过高的房价对厦门好吗:弦论通俗演义2

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 弦论通俗演义
·李淼·
前言
想借高怡泓新开的网站做一点不务正业的事。作为科学院的研究员,似乎唯一的正业是写SCI 论文。当
下正处于弦论研究的低潮平台期,所谓超弦第二次“革命”也已尘埃落定,反正闲着也是闲着,不妨写一点
关于弦论的既是历史也是通俗介绍的东西。当然希望这部“演义”对于一些已有一定物理基础的学生及物理
爱好者对弦论的了解有一点帮助,至少也可作为茶余饭后打发时间的消遣。对于自己更重要的是,这可能起
到宣传超弦的作用,从而对改变在中国研究弦论的生态环境作一点贡献。这也许比多写一两篇SCI 论文要来
得划算得多。
第一章 从弦论到M-理论
(第一节)
弦论的发现不同于过去任何物理理论的发现。一个物理理论形成的经典过程是从实验到理
论,在爱因斯坦广义相对论之前的所有理论无不如此。一个系统的理论形成过程通常需要几十
年甚至更长的时间,牛顿的万有引力理论起源于加利略的力学及第谷,开普勒的天文观测和经
验公式。一个更为现代的例子是量子场论的建立。在量子力学建立(1925/26)之后仅仅两年就
有人试图研究量子场论,量子场论的研究以狄拉克将辐射量子化及写下电子的相对论方程为开
端,到费曼(Feynman),薛温格(Schwinger) 和朝永振一郎(Tomonaga) 的量子电动力学为高潮,
而以威尔逊(K. Wilson)的量子场论重正化群及有效量子场论为终结, 其间经过了四十余年,
数十甚至数百人的努力。广义相对论的建立似乎是个例外,尽管爱因斯坦一开始已经知道水星
近日点进动,他却以惯性质量等于引力质量这个等效原理为基础,逐步以相当逻辑的方式建立
了广义相对论。如果爱因斯坦一开始对水星近日点进动反常一无所知,他对牛顿万有引力与狭
义相对论不相容的深刻洞察也会促使他走向广义相对论。尽管同时有其他人如阿伯拉汗(Max
Abraham),米(Gustav M ie)试图改正牛顿万有引力,爱因斯坦的从原理出发的原则使得他得
到正确的理论。弦论发现的过程又不同于广义相对论。弦论起源于一九六零年代的粒子物理,
当时的强相互作用一连串实验表明存在无穷多个强子,质量与自旋越来越大越来越高。这些粒
子绝大多数是不稳定粒子, 所以叫做共振态。当无穷多的粒子参与相互作用时,粒子与粒子
散射振幅满足一种奇怪的性质,叫做对偶性。1968年,一个在麻省理工学院工作的意大利物理
学家威尼采亚诺(Gabriele Veneziano) 翻了翻数学手册, 发现一个简单的函数满足对偶性,
这就是著名的威尼采亚诺公式。应当说当时还没有实验完全满足这个公式。很快人们发现这个
简单的公式可以自然地解释为弦与弦的散射振幅。这样,弦理论起源于一个公式,而不是起源
于一个或者一系列实验。伯克利大学的铃木(H. Suzuki) 据说也同时发现了这个公式,遗憾的
是他请教了一位资深教授并相信了他,所以从来没有发表这个公式。所有弦论笃信者都应为威
尼亚采诺没有做同样的事感到庆幸,尽管他在当时同样年轻。
弦论又可以说是起源于一种不恰当的物理和实验。后来的发展表明,强相互作用不能用弦
论,至少不能用已知的简单的弦论来描述和解释。强相互作用的最好的理论还是场论,一种最
完美的场论:量子色动力学。在后来的某一章内我们会发现,其实弦论与量子色动力学有一种
非常微妙,甚至可以说是一种离奇的联系。作为一种强相互作用的理论,弦论的没落可以认为
是弦论有可能后来被作为一种统一所有相互作用的理论运气,更可以说是加州理工学院史瓦兹
(John Schwarz) 的运气。想想吧,如果弦论顺理成章地成为强相互作用的理论,我们可能还
在孜孜不倦地忙于将爱因斯坦的广义相对论量子化。不是说这种工作不能做,这种工作当然需
要人做,正如现在还有相当多的人在做。如果弦论已经成为现实世界理论的一个部份,史瓦兹
和他的合作者法国人舍尔克(Joel Scherk)也不会灵机一动地将一种无质量,自旋为2 的弦解
释为引力子,将类似威尼采亚诺散射振幅中含引力子的部份解释爱因斯坦理论中的相应部份,
从而使得弦论一变而为量子引力理论!正是因为弦论已失去作为强相互作用理论的可能, 日
本的米谷明民(Tamiaki Yoneya) 的大脑同时做了同样的转换, 建议将弦论作为量子引力理论
来看待。他们同时还指出,弦论也含有自旋为1 的粒子,弦的相互作用包括现在成为经典的规
范相互作用, 从而弦论可能是统一所有相互作用的理论。这种在技术上看似简单的转变,却
需要足够的想象力和勇气,一个好的物理学家一辈子能做一件这样的工作就足够了。
我们说的史瓦兹的运气同时又是弦论的运气是因为史瓦兹本人的历史几乎可以看成弦的
小历史。史瓦兹毫无疑问是现代弦论的创始人之一,自从在1972 年离开普林斯顿大学助理教
授位置到加州理工学院任资深博士后研究员。他“十年如一日”,将弦论从只有几个人知道的
理论做成如今有数千人研究的学问。他也因此得以摆脱三年延长一次的位置,终于成了加州理
工学院的正教授。因为他早期与格林(Michael Green) 的工作,他与现在已在剑桥大学的格林
获得美国物理学会数学物理最高奖,2002 年度的海因曼奖(Heineman prize)。
按照流行的说法,弦本身经过两次“革命”。经过第一次“革命”,弦成为一种流行。一
些弦论专家及一些亲和派走的很远,远在1985 年即第一次“革命”后不久,他们认为终极理
论就在眼前。有人说这就是一切事物的理论(TOE=Theory of Everything),欧州核子中心理论
部主任爱利斯(John Ellis) 是这一派的代表。显然,这些人在那时是过于乐观,或者是说对
弦的理解还较浮于表面。为什么这么说呢?弦论在当时被理解成纯粹的弦的理论,即理论中基
本对象是各种振动着的弦,又叫基本自由度。现在看来这种理解的确很肤浅,因为弦论中不可
避免地含有其他自由度,如纯粹的点状粒子,两维的膜等等。15 年前为数不多的人认识到弦
论发展的过程是一个相当长的过程,著名的威顿(Edward Witten) 与他的老师格罗斯(David
Gross) 相反,以他对弦的深刻理解,一直显得比较“悲观”。表明他的悲观是他的一句名言:
“弦论是二十一世纪物理偶然落在了二十世纪”。(这使我们想到一些十九世纪的物理遗留到
二十一世纪来完成,如湍流问题。) 第一次“革命”后一些人的盲目乐观给反对弦论的人留下
口实,遗患至今犹在。现在回过头来看,第一次“革命”解决的主要问题是如何将粒子物理的
标准理论在弦论中实现。这个问题并不象表面上看起来那么简单,我们在后面会回到这个问题
上来。当然,另外一个基本问题至今还没有解决,这就是所谓宇宙学常数问题。15 年前只有
少数几个人包括威顿意识到这是阻碍弦论进一步发展的主要问题。
第二次“革命”远较第一次“革命”延伸得长(1994-1998), 影响也更大更广。有意思的
是,主导第二次“革命”主要思想,不同理论之间的对偶性(请注意这不是我们已提到的散射
振幅的对偶性) 已出现于第一次“革命”之前。英国人奥立弗(Olive) 和芬兰人曼通宁
(Montonen) 已在1977 年就猜测在一种特别的场论中存在电和磁的对称性。熟悉麦克斯维电磁
