金属材质手机推荐:数学家谈数学教育

第二部分 数学课程内容的选择

数学课程的基础内容究竟是哪些？当然不能以现在课程里的内容作为唯一标准。选择数学内容的标准，除了教育心理学等的见解以外，主要的一个方面是用数学的眼光进行判断，从数学发展的角度进行分析。这里还需要考虑数学科学与计算机的结合。

下文将选择义务教育数学课程中的一些重要内容，呈现数学家对其内容价值、内容设置等的多种思考。

一、初中几何

在初中数学课程中，几何这一领域引起了数学家和教师的广泛关注。当然，没有人会怀疑几何的重要性，特别是在人类进入信息社会的今天，几何学对于社会发展的贡献越来越大。无论是在ＣＴ扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话、高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论，因此，几何无疑将是数学课程的重要组成部分。但是应该开设怎样的几何课程，一直是国际数学课程改革的焦点之一。

1．几何课程目标和价值的全面认识

要讨论初中几何课程的设置，首先遇到的一个问题就是如何看待几何的教育价值以及初中几何课程的目标。

（1）理解和适应人们生活的空间

人们生活在三维空间，生活和工作中存在着大量的图形，图形直观以及图形分析是人们理解奇妙的自然世界和社会现象的绝妙工具，特别是随着计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是运用到人类生活和社会发展的各个角落，因此，义务教育阶段开设几何课程的首要原因在于“这个世界是几何的”，学生学习几何的首要目标是更好地适应我们生活的空间。

Zalman Usiskin提出“这个世界是几何”的论断：尽管教给学生的几何好象是，平面图形只有多边形或圆，3维图形只有球、圆柱或圆锥。其实世界上每个物体，从你阅读这篇文章时所坐的椅子到一棵数上的叶子，不管看作是一片叶子或是一堆叶子，都有一定形状和大小。计算机制图大大提高了我们通过画图来表示这个世界的能力，以及考察那些画图的能力。这使几何的技能和应用变得更容易理解，同时，像早先提到的，这也提高了函数的几何表示的重要性。总之，这个世界是几何的。

Freuednthal先生指出几何是空间的科学：想要以强化几何的演绎结构来拯救传统几何，那是注定要失败的。事实上，几何不单纯是演绎理论。几何是空间的科学，是现实的物理空间的科学。也许有人认为变化多端的现实世界不能成为高度抽象的数学体系的基础，认为数学是至高无上的演绎体系，它不能受现实世界任何非演绎细菌的侵犯与污染，否则它的发展将受到阻碍，这固然也是一种道理，在一定的范围内也是对的。但要知道，有更多的学生，他们学几何并不是为了要建立一个演绎体系，而是要了解我们生活的空间。．．．．．．因此必须结合日常生活实际，以了解物理空间为出发点去学习几何，它才不易被忘记，才会对人的生活产生影响。作为演绎体系，也许还有比几何更合适的系统，但在认识现实世界与联系实际，使现实数学化方面，几何的作用是无法被代替的。数与形都是对现实世界的反映，通过计算能学思维，但借助眼睛、手等各种感官来接触空间形状，是一种最好的引导机会，它更有利于发现与创造，也符合于教育家夸美纽斯（Ｊ．Ｃomenius）的观点──打开学生的各种感觉器官。

朱剑英引用阿蒂亚的话：“与其说几何是数学的一个分支，不如说它是渗透到各个数学分支中的一种思想方法。”他还进一步指出：不仅如此，在人们的生活和工作中，几何思维活动比比皆是，现代工业生产中，几何量的测量与计算也处处可见，往往还要有很深的几何知识，…… 所以数学教育改革，必须在数学教育内容上克服偏废几何的错误做法。

（2）学习图形直观，发展几何直觉

同时，没有人能否定图形给人类带来了无穷无尽的直觉源泉。

阿蒂亚先生曾经提出这样的看法：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。……它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的。……我力图讲清的要点是，几何并不只是数学的一个分支，而是一种思维方式，它渗入数学的所有分支。……我对几何作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。需知我不是强要别人增加任何一门几何课。我只是请求尽可能广地应用各种水平的几何思想。

