ x7 h3 L
数字图的下段，如果从一、三、五、七、九、二、四、六、八、再回到一，周而复始排列看，我们发现其中二等差数共有九个。二，为地数，表示“两地”。一至九数又为九个方周的方径（边长）数，象征地有九州。
& U4 K2 @( X" O3 P天有九野，地有九州。九州的说法，由来已久。《尚书·禹贡》：“九州攸同：四隩既宅，九山刊旅，九川涤源，九泽既陂，四海会同。”“九州攸同”就是九州统一。《尚书·咸有一德》中，伊尹进言太甲：“厥德匪常，九有以亡”。“九有”即九州。《吕氏春秋·有始》、《淮南子·地形训》都有关于九州的说法。古代对九州的划分虽不有同，但“九州”之说，却是一致的。因此殷墟数字图对九州的数理表达，与“九州”观念存在是相通的。 # l7 @9 x, U9 H; k# c. d" t- W
另外，数字图式的左右对称，上下相应，象征日月运行，天地阴阳，四时交替，昼夜变化，也体现了殷商人们的周而复始自然圜道理念和治国思想。《吕氏春秋·圜道》曰：“天道圆，地道方，圣王法之，所以立上下。何以说天道之圜？精气一上一下，圜周复杂，无所稽留，故曰天道圜。何以说地道之方也？万物殊类殊形，皆有分职，不能相为，故曰地道方。主执圆，臣处方，方圆不易，其国乃昌。”又说：“日夜一周圜道也。月（日）躔二十八宿，轸与角属，圜道也。精进四时，一上一下各与遇，圜道也。物动则萌，萌而生，生而长，长而大，大而成，成而衰，衰乃杀，杀乃藏，圜道也。云气西行，云云然冬夏不辍；水泉东流，日夜不休；上不竭，下不满；小为大，重为轻；圜道也。……”。也许是勾股方圆数学在天文历法中的应用，使得古代先民把天地方圆密切联系在一起，产生了天地时空一体的圜道思想。而圜道思想又使得勾股方圆数学与天圆地方的盖天宇宙理论变得更加密不可分。殷商的数字宇宙图式和商周及后来的法天地行四时月令，都体现了这种思想理念。

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9^# 绿城万岁 发表于 2008-7-20 21:06:57 |只看该作者 殷墟数字图式是一幅内含丰富的盖天图式。对殷墟数字图式最形象的描绘，应该算是长沙马王堆墓一号墓出土的西汉帛画了（图十三）。其画也同为“T”形，只因为它是一幅仰视图，对称的左右有变化。
. G& P+ ?2 t  r; o. y从殷墟卜甲数字图上方表示圆周直径的一至九数，与下方表示地方方径九个数一一对应，得到的九个圆周数和方周数，而构成的九个勾股弦数的数理中，我们说，殷墟的这一数字图形也是建立在勾股方圆数学基础的。“参天两地”，既是勾股方圆数数学概括，又是天圆地方盖天理论的数理表达。显然，卜甲是数字图，是殷商的人们在继承发展前人的数学成就和数理思想基础上，用勾股数学的数理，努力在构建盖天观念的宇宙数理模型，并用来描述天地万物变化规律的一种做法。 ! n7 {  I5 j! R" j! }& }& y
七、中国古代勾股方圆数学数理是《周易》的基石 # q. N6 O  \1 o! {4 w
《周易》是中华民族智慧的结晶。中国古代的勾股方圆数学、“参天两地”的数理及宇宙理论是《周易》产生的三块基石。 4 D: p% w( ?* `" H1 W+ g
六十四卦的乾、坤二卦是《周易》的纲领。如果我们把乾卦的上下卦按左右对称排列，放在上面；把坤卦的上下卦也按左右对称，放在下方。就组成图十四： - t1 U2 l: R, I3 v* h  ?