理论的人知道,电和磁是互为因果的。如果世界上只存在电磁波,没有人能将电和磁区别开来,
所以此时电和磁完全对称。一旦有了电荷,电场由电荷产生,而磁场则由电流产生,因为不存
在磁荷。而在奥立弗及曼通宁所考虑的场论中,存在多种电荷和多种磁荷。奥立弗-曼通宁猜
想是,这个理论对于电和磁完全是对称的。这个猜想很难被直接证明,原因是虽然磁荷存在,
它们却以一种极其隐蔽的方式存在:它们是场论中的所谓孤子解。在经典场论中证明这个猜想
已经很难,要在量子理论中证明这个猜想是难上加难。尽管如此,人们在1994 年前后已收集
到很多这个猜想成立的证据。狄拉克早在1940 年代就已证明,量子力学要求,电荷和磁荷的
乘积是一个常数。如果电荷很小,则磁荷很大,反之亦然。在场论中,电荷决定了相互作用的
强弱。如果电荷很小,那么场论是弱耦合的,这种理论通常容易研究。此时磁荷很大,也就是
说磁理论的角度来看,场论是强偶合的。奥立弗-曼通宁猜想蕴涵着一个不可思议的结果,一
个弱耦合的理论完全等价于一个强耦合的理论。这种对偶性通常叫做强弱对偶。
有许多人对发展强弱对偶作出了贡献。值得特别提出的是印度人森(Ashoke Sen)。1994 年
之前,当大多数人还忙于研究弦论的一种玩具模型,一种生活在两维时空中的弦,他已经在严
肃地检验15 年前奥立弗和曼通宁提出的猜测,并将其大胆地推广到弦论中来。这种尝试在当
时无疑是太大胆了,只有很少的几个人觉得有点希望,史瓦兹是这几个人之一。要了解这种想
法是如何地大胆,看看威顿的反应。一个在芝加哥大学做博士后研究员的人在一个会议上遇到
威顿。威顿在作了自我介绍后问他--这是威顿通常作法--你在做什么研究,此人告诉他在做强
弱对偶的研究,威顿思考一下之后说:“你在浪费时间”。
(第二节)
另外一个对对偶性做出很大贡献的人是洛特格斯大学(Rutgers University) 新高能物理
理论组的塞伯格(Nathan Seiberg)。他也是1989-1992 之间研究两维弦论又叫老的矩阵模型非
常活跃的人物之一。然而他见机较早,回到矩阵模型发现以前第一次超弦革命后遗留问题之一,
超对称及超对称如何破坏的问题。这里每一个专业名词都需要整整一章来解释,我们暂时存疑
留下每一个重要词汇在将来适当的时候再略加解释。弦论中超对称无处不在,如何有效地破坏
超对称是将弦论与粒子物理衔接起来的最为重要的问题。塞伯格在1993-1994之间的突破是,
他非常有效地利用超对称来限制场论中的量子行为,在许多情形下获得了严格结果。这些结果
从量子场论的角度来看几乎是不可能的。
科学史上最不可思议的事情之一是起先对某种想法反对最烈或怀疑最深的人后来反而成
为对此想法的发展推动最大的人。威顿此时成为这样的人,这在他来说不是第一次也不是最后
一次。所谓塞伯格-威顿理论将超对称和对偶性结合起来,一下子得到自有四维量子场论以来
最为动人的结果。这件事发生在1994 年夏天。塞伯格飞到当时正在亚斯本(Aspen)物理中心进
行的超对称讲习班传播这些结果,而他本来并没有计划参加这个讲习班。纽约时报也不失时机
地以几乎一个版面报导了这个消息。这是一个自第一次弦论革命以来近十年中的重大突破。这
个突破的感染力慢慢扩散开来,大多数人的反应是从不相信到半信半疑,直至身不由己地卷入
随之而来的量子场论和弦论长达4 年的革命。很多人记得从94 年夏到95年春,洛斯阿拉莫斯
hep-th 专门张贴高能物理理论文的电子“档案馆”多了很多推广和应用塞伯格-威顿理论的文
章,平淡冷落的理论界开始复苏。塞伯格和威顿后来以此项工作获得1998 年度美国物理学会
的海因曼奖。
真正富于戏剧性的场面发生在次年的三月份。从八十年代末开始,弦的国际研究界每年召
开为期一个星期的会议。会议地点每年不尽相同,第一次会议在德克萨斯A&M 大学召开。九三
年的会议转到了南加州大学。威顿出人意料地报告了他的关于弦论对偶性的工作。在这个工作
中他系统地研究了弦论中的各种对偶性,澄清过去的一些错误的猜测,也提出一些新的猜测。
他的报告震动了参加会议的大多数人,在接着的塞伯格的报告中,塞伯格在一开始是这样评价
威顿的工作的:“与威顿刚才报告的工作相比,我只配做一个卡车司机”。然而他报告的工作
是关于不同超对称规范理论之间的对偶性,后来被称为塞伯格对偶,也是相当重要的工作。史
瓦兹在接着的报告中说:“如果塞伯格只配做卡车司机,我应当去搞一辆三轮车来”。他则报
告了与森的工作有关的新工作。
95 年是令弦论界异常兴奋的一年。一个接一个令人大开眼界的发现接踵而来。施特劳明
格(Andrew Strominger) 在上半年发现塞伯格-威顿94 年的结果可以用来解释超弦中具有不
同拓扑的空间之间的相变,从而把看起来完全不同的“真空”态连结起来。他用到一种特别的
孤子,这种孤子不是完全的点状粒子,而是三维的膜。威顿95 年三月份的工作中,以及两个
英国人胡耳(Chris Hull)和汤生(Paul Townsend) 在94 年夏的工作中,就已用到各种不同维
数的膜来研究对偶性。这样,弦论中所包含的自由度远远不止弦本身。
在众多结果中,威顿最大胆的一个结果是10 维的一种超弦在强耦合极限下成为一种11 维
的理论。汤生在95 年一月份的一篇文章中做了类似的猜测,但他没有明确指出弦的耦合常数
和第11 维的关系。威顿和汤生同时指出, 10 维中的弦无非是其中1 维绕在第11 维上的膜。
汤生甚至猜想最基本的理论应是膜论,当然这极有可能是错误的猜想。史瓦兹在随后的一篇文
章中根据威顿的建议将这个11 维理论叫成M-理论,M 这个字母对史瓦兹来说代表母亲
(Mother),后来证实所有的弦理论都能从这个母亲理论导出。这个字母对不同的人来说有不同
的含义,对一些人来说它代表神秘(Mysterious),对于另外一些人来说代表膜论(Membrane),
对于相当多的人来说又代表矩阵(Matrix)。不同的选择表明了不同爱好和趣味,仁者乐山智者
乐水,萝卜青菜各有所爱。总的说来,M-理论沿用至今而且还要用下去的主要原因是,我们只
知道它是弦论的强耦合极限, 而对它的动力学知之甚少,更不知道它的基本原理是什么。理
论所的弦论专家朱传界说对于M-理论我们象瞎子摸象,每一次只摸到大象的一部份,所以M-
理论应当叫做摸论。当然摸没有一个对应的以字母M 打头的英文单词,如果我们想开M-理论的
玩笑,我们不妨把它叫作按摩理论,因为按摩的英文是message。我们研究M-理论的办法很象
做按摩,这里按一下,那里按一下。更有人不怀好意地说,M 是威顿第一个字母的倒写。
1995 年的所有的兴奋到10 月份达到高潮。加州大学圣巴巴拉分校理论物理所的泡耳钦斯
基(Joseph Polchinski) 发现弦论中很多膜状的孤子实际上就是他在6 年前与他的两个学生
发现的所谓D-膜。字母D 的含义是Dirichlet,表示D-膜可以用一种满足狄雷克利边界条件开
弦来描述。施特劳明格用到的三维膜就是一种D-膜。这个发现使得过去难以计算的东西可以用
传统的弦论工具来做严格的计算。它的作用在其后的几年中发挥得淋漓尽致。又是威顿第一个
系统地研究了D-膜理论,他的这篇重要文章的出现仅比泡耳钦斯基的文章迟了一个礼拜。威顿