吴文俊先生指出：当然，我不是否认逻辑推理的重要性。一旦把几个重要的原理确定下来，我们还是要一步一步地严格论证，从原理出发，推出那些几何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。

冯克勤先生指出：我们不必把形式化和严格化的东西看得过于神圣，这不是我们要教给学生的最本质的东西，最本质应当是数学的直观和形象化。

梁之舜先生指出：D . 希尔伯特和S . 康福森专门写了一本书叫《直观几何》，认为直观在几何中起很大作用，而通过几何与许多数学分支的关系，人们甚至于能够从它获得整个数学的概观，能够认识数学问题的变化多端，以及数学的丰富多彩，使广大群众对于数学有更合理的评价。

Lynn Arthur Steen先生指出：几何和计算机的结合产生了数学科学中一个非常活跃和瞩目的领域：计算机图形学。尽管计算图形学大多数熟知的运用是在应用数学范围内，但是可视技术正在对传统的核心数学以及各个层次的数学科学教学产生实质性的影响。

作为一种直观、形象化的数学模型，几何是不可替代的。由图形带来的直觉，能增进学生对数学的理解，激发他们的创造力。特别是随着可视技术的应用，几何直观的作用越来越大，因此科学家和数学家呼吁“21世纪几何学万岁”。

（3）发展推理能力，培养理性精神

我国现行的初中平面几何基本保留了欧几里得几何体系，只是考虑到初中学生的认知水平，采取了“扩大公理”的做法，即把原来在欧氏几何体系中可以证明的若干定理（如三角形全等的判定）作为基本出发点（即“公理”），由此证明一些图形的基本性质和判定。无疑，这种扩大了的处理既符合学生的数学学习水平，也有利于培养学生的逻辑推理能力。进一步，不少数学家还特别提出了欧氏几何对培养人类理性精神的作用（具体论述见下文）。

同时，由于几何比较具体直观，对于图形性质的探索往往需要学生进行观察、操作、想象、猜测等。因此，平面几何的学习有利于发展学生的想象能力和合情推理能力，有利于学生经历从合情推理到演绎推理的全过程。

2．对于欧氏几何体系价值的分歧

在整理数学家意见的过程中，我们发现对欧氏几何体系的重要性，数学家们有着一定的分歧。有的数学家特别强调了欧氏几何对发展人的逻辑推理能力，乃至培养人类理性精神中的重要价值。有的数学家则明确指出欧氏几何体系的不足和僵化。我们认为，把不同的观点呈现出来，有利于大家对欧氏几何课程设置的全面思考。

（1）欧氏几何对培养逻辑推理能力和理性精神的突出价值

王梓坤先生指出欧氏几何体系给人们带来的精神财富：数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一数学结论不可动摇。这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全人民的科学文化素质，它是人类巨大的精神财富。爱因斯坦关于欧氏几何曾说：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的──我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心。”

陈重穆先生谈到了平面几何的精髓：平面几何中不少结论在理论发展和实际应用上都无多大作用，然而在培养学生逻辑思维能力上却不是其他学科所能代替的。它除了有一个适当规模的公理体系作为推理的出发点，使学生能初步体会形式逻辑的“三段论证”的方式，用此来锻炼学生思维，不但较为容易，而且，由于学生对所讨论的对象有实感，他们还能在学习中主动出击，自己去探讨一些问题，智能由此发展。这是其他学科在初中阶段难以办到的。王元同志说：“几何的学习不是说学了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明，而这一点对一个公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身收益无穷。”平面几何的精髓在“论证”而不在知识。

姜伯驹先生指出：平面几何有知识学习和思维训练两方面的作用。欧几里得的《几何原本》在人类文明发展史上具有重要的意义，抓住一些基本的符合现实的假设，找出必然的规律，如果与现实不符合，再补充原来的假设，这种理性的文明正是我国古代所缺少的，要在数学教育中体现，这不是鸡毛蒜皮的事情。