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（图十四）   j. M9 ^# B' Z9 W6 T
乾为天，为圜，在上。坤为地，为方，在下。在天为日月阴阳，在地为四方刚柔。这种左右对称，上下分段的排列，其乾、坤二卦的意义并没有改变。而与前面殷墟甲骨文的数字图形比较，除了数字和阴阳爻符号的区别外，二者的排列方式趋向相同。这说明殷墟数字的左右排列和《周易》符号的上下排列是相通的。阴阳爻符号卦图的产生，是对数字图形的进一步抽象。这一抽象无疑是突出了天地的阴阳刚柔观念，但却掩盖了其中的数和数学关系。 1 q0 f' Y# {5 V
《周易·说卦传》：“昔者，圣人之作易也。幽赞于神明而生蓍。参天两地而倚数。观变阴阳而立卦。发挥刚柔而生爻。和顺于道德而理于义，穷理尽性以至于命。”这里把古人作易的数理数学依据，说的再清楚不过了。“蓍”在此有筮、策、数三层意思。筮，为计算方法；策，为计算工具；数，为数、数学、数理。不明谓之幽，因幽而生神秘。天高不可阶、地大不可将尺寸，故而人们难明，而认为神秘。然通过一定的数学计算，就可以知道天之高远、地之广袤。因而明白，就不再神秘了。就是说人们对天地的认识源于数学、数理。易经是依据“参天两地”勾股方圆数学、数理而形成的天地宇宙数理模式。 / g/ r+ W9 l0 ]; H5 X+ @
易道阴阳。当商末周初数字卦演化成阴阳爻卦时，《周易》的基本符号是阴阳爻。天道阴阳，主体是天上的日月，其运行轨道是圆周，故阴阳爻分别用六、九名之。“参天两地”，二、三分别乘以圆周率三，即得六、九（2×3＝6、3×3＝9）。在地为刚柔，地为四方，故阴阳爻的策数为二十四、三十六（6×4＝24、9×4＝36）。《周易》乾坤、坎离等相对的32对卦的策数之和，都为三百六十，与伏羲八节历的历数相同。
- Q% @3 q) a5 e# q2 ~; T乾为天、为圜，坤为地、为方，象征天圆地方。当《系辞传》把乾坤阳爻阴爻策数相加得到历数时，它是对同一圆、方数的叠加。从而导致人们忽视了一个问题，即上古数千年到商周先民对天地的多重观念和表达方式，使得《周易》数学基石被深深的掩埋起来，难以为人所知。 - G- m- U" R0 y, k
八卦是六十四卦的基础。我们从八卦的乾坤二卦来剖析其中的勾股方圆数学。从“参天两地”的数理，知道阳爻（—）的策数是36，阴爻（--）的策数是24。由于“两地”即“两矩”，是从“合矩为方”而来；所以方周数，应是“两地”的二倍。因此，当阴爻的“两地”数理数24，还原为表示地方数学数时就是48（24×2＝48）。阳爻天圆数36，阴爻地方数48。按“圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之周而为股，共结一角”的勾股方圆数学方法，36、48正好是圆、方径为12时的圆、方周数。伸展圆方周数，就构成了勾36、股48的勾股弦数学式。反之，可以说阳爻（—）36，阴爻（--）24（24×2＝48），源于勾36股48的勾股数。
+ L7 J0 h- T& J& Z. W" O& j7 o从仰韶文化的勾股方圆数学中我们已经知道，36、48分别是圆、方径一、四、七时圆周和方周数之和。事实上，《周易》八卦阳爻（—）的36策数、阴爻（--）24（24×2＝48）策数，仅仅是一个平均值。因为古代先民对天圆地方的图形表达多用三重圆、三重方。那么，其三重圆、三重方的圆周数、方周数不可能是等同的。当我们把八卦乾、坤卦（? 、 ?）的三个爻一一相对应，把一、四、七的圆周数三、十二、二十一作为圆方径，此时就可以得到三个新的圆周数和方周数。即：圆周数9、36、63；方周数12、48、84。圆周数之和108，方周之和144，分别除以3，得阳爻36，阴爻48。阴爻半之，即24。与阴阳爻策数完全相同。因此，《周易》八卦阴阳爻的策数，应是圆方径三、十二、二十一时勾股数的平均值。只有这样方符合天圆地方的理论和古人对天地的三重表达形式。又因为作为圆方径的三、十二、二十一数之间成九重差，它们的圆周、方周数就组成了三个勾股弦都成等差的勾股弦数学算式：勾9股12弦15，勾36股48弦60，勾63股84弦105。这就是说，周易阴阳八卦符号所表现的盖天理论和数理皆以勾股方圆数学为基础。六十四卦只是八卦的组合，自然也是建立在同一数理基础上的。