非常欣赏泡耳钦斯基的贡献,他在于哈佛大学所作的劳布(Leob) 演讲中建议将D-膜称为泡耳
钦斯基子,很可惜这个浪漫的名称没有流传下来。
讲到这里,我们已给读者一个关于M-理论的模糊印想。下面我们将从引力理论和弦论的基
本东西谈起,这将是一个非常困难的工作。我们不得不假定读者已有了大学物理的基础,即便
如此,一些概念也很难用大学已学到的东西来解释。我希望读者给我时间,也希望读者直接在
每个贴子后面提问题,如果一些东西我没有讲清楚。弦论或M-理论还在它发展的“初级阶段”,
如果追根究底,有些问题还没有很好的回答。例如这么一个简单的问题:到底什么是弦论,什
么是M-理论?如果能吸引那怕是一两个读者自己继续追问这个问题从而最终成为一个弦论专
家,我已达到目的。
第二章 经典的极致
(第一节)
如果说现代物理开始于量子物理,经典物理则终结于爱因斯坦的广义相对论。广义相对论
的时空观无疑彻底改革了牛顿的时空观,但牛顿本人很清楚他的时空观的局限。爱因斯坦用相
对论的因果律代替了牛顿的绝对时与空中的因果律,所以说爱因斯坦的时空概念与因果概念仍
然是经典的,广义相对论是经典物理的极致。这个经典物理中的最高成就一直拒绝被量子物理
所改造。所有相信弦论的人都认为引力已被成功地量子化,至少在微扰论的层次上。一些执著
于几何是一切的人则认为还不存在一个成功的量子引力理论,他们在一定程度上承认弦论的成
功,霍金(S. Hawking)以及特霍夫特(G. 't Hooft) 可以被看成这方面的代表,虽然前者较之
后者更极积地支持弦论。我们希望在本章的结尾时看到,弦论家的观点和弦论同情者的观点都
有一定道理。而第三派则采取鸵鸟政策,认为引力还是原来的引力, 星星还是那颗星星,这
样有助于他们继续发表各色各样的理论。
我们假定读者已学过狭义相对论,甚至一点广义相对论,这样我们就可以相对自由地从不
同角度来看广义相对论。
广义相对论的基本原理是等效原理:在引力场中,在时空的任何一点都可以找到一个局部
惯性系,物理定律在这个局部惯性系中与没有引力场时完全相同。爱因斯坦本人更喜欢将局域
引力譬喻成局部加速所引起的结果。这样,局部惯性系类似于黎曼流形中一点的切向空间,加
速则可以用一个二次的座标变换来消除。引力可以用黎曼几何中的度规来描述,在一个局域惯
性系中,度规变成狭义相对论中的闵氏度规。爱因斯坦进一步说,如果引力效应可以用一般的
座标变换来消除,则该引力场完全等价于无引力场。如此则一个非平庸的引力场必须具有曲率。
爱因斯坦的引力理论是标准的场论,而他相信物理的基本要素就是场,这是他高度评价麦克斯
韦工作的原因。
一个试验粒子在引力场中的运动轨迹是测地线,而运动方程可以由变分原理得到。这个变
分原理说,连结时空两点的粒子轨迹使得总的粒子的固有时成为极大-粒子的固有时是欧氏空
间中测地线长度在闵氏空间中的推广。这种几何变分原理早就用在光学中,光的轨道使光程取
极小值,这是费马原理。当地球环绕太阳运动时,人们可以想象,太阳产生的引力场使得太阳
周围的时空发生一点点弯曲,从而使得地球的测地线发生弯曲。在时空中,这个测地线并非是
闭合的。一般说来,它在空间中的投影也不是闭合的,这样就有了水星近日点进动-这里,时
空同时弯曲起了关健作用。同样,一个无质量的粒子如光子在引力场中的测地线也是弯曲的,
尽管光的固有时总是为零,测地线的变分原理稍稍有点复杂。爱因斯坦在广义相对论完成之前
就预言了光线在引力场中的弯曲,他仅用了等效原理,这等价于仅仅用了度规的时间分量,这
样算出的弯曲角度是正确结果的一半。同样,要算出正确的结果,必须计及空间的弯曲。
决定时空曲率的是物质的能量和动量分布,这就是爱因斯坦著名的引力场方程。在方程的
左边是一种特殊的曲率,现在叫做爱因斯坦张量。在方程的右边是能量-动量张量。爱因斯坦
经过断断续续八年的努力,在1915年年尾才最终写下正确的场方程。(从1907到1911有三年半
的时间,他发表了关于经典幅射理论的文章,关于狭义相对论,关于临界弥散,甚至尝试修改
麦克斯韦方程以期得到光量子,就是没有发表关于广义相对论的文章。) 1915 年11 月25 日,
爱因斯坦在普鲁士科学院物理-数学部(那时的科学没有今天专业化得利害,今天的一些物理学
家往往以不能与数学家沟通为自豪) 宣读了一篇题为《引力的场方程》文章。
他说:“相对论的一般理论作为一个逻辑体系终于完成”。
1915 年11 月,爱因斯坦每一个礼拜完成一篇文章。11 月4 日,在一篇文章中他写下不
完全正确的一种场方程,该方程线性化后成为牛顿-泊松方程。11 月11 日,他写下另一个场
方程,方程的左边是里奇(Ricci) 张量,方程的右边是能量-动量张量,他还要求度规的行列
式等于一。11 月18 日,爱因斯坦仍然相信度规的行列式必须等于一。在这篇文章中他发现两
个重要效应,爱因斯坦非常运气的是太阳的中心力场对应的度规的行列式的确等于一——史瓦
兹希尔德于次年一月发现了严格解,五月即死于在俄罗斯前线得的一场病。爱因斯坦发现的第
一个效应是水星近日点进动。勒维利埃(Jean Joseph Le Verrier) 1859 年观察到的水星每百
年45 秒的进动完全可以用爱因斯坦的新的理论来解释。这个发现是如此令人激动,爱因斯坦
此后一连几天不能平心静气地回到物理上来。第二个发现是,他以前计算的光线弯曲比正确的
结果小一半,这时他计及了度规的空间部份。11 月25 日,爱因斯坦写下了一直沿用至今的引
力场方程。爱因斯坦放弃了度规行列式等于一的物理要求,但将它作为对座标选取的一种条件。
爱因斯坦当时还不知道场方程的左边满足比安基等式,从而方程右边自动满足能动量守恒定
律。能动量守恒定律被爱因斯坦看成一个条件。
由于引力常数很小,引力往往在一个很大的系统中才有可观测效应。相互作用的大小通常
可以用动能与势能之比来定,对于处于束缚态的系统,这个比例大约是1,所以我们常常说束
缚态是非微扰的。不需要计算,我们知道地球在太阳引力场中的势能大约等于它的动能。同样,
电子在氢原子中的电势能大约等于它的动能。可是电子与氢原子的原子核-质子-之间的引力相
互作用就非常非常小了,它与电子的动能之比大约是10 的负40 次方!所以我们常常说引力是
自然界中最弱的相互作用。用广义相对论的语言说,时空非常难以弯曲。看一看爱因斯坦的场
方程,它的左边是曲率,右边是牛顿引力常数乘以能-动张量。能-动张量引起时空弯曲,而牛
顿引力常数则很小,可以说时空的强度则很大-比任何金属要大得多。
在谈到广义相对论的实验验证时,人们常提到的是三大经典验证:引力红移,光线弯曲和
水星近日点进动。时至今日,广义相对论通过了远远不止这些验证。即使当验证还很少时,人
们已经认为广义相对论是有史以来最完美和最成功物理理论。恐怕即使今天人们还可以这样
说。广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论,即整个理论建立在一些简单的原理之上,
尽管它是一个物理理论,它的逻辑结构几乎可以媲美于欧几里得几何。它也是有史以来最成功
的理论之一,它解释了所有己知的宏观的包含引力的系统,这包括整个可观测宇宙在内。其精
度经常在万分之一,在等效原理情形,精度已达10 的负13 次方!