萧树铁先生则指出了理性精神的重要性：要加强理性思维和逻辑。中国最缺乏的就是理性精神。我的学生做过调查，每天的报纸中都能发现逻辑的错误。义务教育阶段所有人都要有的素质之一就是理性思维。平面几何重要的不是某个定理和知识，而是理性精神的培养。萧先生还指出：要重视数学在人文方面的作用。在我国的传统文化中，逻辑思维一直比较薄弱，直到现在也还如此。而数学(尤其是欧氏儿何)在这方面的训练是大有可为的。义务教育阶段所有人都要有的素质之一就是理性思维。平面几何重要的不是某个定理和知识，而是理性精神的培养。

齐民友先生指出了中国古代数学与西方数学的差别：条理性其实就是逻辑性，三段论只是逻辑推理中很小的一部分。欧几里得是探究真理的工具，看起来非常困难，实际上非常容易，是以简驭繁（徐光启《欧几里得杂议》）。中国的古代数学不成体系，无法教学，所以得不到发展，而国外的数学以公理化体系形式呈现，得到了很大的发展，笛卡尔、牛顿、杰弗逊的《独立宣言》都体现了演绎推理的思想：概念要清楚，判断要正确，推理要正确。有两副对联正好表明了两种不同的思想方法：一是“我想、大概、也许是；或者、可能、差不多。”，另一副是“因为、所以，字字有据；充分、必要，界限分明。

（2）欧氏几何体系的不足与僵化

J.Borwein、P.Borwein、R.Girgensohn、 S.Parnes提到了Lakators 对欧几里得方法的谈论：欧几里得方法论发展了某种带强制性的表达风格，我称之为“演绎主义风格”。这种风格以一串煞费苦心陈述的公理，引理和（/或）定义开始。公理和定义看上去往往是人为的且是令人迷惑的复杂，绝没有告诉你这复杂性缘何而来。一串公理和定义之后则是用词谨慎的定理，它们都带有众多的条件，而这些条件似乎都不可能猜到。定理之后便是证明。……演绎主义风格隐藏了人们所作的努力，隐藏了经历过的冒险。整个故事消失了，在证明过程中不断尝试的定理的表述注定被遗忘了，最终的结果被提升到神圣的绝对正确的境地。

P.J.Davis先生直接指出了欧几里得模式的僵化： 计算机证明，定理的发现以及数学实验现今已公开被承认为合法的获得数学知识的方法和途径。……因此，绝对严密的数学证明不再作为最理想的一种，而被看作是更为广泛、更为丰富、更具弹性的概念的一部分，我称之为“数学证据”。……就数学教育而言，我认为意义非常明确。古典的证明必须过来和其他获得数学证据和知识的方法共享教育的舞台和时间。数学教材必须改变欧几里得解释模式，它的僵化常常使人感到迟钝。

吴文俊先生指出：欧几里得体系是非机械化的，把空间形式化成数量关系是机械化的，……我并不是说完全不要，可是应该及早地，就象小学赶快离开四则难题引进代数一样，中学也是赶快离开欧几里得几何引进解析几何，…… 我想，总的一个，当然非常简单明了，就是这样，……欧氏几何让位于解析几何。　

李忠先生风趣地将人分成了两类：每一步都证不能走的很远，并且没有必要，怪不得冰心对数学有这样的想法（冰心认为数学家都是冷冰冰的）。人可以分为两类，一类是定理爱好者，就是数学家，数学家追求形式的完美，而大多数人只管有用。问题是两类人之间的沟通，尤其是定理证明的爱好者们，不要以为自己喜欢的，别人就一定喜欢，或者去强行要求别人也去喜欢。作为教师，要知道学生中只有少数人属于定理证明爱好者。

数学家从不同角度对同一问题提出不同观点是非常正常的，这更有利于我们对某一问题全面、深入的理解。对于欧氏几何，一方面，数学课程应注重它的价值；一方面，也应注意到它的局限性。对此，刘绍学先生给出了全面阐述：以公理化为核心的研究方法、理性思维是非常重要而具有伟大的力量的。另一方面，也应看到这套方法有其适用范围，有其局限性，要提到数学方法的局限性。