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当然，我们还可以把直径12的圆周数36，对应八卦乾之初爻。按仰韶文化和商代对三重圆直径采用的三数等差的做法，那么八卦乾卦的中爻、上爻对应的圆周直径就是15、18，其圆周分别就是45、54。这时我们惊奇的发现，12、15、18三个圆直径数，恰好分别是殷墟卜甲数字图形中一、四、七，二、五、八，三、六、九，三个三重圆周直径之和。而36、45、54圆周数又与仰韶文化三种数点三角形所表达的，直径为一四七，二五八，三六九时，三个九重差圆周数36、45、55（加中心占居的一点）完全相同。与坤卦三爻对应，我们不仅知道初爻所内含的方周数48，还可以求出中爻、上爻内含的方周数60（15×4）、72（18×4）。与其相应的圆周数45、54，又构成勾45股60、勾54股72两个勾股弦数学式。但此时的阳爻策数平均值是45而不是36，阴爻策数的平均是54也不是48（24×2）。而45、54，又恰好是殷商数字图中阳爻、阴爻（商易数字卦的奇数为阳爻、偶数为阴爻）的平均值。因为一、四、七，二、五、八，三、六、九，三组数的圆周之和为135，除以阳爻爻数3，得阳爻策数的平均值45数。即： ) J2 v: F, ~/ Q% N- B: l
（1＋4＋7＋2＋5＋8＋3＋6＋9）×3＝135，
4 \+ R* {/ L. I2 p3 b135÷3＝45。 8 m( c4 Q$ t* J1 ^- J9 b  n
而下段的一、三、五、七、九、二、四、六、八之和，乘以方匝数4，得方周数之和180，然后除以阴爻爻数3，得阴爻策数的平均值60。即： 7 m' o! Q' z$ ]/ C# I8 W
（1＋3＋5＋7＋9＋2＋4＋6＋8）×4＝180，   t4 E; U! b  _2 j$ j7 y. L, O
180÷3＝60。 % u$ o$ o, Q: \3 ]+ L+ @! R+ s
由此，我们也发现《周易》在构建宇宙数理模式上与商代乃至仰韶文化时期在用数方面的区别。但是，从中我们也可以发现从仰韶文化到商、周文化之间，在用勾股方圆数学和用数理构建宇宙模式当中存在着一种内在的联系。 1 i# r9 s" {& h7 i3 _. a. ~
《周易》八卦中这种勾股方圆数学，与殷墟数字宇宙图式，与新石器仰韶文化时期的这种联系，这决非偶然！而是从新石器开始的勾股方圆数学和数理，一脉相承的延续到了商、周时期，并被应用于《周易》体系的构建。 * p' G" n! B4 m8 E% f3 U
只是因为《周易》的特殊形式和后人对它的误读误解，使得数学这块基石埋而不见。由于《周易》中勾股方圆数学科学基石的隐没，因而产生了人们对其科学性的怀疑，产生了许多相互矛盾的说法，也难免影响对易学的研究。随着对《周易》中数学的深入了解，我们对其中科学性的认识也会前进一步。
6 i2 E3 R0 s; o# U  p  i: V中国新石器时代的数学，若从立竿测影开始，到仰韶文化时期勾股方圆数学的产生，其间经过了一段漫长的时间。仰韶文化距今已有六、七千年的历史。古代先民在文化上用的是象数表达和“制器尚象”的传播。这种特殊的表达形式和传播方式，对于今天的人们来说，识读起来是有一定困难的，特别是对于数学这样的内容就更不容易了。尽管如此，仰韶文化遗址所发现的多种几何图形，尤其是如西安半坡遗址几乎集中所有此类图形，这不能不引起我们对其关联性的注意。也正是从这些几何图形的关联中，我们发现了勾股方圆数学的存在。从殷商文化中又看到这一数学的延续和应用发展。