广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言:几何。可以说爱因斯坦的直接继承人,
今天仍然活跃的即那些在gr-qc 电子档案馆贴文章的人,仍然坚持用这种语言。这种语言似乎
与量子力学有着本质的冲突,从而与粒子物理学家所惯用的语言有着本质的冲突。这里我们不
想强调这种冲突,但了解这种冲突的存在是有好处的。60 年代之前在相对论界和粒子物理界
之间存在着很少的对话,这在费曼的故事中很好地体现出来。费曼有一次参加在北卡州(North
Carolina) 召开的相对论界的会议。他出发之前忘记了带详细地址,所以他下了飞机后向人打
听有无看到一些相对论专家去了何处。人家问他相对论专家是一些什么样的人,他说, 就是
一些嘴里不停地念叨Gmunu 的人,这人很快知到他指的是谁。
广义相对论与粒子物理的语言冲突在温伯格(Steven Weinberg) 的名著《引力论与宇宙论
——广义相对论的原理与应用》中也显示出来。温伯格尝试着用粒子物理的方法重新表达广义
相对论,仅取得部分成功。记住温伯格与费曼最早试图由自旋为2 的无质量粒子及相互作用推
出广义相对论,今天我们知道,人们的确可以证明广义相对论是唯一的自旋为2 的无质量粒子
的自洽相互作用理论。但这个证明是一级一级的证明,很难看出其中的几何原理。广义相对论
与粒子物理本质的不同还可以从引力波的效应的计算看出。早在1916 年爱因斯坦就指出在他
的理论中存在引力波。到1918 年,他给出引力幅射与引力系统的四极矩关系的公式。不同于
电磁系统,自旋为2 的粒子的幅射与偶极矩无关。不同于电磁系统,那里的幅射公式从来就没
有人怀疑,而引力系统的引力波幅射是否完全由四极矩公式给出长期引起争论。争论的原因是
引力是一个高度非线性理论,引力势能本身也会影响引力波幅射。爱因斯坦本人在1937 年曾
短暂地怀疑过引力波的存在。有趣的是,关于引力波幅射的第一级效应的争论直到1982 年才
完全得到解决:爱因斯坦的四极矩公式是正确的。当然,引力波幅射的效应已在脉冲双星系统
中被间接地观察到,这个工作也已获得诺贝尔奖。今年或今后几年,引力波可能被引力干涉仪
直接观测到,这将成为继最近的宇宙学中激动人心的观测又一令人激动的天文观测。这也将极
大推动相对论界与粒子物理界之间的对话。
(第二节)
广义相对论应用最成功的领域是宇宙学。历史上断断续续地有人考虑过用牛顿理论研究包
括整个宇宙的力学体系,但从无一个比较完备的理论,原因之一是很难用牛顿理论得到一个与
观测相吻合的宇宙模型。如果假定在一定尺度之上宇宙中的物质分布大致是均匀的,从牛顿理
论导出的泊松方程没有一个有限的解。如果我们被迫假定物质的质量密度只在一个有限的空间
不为零,我们则回到宇宙中心论。即便如此,这个有限的引力体系也是不稳定的,终将不断地
塌缩。
独立于牛顿理论的另外一个困难是奥尔伯斯(Olbers) 佯谬。如果物质的主要成份是发光
的星体,那么天空的亮度将是无穷大。每颗星对亮度的贡献与它距地球的距离平方成反比,而
在径向上恒星的线密度与距离平方成正比,所以总亮度以线性的方式发散。假如恒星分布在一
个有限区域,尽管亮度有限,但白昼黑夜的存在说明这个亮度远小于太阳的亮度,所以这个有
限区域不能太大。
现代宇宙学开始于爱因斯坦。他的1917 年2 月份的宇宙学虽然不完全正确,却一举解决
了上面的两个问题。爱因斯坦当然知道用牛顿理论建立宇宙论的困难,他的出发点却全然不同。
爱因斯坦在许多重要工作中,往往从一个很深的原理,或者从一个在他人看来只是一种不切实
际的信仰出发,虽然他常常达到解决实际问题的目的。这一次他的出发点是马赫原理。马赫原
理大致是说,一个质点的惯性质量在一定程度上取决于其周围的物质分布,换言之,所谓惯性
系实际上就是那些相对于宇宙平均物质分布匀速运动的系统。对于爱因斯坦来说,这意味着度
规完全取决于物质的密度分布,而不是密度先决定曲率,然后再决定度规。为了实现马赫原理,
爱因斯坦首先引入宇宙学原理-宇宙是均匀和各向同性的。要得到物质密度分布决定度规的结
果,他发现必须修改他的场方程,这样他引进了宇宙学常数。宇宙学常数项是一个正比于度规
的项,在大尺度上如果忽略曲率项,则能动张量完全决定度规。在小尺度上,宇宙学常数项可
以被忽略,这样广义相对论原来的结果还成立。宇宙学常数项在牛顿理论中有一个简单的对应。
可以在泊松方程中加一个正比于引力势的项,相当于给这个标量场一个质量。如果物质密度是
一个常数,则引力势也是一个常数,正比于物质密度,正比系数是牛顿引力中的宇宙学常数的
倒数。爱因斯坦就是从这个改正的牛顿理论出发从而避免了无穷大的困难。
爱因斯坦1917 年的宇宙模型是一个封闭的,静态的模型。他错误地认为在没有宇宙学常
数项的情形下场方程没有满足宇宙学原理的解。他也许相信在没有物质只有宇宙学常数的情形
下也没有解。这些后来都被证明是错误的。德西特(de Sitter) 在爱因斯坦的文章发表后很快
就发现只有宇宙学常数情形下的解,这就是德西特空间。弗里德曼(Friedmann) 于1922年发现
了没有宇宙学常数的解,这是一个膨胀宇宙模型。哈伯(Hubble) 于1929 年发现宇宙学红移,
从而证实膨胀宇宙模型。哈伯是观测宇宙学鼻祖,他在1924 年首先证实一些星云存在于银河
系之外,从而大大扩大了宇宙的尺度。爱因斯坦后来很后悔当初引进宇宙学常数从而没能预言
宇宙的膨胀,后来他终于放弃了马赫原理。爱因斯坦没能预见到宇宙学常数是非常可能存在的,
所以这个他那时认为是他一生中所犯的最大错误也许会成为他的最大成就之一-他的最大成就
也太多了,最近刚获得诺贝尔的实验也与他的名字有关。我们将来在讨论弦论如何对待宇宙学
常数问题时再介绍最近的宇宙学常数的天文观测。
宇宙学在60 年代之前是一门高雅的学问,文章不多,但质量很高。60 年代末彭齐亚斯(A.
Penzias) 和威尔逊(R. Wilson) 偶然发现了宇宙微波背景幅射,宇宙学遂成为一门大众学问,
也就是说它成为一门主流学问,大学物理系和天文系开始有了专门研究宇宙学的教授。早在40
年代伽莫夫等人已经将广义相对论与粒子物理和统计物理结合起来,预言了核合成与微波背景
幅射。标准宇宙模型开始形成,大暴炸宇宙无论从什么角度看都是唤起公众想象力的最好的东
西,它却是爱因斯坦理论的一个应用,一个并不是最深刻的应用。
狄基(R. Dicke) 在我看来是一个很了不起的人。他对广义相对论的实验和理论都作出很
有原创力的贡献。实验如等效原理的精确检验。当人们满足于宇宙学原理是一种第一原理时(爱
因斯坦早期认为是马赫原理的一个推论),他开始怀疑均匀各向同性应是早期宇宙动力学过程
的结果。宇宙学原理只是他问的标准宇宙模型不能解答的三个问题之一。另外两个问题是,为
什么宇宙在早期的空间曲率与物质密度相比非常非常小,为什么早期相变的遗迹几乎不可观察
到,如磁单极。正是他在康乃尔大学的演讲促使顾思(A. Guth)提出暴涨宇宙论(Inflation),
从而一举解决了宇宙论中的三个“自然性”问题。
记得1982 年考到中国科学技术大学做硕士研究生,那时暴涨宇宙论提出仅一年。我的老
师从杨振宁的石溪理论物理研究所访问回来,刚刚写了一篇这方面的文章,他的文章与相变有
关。他在很多场合宣传暴涨宇宙论,大弟子从剑桥回来也谈相变时的泡泡碰撞。这对一个刚刚
接触理论物理的研究生来说是非常新鲜的话题,不过我心里也有点嘀咕,这个利用最新的粒子
物理进展的宇宙模型要解决的问题也太哲学了,有可能被观测所证实吗?过了近十年,暴涨宇
宙论的第一个间接的,有点模糊的证据才出现,这就是轰动一时的柯比(COBE)实验。该实验发
现宇宙背景幅射有非常小的大约为万分之一的涨落,暴涨宇宙论的大尺度结构形成理论需要这
么大的涨落。霍金曾说柯比实验是上世纪最重要的发现,这不免有些夸大。令人兴奋的是,最
近的宇宙背景幅射的功率谱的测量说明宇宙是平坦的,即宇宙目前的空间曲率几乎为零,这是
暴涨宇宙论的预言之一。功率谱曲线的形状也与暴涨宇宙论的预言一致,暴涨宇宙论是否正确
有望在今后几年敲死。
做类似宇宙背景幅射的功率谱的测量要花很多钱,与如今的高能物理实验相比,却又少得
多。在台湾,台湾大学物理系与中研院天文研究所合作,正在极积建造微波天文望远镜,斥资
数亿台币。如果成功,将对测量宇宙学参数作出贡献。我常想,为何中国大陆不做类似的实验?