进一步分析，我们发现数学家所强调的是欧氏几何的思想方法，更重要的是它作为文化传统和人类精神财富所起的作用，而不只是具体的知识。数学家们还强调欧氏几何的学习将有利于学生体验数学推理的力量，获得为取得以后成就所必需的信心，将丰富他们的生活，将使学生在数学思维的天地里乐而忘返。而现行几何课程和教学能否真正达到这个目的，如何能在义务教育课程中实现这个目的，使大多数的学生在平面几何的学习中获得信心、兴趣，体会推理的力量进而发展理性精神，需要我们认真思考和努力。

3．不宜过早进入严密的逻辑推理，逻辑推理训练要适度

逻辑推理、公理化的思想对于几何乃至数学都是重要的，但数学家提醒我们不能过早地教给学生。

Freuednthal先生指出过早地系统学习几何是有害的：教几何是理想和现实之间一场无可比拟的斗争，其中显示了人类卓越的智慧。当然这必须运用恰当，否则就可能适得其反，使儿童认为自己智力低下，而丧失信心。……总有一天，孩子们会提出为什么的问题来的，过早地对几何作系统的学习对他们只会有害而无益。“为什么”这个词对于几何的学习是最为关键的，但不能过早地提它，而要等待时机成熟。……儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持久但并不连续的发展过程。在最初阶段，他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维，经过一段时间的亲身体验，通过主动的反思，就会客观地描述这些低层次的活动，从而进入一个较高层次。必须注意，这个高层次的达到，决不能借助算法或形式地灌输来强加给他们。……总之，只有建立在现实基础上，以大量丰富的几何事实为后盾，在不断组织，不断比较，反复思考，反复探索的数学活动中，在学习公理化的过程中，才能真正掌握几何的公理系统。

D. T. Haimo先生则指出：由于教学环境的不同，严格的证明也许并不合适；与其一开始就提出严格的证明，倒不如提出一个直观的轮廓。

丁尔升先生指出实验几何的作用：实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验；实验几何的另一个优点就是变高速的论证技巧为不同水平的创造活动；实验几何还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象，变几何学习为一种趣味活动，并在这种活动中培养学生的观察能力、实验能力、创造力以及归纳类比能力，这些一般能力的培养对提高人的素质具有重要的意义。基于上述观点，许多人都主张重视实验几何的教学。……与此相反，许多人反对把公理系统过早地引入中学几何，从而使几何的学习成为一种形式的学习。

在与数学家的座谈会上，一些数学家还提出了由实验几何到推理几何的几何教学过程，提到实验几何和推理几何可以分开。

齐民友先生建议：可以将实验几何和推理几何分开。有的定理不需证明，提一下可以证明就行了。

李忠先生指出：在初中可以全是实验几何，在获得一些基本性质的经验事实后，介绍一下《几何原本》，到高中再论证。要讲公理，就象《几何原本》那样，局部公理的做法不可取，公理的思想就是从最少、人人可以接受的基本事实出发，推出其它事实，不要“创造”公理。学几何的价值是培养学生的理性观念，使之能够知道什么是科学，不是具体的知识。几何的作用不在于实用，而是训练学生的科学精神与推理能力──最重要的是每一步推导都有论据，要有根据。这样的东西不能少。

刘绍学先生提到：关键是体会推理的力量，只要你承认这几条的话，推导出来的就是对的。初中阶段的一个办法是学习实验几何，推理的训练可在其他方面加强，可以对欧几里得和《几何原本》进行介绍。

周毓麟也提到推理几何可以晚一点学，但不能破坏数学的原汁原味。

还有的数学家在座谈会上提到逻辑推理的训练要有度。

严士健先生指出：理性思维对人是非常重要的。但在中学训练到什么程度，怎么训练，值得讨论，中学的时间是有限的。几何的严格公理体系不要行不行，可以在通过实验获得一些基本结论后，从几条假设出发，做一些证明。

齐民友先生指出：对推理训练的要求在一定阶段达到一定的程度就可以，要求得低一些，浅一点为好。只要让学生知道有一个形式系统就行了，培养理性精神和培养技巧不一样。

在现行初中几何教学中，有着这样一个现象：一方面，确实有一些学生因为欧氏几何的学习而对数学和理科产生浓厚的兴趣，甚至从此踏向科学探索之路；但与此同时，又有半数以上的学生会因此失去学好数学的信心（其中有部分学生的考试成绩还可以），“欧氏几何”课程成为一把“双刃剑”。 严密的逻辑推理和公理化对一个从事数学或科技理论工作者是必不可少的，但考虑到义务教育的目标和学生的认知成熟程度，解决不好欧氏几何“双刃剑”问题，会伤害很多学生学习数学的信心和兴趣。