5 i" s  Y; Y8 z1 e' @/ c以上是我们对新石器仰韶文化时期勾股方圆数学的产生、存在形式和应用发展的初步认识。写出来供专家学者指正。
3 k/ @  `: E, ^% S# N1 B（2006年仲秋）
2 p& K, R! v6 I) }
# c. g& U! X% R' \注：
# E+ V2 R+ |- F! a( h1、《史记·五帝本纪》、《晋书·律历志》。 + e4 B% E. j7 \: n9 _
2、《尚书·尧典》 8 [0 K% g2 P5 l3 Y! l. q7 Z
3、《尚书·舜典》 6 T7 j( P5 p1 d3 B( T  e
4、《史记·夏本纪》 ) c6 g  Z% t' M8 `( X4 f
5、湖南省博物馆：《安乡县汤家岗新石器时代遗址》图六：10，《考古》1982年第4期。
0 a* O, k9 p! H7 d: ?& G3 W6、《周髀算经序》。 2 P, W7 z& n$ u# V6 D6 o
7、濮阳市文物管理委员会、濮阳市博物馆、濮阳市文物工作队：《河南濮阳西水坡遗址发掘简报》，《文物》1988年第3 期。 0 i6 N9 ~4 e( `
8、辽宁省文物考古研究所：《辽宁牛河梁红山文化“女神庙”与积石冢发掘简报》，《文物》1086年第8 期。 + h) z. h* ?4 T. Y+ E/ u  V; T
9、冯时：《中国天文考古学》，2001年，第294、第345、352、347页。 ) k! Z0 c+ ~. J, v2 \; Z. b6 Y
10、刘军、姚仲源：《中国河姆渡文化》，浙江人民出版社，1993年。
1 r0 O. d9 \; c4 o9 o- m2 @' W11、牟永抗：《试论河姆渡文化》，《中国考古学会第一次年会论文》，文物出版社，1979年。 # F0 c  y& r3 F; h0 w9 Z& |/ {
12中央民族大学出版社：《中国通史》（彩图版），2002年，第一卷，第72页。
6 F5 O1 B- z; E9 y. J13、《光明日报》2006年8月17日，《“太阳墓”亟待保护》。
; _: C5 ^9 d/ o& q) s* g2 h14、上海辞书出版社：《辞海》，1980年，第1473页。
2 [4 f' ~7 `* T15、北京大学历史系考古教研室：《元君庙仰韶墓地》，文物出版社，1983年。第32、34页。
0 [" ^  {+ S& H: l6 o16、西安半坡博物馆：《西安半坡》，文物出版社，1982年。（文中凡涉及半坡文化遗址的图案皆出自同一出处，不再另外注明。） - V7 u% `5 ]8 X' @. N+ ^
17、清·李光地：《启蒙附论》。见孙国中主编：《河图洛书解析》，学苑出版社，1990年，第340页。
% v+ e( p; m& Q18、中科院考古所山西队：《山西芮城东庄村和西王村遗址的发掘》，《考古学报》，1973年第1期。 * @+ N  n! D! u) l% V/ h  e, h  r
19、潘雨廷：《易老与养生》，复旦大学出版社，2001年，第100页。
8 o% n& `( Z, U7 l0 N* X20、江国栋：《周易原理与古代科技》，鹭江出版社，1990年，第四章第一节。 2 ^4 d$ V: r6 u5 g
21、23、《西安半坡》1982年版，封面图案。
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25、吴文俊主编：《中国数学史大系》，北京师范大学出版社，1998年。第一卷，第152页。
5 g7 V) V) q3 U* ]! L1 X  O0 s26、吴文俊主编：《中国数学史大系》，北京师范大学出版社，1998年。第一卷，第153－157页。