这类实验需要的投资要小于其它很多大型国家计划,如一些863 计划。
暴涨宇宙论中大尺度结构的形成起因于量子涨落。由于在暴涨期每个量子涨落模的波长随
着共动尺度一起迅速增长,波长会很快超出当时的视界。这样由于涨落的两端失去联系,涨落
被固定下来。大部份暴涨宇宙模型预言涨落在波长上的分布是幂律的。很多人喜欢谈宏观量子
效应,宇宙的大尺度结构如银河系,星系团是最大的宏观量子效应。一个不容忽视的问题是,
暴涨宇宙论中的涨落可能起源于非常小的尺度,这些可能比普朗克尺度还要小。进一步研究涨
落的谱可能会揭示量子引力的效应,这也包括弦论中的量子效应。
暴涨宇宙论对研究弯曲空间中的量子场论起到了一个推动作用,对此研究起到推动作用的
另一重要发现是霍金的黑洞量子蒸发理论。从70 年代中期直到80 年代,弯曲空间中的量子场
论是广义相对论界的一个很活跃的领域。这个领域的进展对理解量子引力并没有带来多大的好
处,原因是广义相对论和量子场论在这里的结合多少有点生硬,在很多情形下,该领域的专家
也没有解决一些概念问题,如什么是可观测量等等。即便如此,这里获得的一些计算结果可以
用到暴涨宇宙论中去,而一些诸如共形反常的计算在弦论的发展过程中也起过一定的作用,在
将来的弦论发展中还会起一定的作用。我们把这个话题留到后面再谈,我们现在先谈谈广义相
对论中的一个最吸引人的话题:黑洞。
(第三节)
当贝肯斯坦(Jacob D. Bekenstein) 于1972 年发表黑洞与热力学关系的时候,他还是普
林斯顿大学的研究生。在1973 年发表于物理评论(Physical Reviews D) 的文章中,他明确指
出,黑洞的熵应与它的视界面积成正比,这个正比系数普朗克长度平方的倒数。普朗克长度平
方又与牛顿引力常数和普朗克常数成正比,所以黑洞熵的起源既与引力有关,又与量子有关。
在贝肯斯坦之前,所有与黑洞有关的研究都是经典的,贝肯斯坦改变了一切。
贝肯斯坦现在在以色列的希伯来大学(Hebrew University) 工作。他是那种所谓的单篇工
作物理学家,在1973 年的工作之后,一直在做与黑洞的量子物理有关的工作。除了黑洞熵之
外,他另一个有名的工作是熵与能量的关系,叫贝肯斯坦上限,我们这里不打算介绍它。有人
想出一种说法来贬低那种一生只在一个方向上做研究的人,叫做:他还在改进和抛光他的博士
论文。贝肯斯坦的工作决不能作如是观,他是那种不断有新的物理想法的人。他的所有工作中
最困难的数学是积分,这并不说明他的文章易读——他的物理思想要求你有足够的直觉。前段
时期有人在这个论坛上说泡耳钦斯基的文章难以理解,这说明了一个问题,那就是我们要训练
自己的物理直观,而不能满足于理解那些有明确数学定义的东西。
黑洞可能的存在是很容易理解的,拉普拉斯早就作过这样的猜测。在牛顿引力中,如果一
个物体的动能不足以用来克服引力场中的势能,这个物体就无法逃逸出去。如果光也不能逃逸
出去,对一个远处的观察者来说,产生这个引力场的物体就是黑的。以拉普拉斯时代对光的理
解,光的动能正比于光速的平方,而光的势能由牛顿引力给出,这样,如果径向距离小于2GM/c^2,
势能的绝对值就大于光的动能,光就无法逃逸。如果一个引力系统的半径小这个值,这个系统
就成为黑洞。这个特别的,与质量和牛顿引力常数成正比的长度叫做史瓦兹希尔德半径,史瓦
兹希尔德在他去世前三个月在他的第二篇关于广义相对论的文章中讨论了这个半径。
虽然拉普拉斯得到正确的结果,他的方法不正确。正确的方法要用到爱因斯坦的光子的能
量公式,光子的能量不能认为是正比于光速的平方。光子的有效质量则为能量除以光速的平方,
这样,这个现代的拉普拉斯计算用到两个爱因斯坦最为著名的结果。普朗克常数最终消掉,虽
然我们在中间过程中用到它。另一个等价的方法是用引力红移的公式,史瓦兹希尔德半径是引
力红移成为无限大的地方。有趣的是,爱因斯坦当初讨论引力红移时有意避开用他的光量子公
式。爱因斯坦竭力避免把他的一个大胆想法和另一个一个大胆想法搅在一
起。
牛顿理论中的黑洞和爱因斯坦理论中的黑洞除了都有视界外,其它并无共同之处。在牛顿
的黑洞中,原点是一个奇点,但这个奇点与经典电子的原点作为库伦势的奇点在本质上并无不
同。在爱因斯坦理论的黑洞中,径向座标在视界上发生本质的变化。在视界之外,径向座标是
类空的;在视界之内,径向座标是类时的,所以光锥在视界上才可能变为向内。“座标原点”
的奇点是在时间上的一个奇点,经过塌缩的物质都撞到之这个奇点上,对于它们来说,时间完
全终结了。所以人们说,黑洞的奇点是类空的,很像大暴炸宇宙中的奇点,只不过在黑洞中这
个奇点是时间的终结,而大暴炸宇宙中的奇点是时间的开始。
虽然黑洞的存在在理想实验中很容易实现,要证明它们在现实世界中存在不是一件很容易
的事。钱德拉塞卡(Subramanyan Chandrasekhar) 1934 年的计算表明,当一个引力系统有足
够大的质量时,自然界不存在其它相互作用能阻止引力塌缩。这个结果要经过许多年才能被大
家接受,部份原因是爱丁顿(Sir Arthur Eddington) 从一开始就非常反对这个结论。对于白
矮星来说,当质量大于某个质量,不稳定性就会发生,这个质量极限叫做钱德拉塞卡极限。中
子星相应的极限叫做奥本海默-沃尔可夫极限(Oppenheimer-Volkoff)。这些极限都与太阳的质
量相差不远。钱德拉塞卡的物理生涯起始于黑洞也终结于黑洞,他去世前的最后一本研究著作
是关于黑洞的,主要研究黑洞周围的扰动。他于1982 年完成这本书,时年71岁。
黑洞的存在是无庸置疑的,我们的银河系的中间就有一个巨大的黑洞。可以肯定,有十分
之一的星系和活动星系核的中心都是黑洞,这些黑洞的起源还是一个谜。
我们前面说过,贝肯斯坦发现黑洞有一个不为零的熵,根据统计物理,这说明给定一个黑
洞,应该有很多不同的物理态,态数的对数等于熵。这些态不能用经典物理来解释。事实上,
在广义相对论中可以证明一个所谓的无毛定理,黑洞的状态由少数几个守恒量完全决定,如质
量,角动量和电荷,每一个守恒量对应一个局域对称性。整体对称性所对应的守恒量,如重子
数,在引力塌缩过程中是不守恒的。贝肯斯坦的熵的起源必须在量子物理中寻找,因为他的熵
公式含有普朗克常数。但这个熵对于普朗克常数来说是非微扰的,当普朗克常数为零时,黑洞
熵是无限大,而不是经典物理中的零。由此可见,我们不能指望用微扰量子引力来解释黑洞的
熵。
在1973 年,贝肯斯坦并无量子引力理论可以利用,他是如何得到他的熵公式的呢?他用
的是非常简单的物理直觉。首先,那时有大量的证据证明在任何物理过程中,如黑洞吸收物质,
黑洞和黑洞碰撞,黑洞视界的面积都不会减小。这个定律很像热力学第二定律,该定律断言一
个封闭系统的熵在任何过程中都不会减少。贝肯斯坦于是把黑洞视界的面积类比于熵,他并说
明为什么熵应正比于面积,而不是黑洞视界的半径或半径的三次方等等。为了决定熵与面积的
正比系数,他用了非常简单的物理直观。设想我们将黑洞的熵增加一(这里我们的熵的单位没
有量纲,与传统单位相差一个波尔兹曼常数),这可以通过增加黑洞的质量来达到目的。如果
熵与面积成正比,则熵与质量的平方成正比,因为史瓦兹希尔德半径与质量成正比。这样,如
要将熵增加一,则质量的增加与黑洞的原有质量成反比,也就是与史瓦兹希尔德半径成反比。
现在,如何增加黑洞的熵呢?我们希望在增加黑洞熵的情形下尽量少地增加黑洞的质量。光子
是最“轻”的粒子,同时由于自旋的存在具有量级为一的熵。这样,我们可以用向黑洞投入光
子的方法来增加黑洞的熵。我们尽量用带有小能量的光子,但这个能量不可能为零,因为光子
如能为黑洞所吸收它的波长不能小于史瓦兹希尔德半径。所以,当黑洞吸收光子后,它的质量
的增加反比于史瓦兹希尔德半径,这正满足将黑洞熵增加一的要求。对比两个公式的系数,我
们不难得出结论:黑洞熵与视界面积成正比,正比系数是普朗克长度平方的倒数。
贝肯斯坦的方法不能用来决定黑洞熵公式中的无量纲系数,尽管贝肯斯坦本人给出一个后
来证明是错误的系数。当霍金听到关于贝肯斯坦的工作的消息时,他表示很大的怀疑。他在此
之前做了大量的关于黑洞的工作,都是在经典广义相对论的框架中,所以有很多经验或不妨说
是成见。类似我们在第一章中提到的威顿之于对偶,他的怀疑导致他研究黑洞的热力学性质,
从而最终导致他发现霍金蒸发并证明了贝肯斯坦的结果。应当说,1973 年当他与巴丁(James M.