4.多种角度培养学生的逻辑推理能力

数学家在强调欧氏几何对于培养学生逻辑推理能力的作用的同时，不少数学家还指出欧氏几何并不一定是培养学生逻辑推理能力的唯一的和最好的途径：

严士健先生提出需要在代数中加强推理：平面几何，强调传统的欧几里得体系的严密性以及几何的综合方法的直观，几乎认为它是培养中学生逻辑思维的唯一途径。这些看法不是没有道理，但是在当今的形势下，不论单从几何角度还是从整个中学数学教材的角度来看，都确实大有商榷余地。因为就几何说，综合法固然有直观的优点，易于为中学生接受，但是，它缺少一般性，学起来事倍功半，而且对以后学习作用不大；至于中学生的逻辑思维训练当然是十分必要的，但是并不一定是综合法，所以国际上很多教材已不单纯地采用它，另一方面，逻辑思维除了一般的要求外，它对更好地使用计算机也是重要的，而计算机所需要的的逻辑性更接近于代数，不是综合几何。……所以加强代数部分的逻辑性也是教材改革的一项任务。

丁尔升先生指出：学生应该领悟在数学中推理论证是确立真理性的准则。……应该看到，欧几里得几何不是教学生推理的唯一载体，代数和离散数学都为论证提供了很好的机会，甚至流程图和电子数据表也能用来说明数学论证的逻辑性质。

单樽先生指出：平面几何削弱后，用什么取代它以培养逻辑推理的能力？……现在看来，可以用组合数学。….. 组合数学中很多内容，如抽屉原理，奇偶分析，分类等，学生喜爱易于接受（小学生都懂得“从三只白袜子、五只黑袜子中随意抽出四只必有两只同色”。）组合数学灵活，有众多的应用。它的推理方式比起平面几何更加接近现代数学。因此可以将一些组合数学的内容分布于各个年级，取代平面几何。

张饴慈先生指出：要突出数学与其它科学相比，自己的特色，要加强学生数学思维的训练。但不一定完全依靠平面几何的内容，由于平面几何中的一些结论过分直观，学生体会不到证明的必要性，当然有一些结论（如三角形内角和）是不明显的，需要证明。重要的是培养学生一步一步将道理说清楚，可以引入趣味问题……记得小时候有许多有趣的智力测验，如用瓶子分油，人、狼、山羊、白菜过河，根据别人头上帽子颜色来判断自己头上帽子的颜色，等等。这些游戏很多，学生也十分感兴趣，经过改造能变成让学生讨论的好题目，达到学生思维训练的效果。……并不是要求学生在义务制学习阶段能进行严格的逻辑论证，只是希望这种思维方式能有所体现，即在学习的各阶段，要求学生有意识地试图把问题说清楚、说明白，不能在探索和猜想中，只有直观、感觉而无条理，只能意会不能言传，说不清楚就是没想清楚，思维混乱。

有不少人担心，放弃了欧氏几何，学生的逻辑推理能力会下降，因为欧氏几何是培养逻辑推理的唯一途径。而一些数学家提出使用代数中的运算算理、组合数学、流程图等素材也可以培养学生的逻辑推理能力。通过日常生活和数学课程中各个领域的学生感兴趣的素材，培养学生推理和证明的意识，也许是义务教育阶段培养学生逻辑推理能力的一条好的途径。

虽然数学家对欧氏几何的改革有着不同的意见，但有一些结论却是共同的：几何课程一个非常重要的目标是理解现实的几何世界，培养几何直觉；无论在日常生活和工作中，还是在数学研究中，仅仅靠逻辑推理是不够的；欧氏几何并不是培养逻辑推理的唯一途径；逻辑推理和公理化是很重要的，但必须在学生能够理解时才能学习；即使是学习欧氏几何，欧氏几何更重要的价值是它体现出来的思想方法和文化传统，不能将注意力放在繁杂的技巧中，不能使很多学生因此丧失继续学习的信心和兴趣等等。以此为原则，我们应该好好反思现行初中几何课程，认真讨论初中几何的改革。