Bardeen) 卡特(B. Carter) 合写那篇关于黑洞热力学的四定律的文章时,他是不相信贝肯斯
坦的。
不久,他发现了黑洞的量子蒸发,从而证明黑洞是有温度的。简单地应用热力学第一定律,
就可以导出贝肯斯坦的熵公式,并可以定出公式中的无量纲系数。由于霍金的贡献,人们把黑
洞的熵又叫成贝肯斯坦-霍金熵。霍金的最早结果发表在英国的<<自然>>杂志上,数学上更完
备的结果后来发表在<<数学物理通迅>>。在简单解释霍金蒸发之前,我们不妨提一下关于中文
中熵这个字的巧合。在热力学第一定律的表述中,有一项是能量与温度之比,也就是商,所以
早期翻译者将entropy 翻译成熵。黑洞的熵恰恰也是两个量的商,即视界面积和普朗克长度的
平方。
霍金蒸发很象电场中正负电子对的产生,而比后者多了一点绕弯(twist)。在真空中,不
停地有虚粒子对产生和湮灭,由于能量守恒,这些虚粒子对永远不会成为实粒子。如果加上电
场,而虚粒子对带有电荷,正电荷就会沿着电场方向运动,负电荷就会沿着电场相反的方向运
动,虚粒子对逐渐被拉开成为实粒子对。电场越强电子对的产生几率就越大。现在,引力场对
虚粒子对产生同样的作用,在一对虚粒子对中,一个粒子带有正能量,另一个粒子带有负能量。
在黑洞周围,我们可能得出一个怪异的结论:由于正能被吸引所以带有正能的粒子掉入黑洞,
而带有负能的粒子逃离黑洞,黑洞的质量变大了。事实是,在视界附近由于引力的作用正能粒
子变成负能粒子,从而可能逃离黑洞,而负能粒子变成正能粒子,从而掉进黑洞。对于远离黑
洞的人来说,黑洞的质量变小了;对于视界内的观察者来说,掉进黑洞的粒子具有正能量也就
是实粒子。黑洞物理就是这么离奇和不可思义。
霍金蒸发是黑体谱,其温度与史瓦兹希尔德半径成反比,黑洞越大温度就越小,所以幅射
出的粒子的波长大多与史瓦兹希尔德半径接近(这很象我们上面推导贝肯斯坦熵时用的光子)。
当幅射出的粒子变成实粒子后,它们要克服引力作用到达无限远处,所以黑体谱被引力场变形
成为灰体谱。霍金在<<时间简史>>中坦承,当他发现黑洞幅射时,他害怕贝肯斯坦知道后拿来
支持他的黑洞熵的想法。
黑洞的量子性质无疑是广义相对论与量子论结合后给量子引力提出的最大的挑战。我们虽
然可以用霍金蒸发和热力学第一定律推导出黑洞熵,这并不表明我们已理解了黑洞熵的起源。
最近弦论的发展对理解一些黑洞熵起了很大的作用,但我们还没有能够理解史瓦兹希尔德黑洞
的熵。另外,黑洞蒸发后遗留下来的是一个量子纯态还是一个混合态,就象黑体谱一样?如果
是后者,那我们就不得不修改量子力学。弦论家们大都认为量子力学不必修改,最近霍金也改
变了他过去的看法加入弦论家的行列。黑洞的量子物理在过去对弦论的发展起到很大的作用,
在将来注定对弦论的发展起到也许更大的作用。
第三章 超对称和超引力
(第一节)
场论与量子力学的结合产物是量子场论。量子场论早期遇到的困难是紫外发散。发散对物
理学家来说并不陌生,洛伦兹和彭加勒在古典电子论中已经遇到了发散,就是电子的无限大自
能。他们假定电子的半径不为零,这样就得到了有限的结果。非常令人惊奇的是,如果假定电
子的能量完全来自自能,他们的结果与爱因斯坦的著名的质能关系几乎一样。而洛伦兹的结果
出现在1904 年,比爱因斯坦发现狭义相对论早了一年。另外一种发散导致普朗克早几年引进
量子的概念,这就是黑体幅射的紫外灾难。
紫外灾难与电子的无限大自能不同之处在于,后者是由于电荷集中在无限小的区域,而前
者的原因是一个固定的相空间区域有无限多个态。普朗克引进量子使得每一个态占据一定的相
空间,因此黑体幅射作为一种自由理论变成了有限的。量子论并没有解决相互作用的发散问题,
因为这种发散的根源是,在一个固定的空
间区域有无穷多个自由度。换言之,对应一个有限的空间区域,其相空间为无限大,我们
必须计及无限大的动量空间。所以,普朗克的量子“正规化”了相空间,并没有将空间“正规
化”。
一种人为的正规化办法是在动量空间引进截断,也就是说我们在做计算的时候假定有一个
最大的动量。通过测不准原理,这样做等价于在空间上作一个小距离截断。从场论的观点讲,
这等于我们假定所有的场在小于一定的距离上没有变化。这样做既排除了经典上的发散如电子
的无限大自能,也排除了新的量子发散。新的量子发散来自小距离上的量子涨落,如正负电子
对的产生和湮灭。当截断被去除后,通常我们还是得到无限大的结果,这就迫使人们引进“重
正化”。重正化的办法是引进所谓裸参数,如电子的质量和电荷,这些裸参数是截断的涵数。
而物理参数仅是物理过程涉及到的能量的涵数,其来源分成两部份,一部份是裸参数,另一部
份来自介于截断和物理能量之间的量子涨落。如果所有的无限大都能用重正化来消除,我们则
称该量子场论是可重正的。
以上的重正化观念是老的观念,也就是到费曼,薛温格和朝永振一郎(Tomonaga)所采用的
办法,现在又叫粒子物理的重正化观念。现代有效量子场论并不要求可重正性。在有效量子场
论中,如果我们仅仅对一定能量以下的物理现象感兴趣,我们可以将高能的模“积掉”,也就
是说高能的模对低能模的效应可以由低能模的有效哈密顿量(Hamiltonian) 或者拉氏量
(Lagrangian) 完全体现出来。不同的高能拉氏量可能产生相同的低能拉氏量,如果我们仅对
一定能量以下的物理感兴趣,高能理论的行为就无关紧要了。一个不可重正的理论在高能区需
要越来越多的参数,所以,用现代量子场论的观点来看,可重正性等价于高能区有一个不动点,
这就是可重正性的可预言性的全部含义。
所以,我们并没有理由要求我们的粒子模型一定是可重正的。粒子物理的标准模型恰恰是
可重正的,严格来说,这并不意味着标准模型有一个紫外(高能) 不动点,但肯定意味着标准
模型可以被放进一个更大的,有紫外不动点的理论。这个事实本身,从有效量子场论的角度来
看,已经耐人寻味。如果把引力包括进来,我们有理由要求整个理论是可重正的,因为引力本
身已经蕴涵着一个能量极限,也就是普朗克能量。当然我们也可以假定在普朗克能量之上还不
断地有新的物理,这种哲学和统一观点背道而驰。也许,标准模型的可重正性以及弦论作为可
重正的(其实是有限的)引力理论的存在是对持统一观点的人的极大支持。
有两种方式判定一个理论是否是可重正的。通常用的办法是微扰展开,就是从一个自由理
论即没有相互作用的理论出发,加上一些相互作用项,每一项有一个对应的参数,通常叫做偶
合常数。如果某个参数带有长度量纲或长度量纲的正幂次,我们称该项为无关项(irrelevant
term);如果对应的参数带有长度量纲的负幂次,则称该项为相关项(relevant term)。一个无
关项,通过量纲分析,在低能区变得不重要(无关因此得名) 而在高能区变得重要,原因是其
影响可通过一个无量纲参数,即偶合常数乘以能量的正幂次来确定。如果某一无关项在一能区
存在,那么它在更高的能区会引出更多的不同的无关项,所以无关项又是不可重正的。
引力所对应的偶合常数是牛顿引力常数的平方根,所以引力是不可重正的。这个事实可以
用以下的简单方法看出。爱因斯坦理论是非线性的,它的第一个相互作用项是度规场的立方项,
其对应的偶合常数是牛顿引力常数的平方根。在四维中,如同任何一个玻色场,引力场带有质
量量纲,即长度量纲的倒数。立方偶合项一定含有两次微分,这同样可以通过量纲分析来看出,
因为偶合常数有长度的量纲。一个相互作用项所含的微分次数越高,它对量子涨落的发散的贡
献越大,因为该项在高能区变得越来越大——每增一次微商,就多了一个能量因子。为了消除
这些发散,我们就不得不引进越来越多的无关项,这样引力没有一个在高能区有好的定义的理
论。
顺便提一下,我们前面说引力的最简单的相互作用项含有两次微商,这与引力子是自旋为
2 的粒子有关。一般的规范场所对应的量子自旋为1,其简单的相互作用项含有一次微商。更
为一般的结论是,自旋为几的粒子所对应的相互作用必定含有几次微商。所以,一个含有自旋
为3 粒子的理论一定是不可重正的。在四维中,可以证明,可重正的量子场论最多只含自旋为
1 的粒子-这是70 年代初量子场论的重要结果。人们实际上得到更强的结论,所有可重正的,
含有自旋为1 的粒子的量子场论必为规范理论,即杨-米尔斯理论。
我们上面提到,以威尔逊的现代场论观点来看,我们没有理由要求引力是可重正的。也许
真实的图象是,当我们不断地提高能量,物理理论变的越来越复杂,而爱因斯坦的理论只不过
是一个低能有效理论。虽然我们不能完全排除这种可能,我们提到的普朗克能标的存在暗示着
在高能区存在一个简单的量子引力理论。黑洞的存在也支持这个可能性。设想我们用带有很高
能量的粒子束来探测小距离上的时空结构,如果没有引力,海森堡测不准原理告诉我们能量越
高,我们探测的距离越小。引力介入后,过去很多人,特别是惠勒(John A. Wheeler),相信
越高的能量会带来越大的时空涨落,如所谓的时空泡沫(spacetime foams)。时空泡沫指的是
在普朗克距离上时空的拓扑不确定,有许多虫洞(wormholes)结构。黑洞的形成使得这些如时
空泡沫的结构能否被观察到成为很大问题。能量越高,形成的黑洞就越大,其事件视界(event
horizon) 也就越大,所有可能的复杂的时空结构都被视界所掩盖。而视界之外的时空却非常
光滑,能量越高,视界之外的曲率就越小,那么低能的有效理论也就越适用。如此,对于一个
外部观察者来说,高能的量子引力行为就不可能被复杂的拉氏量中的无关项所主导。我们这里
所描述的可能性现在叫做紫外-红外对应,即量子引力中的紫外行为与红外物理相关。
如此,我们相信在一个有引力的量子理论中,高能理论不会象有效量子场论所指出的那样,
在高能区存在许多不可预测的可能性。量子引力本身必定是有简单定义的理论,换言之,量子
引力是一个更大的,可重正的甚至是有限的理论的一部份。这个理论不太可能是爱因斯坦理论
的简单量子化,因为我们已知道爱因斯坦理论不可能被简单地量子化。这就迫使我们寻找一个
更大的,至少是可重正的理论。我们将被历史地,在某种程度上也是逻辑地带到超对称。
(这一节写完,我发现要将这里所讲的一些道理让仅有大学物理背景的人看懂,我至少要
再花上是这里几倍的篇幅。我希望大多读者没有被吓走。好消息是,如果你读完这一节后还没
有被吓走,你以后大概再也不会被吓走。)
(第二节)
超对称作为一种理论上的可能的发现是一段饶有兴趣的科学史。在读完前面关于场论中的
无限大之后,也许我们会想当然地猜测超对称的发明是为了消除无限大。70 年代初超对称不
同的发现者有不同的理由发明超对称,却没有一个理由是为了将无限大驱逐出量子场论。
前苏联物理学家尤里-高尔芳(Yuri Abramovich Golfand) 远在60 年代末就开始寻找介于
玻色子与费米子之间的对称性,他的动机是解决弱相互作用! 当时温伯格- 萨拉姆
(Weinberg-Salam) 模型还没有建立,温伯格关于弱电统一的文章发表于1967 年。根据高尔芳
的学生、他后来的超对称合作者伊夫金-利特曼(Evgeny Likhtman)的回忆,高尔芳在68年春已
得到4 维的超彭加勒代数(super-Poincare algebra),这比西方发现超对称早了三年,比西方
发现4 维的超对称早了6 年。可惜高尔芳并没有立即发表这个结果,因为他虽然克服了所谓的
柯尔曼-满杜拉止步定理(Coleman-Mandula no -go theorem),他还没有构造好实现这一对称
的场论。这与目前信息时代的物理学家的发表态度形成鲜明的对比,我们可以在前天看到同行
在网上贴出的文章,昨天作了一点推广式的计算,今天草就一篇大作,明天网上见面。顺便提
一下,当我和人聊起超对称的发明的时候,常常有人将之归功于数学家盖尔芳(Israel
Gelfand)。盖尔芳比高尔芳有名得多,是第一届沃尔夫数学奖得主,生于1913 年,比高尔芳
大9 岁。盖尔芳还活着且仍在发表文章(网上能查到的最新文章出于去年9 月),而高尔芳已于
1994 年辞世。
前段时间也是来自前苏联的、现今在明尼苏达大学的谢夫曼(M. Shifman) 组织人为高尔
芳出了一本纪念文集。读了谢夫曼写的前言,我才知道高尔芳在1973 年至1980 年之间失了业。
他与利特曼的第一篇关于4 维超对称场论的文章发表于1971 年,这比西方第一篇4维超对称场
论的文章早了三年,是关于用现代的术语讲就是超对称量子电动力学的。那么,高尔芳为什么
在发表了如此重要的文章后被列别捷夫物理研究所(Lebedev Physical Institute)解聘呢?谢
夫曼提供了二个可能的原因。一是,朗道发现了所谓的朗道极点之后苏联很少有人相信场论,
(在整个60 年代,西方的大多数粒子物理学家对场论也失去信心,原因是弱相互作用不可重正,
而强相互作用更是一团乱麻。) 他们比西方人更为保守。二是,有人认为高尔芳根本不懂他研
究的东西,尽管他早在50 年代末就做过重要工作,所以高尔芳就成了苏联科学院“精简-创新”
的牺牲品。我们在这里猜测,如果外斯、朱米诺(Julius Wess,Bruno Zumino)1974 年的文章
早发表两年, 如果西方早两年就重视超对称,也许高尔芳的运气要好一些。高尔芳1990 年举
家去了以色列。
在西方,超对称的发现顺着完全不同的思路,最早的超对称的发现竟源于弦论。皮埃尔-
雷芒(Pierre Ramond) 当时在费米实验室工作,1971 年,弦论被正式确认只有一年,他考虑
如何在弦论中引进带半整数自旋的激发态(即费米子)。作为狄拉克矩阵的推广,他在弦运动起
来的世界面上引进了费米场,并满足周期条件。非常类似狄拉克,雷芒的理论中所有弦的激发
态都是时空中的费米子。注意,这里我们有意将时空与世界面区别开来,前者是弦运动的舞台,
而后者类似粒子的世界线。虽然雷芒的理论中只有时空中的费米子,而弦的世界面上既有费米
场,也有玻色场,这些我们留到后来再详加解释。同年, 吉尔维(Jean Gervais) 和崎田文二
(Bunji Sakita) 发现如果将雷芒的理论写成世界面上的作用量,则这个作用量具有两维的超
对称,这是出现在西方的第一个超对称作用量,与苏联人几乎同时。雷芒的理论现在又叫雷芒