在《标准》的研制过程中，初中几何一直是争论的焦点，大家对几何学习的目标、欧氏几何的价值、国际几何课程的趋势、我国学生学习几何的现状等都展开过热烈地讨论。在此过程中，数学家们对几何课程及教学的真知灼见时时影响着《标准》的制定。例如，数学家对几何价值的全面论述，使我们意识到义务教育阶段几何课程的目标是多元多维的。通过对图形基本性质的探索和证明，学生将提高推理能力（包括合情推理能力和演绎推理能力），理解证明的意义和过程，体会推理和证明的力量；通过对周围世界的刻画，学生将更好地理解人们赖以生存的空间；特别重要的是，通过对空间与图形的把握，学生将发展空间观念和几何直觉。为此，《标准》将几何课程冠以“空间与图形”的名称，力求更加突出这部分内容的特点。同时，空间与图形的学习从过去的主要强调图形的度量和证明，发展为围绕“图形的认识”、“图形的测量”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”等多个方面全面展开。对各个方面，《标准》都提供了较为明确的目标和较为丰富的内容。

对于欧氏几何的处理，《标准》在研制过程中曾经经历多次“反复”。我们考察过一些发达国家的几何课程，在初中保留比较完整的欧氏几何体系的非常少见。特别是上世纪80年代以来，一些对我国初中学生学习几何情况的调查数据表明，为数不少的学生在几何证明上无法达到合格。这促使我们曾经思索过放弃欧氏几何体系，尝试运用变换来证明平面几何的主要结论，其中还有一个理由是变换无疑与现代数学思想更为接近。虽然运用变换我们已经推演过一遍，但数学家们对欧氏几何价值的论述，特别是提到其对培养学生思维和理性精神的作用，以及我们自己感受到的欧氏几何体系将直观与证明联系的特点，使我们最终基本保留了欧氏几何体系，沿用过去大纲和教材的“扩大公理”的思路，从几个基本事实出发，证明了三角形、四边形的一些基本性质和判定，以使学生体会欧氏几何的“精髓”。

同时，针对推理与证明的学习，我们也进行了思考。《标准》指出，义务教育阶段，空间与图形中推理与论证的学习是从几个方面展开的，并不只等同于演绎推理的发展。学生将在探索图形性质的过程中发展合情推理；将尝试有条理的思考与表达自己的发现，并与同伴进行交流，这在本质上也是证明；学生学习三段论的格式，证明基本图形的基本性质和判定。《标准》特别强调要使学生体会证明的价值和证明的必要性。义务教育阶段的学生无疑要学习证明，但学习的重点应在于使他们确实感到证明是有意义的和有用的。

为了获得对证明价值的理解，学生必须要经历一定数量的证明的训练，以理解证明的过程，掌握证明的基本格式，养成说理有据的态度。为此，《标准》明确了需要证明的定理。但需要注意的是，义务教育阶段应面向全体学生，我们不能把时间放在证明的繁琐技巧，因为这些技巧不能导致对证明的理解与洞悉。因此，对于几何证明，不应当更多地追求证明的技巧、证明的速度、题目的难度及体系的完整，而应使学生在掌握基本的证明方法的基础上，尊重客观事实的精神和质疑的习惯，形成证明的意识，理解证明的必要性和意义，体会证明的思想。为此，《标准》中对几何证明的数量与传统课程相比减少了，同时难度也限制了（练习和考试中与证明有关的题目难度，应与《标准》中列出的命题的论证难度相当），降低了对证明技巧的要求。同时，《标准》还希望学生能对公理化的思想有所体会，因此要求向学生介绍欧几里德及其《几何原本》，使学生体会它们对人类历史和思想发展的重要作用。

事实上，几何课程的设置一直是数学课程中的焦点问题。如何认真分析几何课程的教育价值和发展趋势，结合我国国情为学生提供“好”的几何课程，为学生提供发展空间观念和推理能力的机会，是十分重要的问题，需要广大的数学工作者、数学教育工作者广泛开展研究和实践。