分支(Ramond sector),因为它是两种可能的分支之一。
作为一个小插花,我们谈一点关于雷芒的掌故。雷芒并没有因为第一个研究费米弦而得以
永久留在费米实验室,尽管他在弦论中第一次引入费米的名字。现在费米实验室理论部的有些
人谈到这件往事时往往半自嘲、半开玩笑地说,我们费米实验室从来不做弦论,我们已将超弦
的创始人之一给解聘了。雷芒是很有幽默感、很健谈的人,也很喜欢谈掌故。我记得有一年夏
天在亚斯本遇到雷芒,在一次午饭聊天中,他向一些年青人讲我们上一节提到的威尔逊的故事。
有人问他,如果威尔逊没有发现重正化群和临界现象的重正化群理论,谁会发现它?(在此之
前雷芒已谈到一些量子场论中的大人物,为了不得罪人, 我们姑将姓名隐去。) 他说,坎(Ken,
威尔逊的名字);再问一次,他仍然说坎,可见他对威尔逊的佩服程度。当然,绝大部份真正
懂威尔逊理论的人都很佩服他,不懂就无从佩服起了。我相信我的读者也都很佩服,看一看上
一节贴出后的热烈讨论!雷芒也是少数自己的名字在一个专业名词中出现两次的人,这个名词
就是超弦中雷芒-雷芒分支。有一次他访问芝加哥,参加一个超弦的学术演讲。当时他是听众
之一,我也有幸在场。当演讲者提到雷芒-雷芒分支时,听众中的杰夫-哈维(Jeff Harvey) 扭
头问他:“皮埃尔,谁是另外一个雷芒?”全场绝倒。
写到这里,真想再一次遇到他,犹其在我写这个演义的时候,这样可以从他那里贩卖一些
关于弦论的掌故。象现在这样写下去,迟早要抖尽肚皮里的一点点存货。
以上是大家爱听的八卦,现在是谈一谈到底什么是超对称的时候了。我们先从大家熟悉的
对称性讲起。日常的对称性有分立的对称性和连续的对称性,前者如一个正四边形,将之转动
90 度,还是原来的正四边形;后者如一个球面,以球心为原点,无论怎么转,还是原来的球
面。这是一个物理系统固有的对称性,或一个物理态的对称性。在一个物理理论中,还有一种
动力学的对称性。例子是,假如一个态本身不是转动不变的,但我们将之转动后,同时还转动
用以描述它的座标,这样这个态的一切动力学性质和转动之前完全一样,这表明空间本身的各
向同性和物理系统本身与空间的方向无关联性。在一个物理理论中,一个转动操作对应于一个
算子,它将一个态映射到另一个态。现在,我们前面例子中的两个性质可以翻译成数学语言。
空间本身的各向同性等于真空本身作为一个特别的态在这个算子的作用下不变;物理系统本身
与空间的方向无关联性等于这个算子与哈密顿量对易(量子力学)或它与哈密顿量的泊松括号
为零(经典力学)。
量子力学的法则告诉我们,一个算子如与哈密顿量对易,则它所对应的物理量是守恒的。
对应一个转动算子,我们还没有一个物理量,原因是,这个转动算子是保长的,即保持态的内
积不变,如我们提到的真空态。这样的一个算子叫酉算子,而一个物理量算子是厄米特算子。
连续群的定理保证我们可以用厄米特算子构造酉算子,对于转动来说,相应的厄米特算子就是
角动量。如果真空在酉算子作用下不变,那么它在相应的厄米特算子的作用下为零,也就是说
真空没有角动量。我们可以将不同的态分类成角动量的本征态,但是一个任意态未必是本征态。
在量子场论中,有一类算子永远没有物理的本征态,尽管它们可以是厄米特的,这一类算
子就是费米算子。怎么理解一个费米算子?可以将希尔伯特空间分成两个正交的子空间,一个
子空间中的态全是玻色态,另一子空间中的态全是费米态,现在,定义一个费米算子,它将一
个子空间中的态映射到另外一个子空间中的态。这还不是全部定义,我们再加上一个条件,就
是,任一个可实现的物理态不是玻色态就是费米态,而不能是一个玻色态和一个费米态的混合。
这样,很明显,一个费米算子就没有物理的本征态。根据量子力学,一个费米算子就不是一个
可观测量。
尽管如此,一个费米算子可能与哈密顿量对易,也就是说在它的作用下,动力学是不变的,
这就是一个超对称。超对称之所以是超的,原因是它将一个“超选择分支”(super-selction
sector) 映射到另一个“超选择分支”。最简单的情形是,它将一个玻色子转动成一个费米子。
这个性质与通常的对称性很不相同,通常的对称性是将两个态联系起来,这两个态完全可以通
过动力学过程互相转变。如一个向上自旋的电子,通过转动变成相下自旋的电子,这个转动完
全可以通过一个物理过程来实现。而一个超对称变换可以将一个电子变成一个标量粒子,但一
个电子本身永远不会通过一个物理过程变成一个无自旋的粒子。我想,这种性质对一个初学超
对称的人来讲是一个最大的困惑,因为我们太习惯于普通的对称了。我们可以想象转动一个正
方形,但不能想象将一个正方形转成一个“超正方形”,如果后者果真存在的话,因为这种转
动不是一个物理过程,因为该转动不是可观测量!
除了超对称之超外(没有对应的物理过程,也不是可观测量),它具有一切与对称相同的性
质。例如,如果一个玻色系统,如两个玻色子或两个费米子或10 个费米子,有一定的能量,
在超对称变换后,我们得到一个费米系统,这个费米系统无论怎样与前面的玻色系统不同,它
有着相同的能量。再如,如果我知道两个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量,通过超对称
变换,我就知道变换后的一个费米子和一个玻色子在一个束缚态中的相互作用能量。原因很简
单,就是这个超对称保持动力学不变,它与哈密顿量对易。
(第三节)
通过上面的解释,我们看到超对称既有类似于一般对称性的地方,也有很不相同的地方。
这种不相同的地方往往引起初学者的迷惑,由此可知对于发明超对称的人来说,非凡的想象力
和大胆是不可或缺的。
那么,既然超对称原则上可以存在,什么样的超对称可以在相对论量子场论中实现?对于
一般对称性来说,我们要求有一个群结构或李代数结构。一个转动后再做一个转动,我们还是
得到一个对称转动,这是群的结构。这个要求在无穷小的变换下翻译成李代数的要求。现在,
我们将这个要求加于一个对称元和一个超对称元,我们得到的结论是,这个对称元和一个超对
称元的对易子必是另一个超对称元。如果我们想用超对称元来构造群,我们就得用一种新的数,
相互是反对易的,叫格拉斯曼数(Grassman),原因还是因为超对称不是通过物理过程实现的对
称,所以其对应的转动参数不是实数或复数,否则我们可以问这个参数的物理含义,就象通常
转动的转动角一样。
以上所写,已经不很通俗了,我还没有更简单的办法,如有,就得象费曼写<> 一样,上
面的一段话将被拉长几倍或几十倍。所以为了节省大家的时间,特别是作者自己的时间,我们
还是假定读者已有一定物理背景,或是天才儿童。这样我写完一段话后还有一些时间看真正的
研究论文,挖空心思想一点怪招好凑一篇论文,用以对付上司每年索要的年终总结。否则,我
真的要改行写科普,好混一点稿费,研究员就可以不当了。
回到原来的话题,什么样的超对称是允许的。我们已说到一个超对称元和一个对称元的对
易子必是一个新的超对称元,把所有这样的对易子放到一起,我们发现超对称元的集合形成对
称李代数的一个表示。在相对论量子场论中,最重要的对称就是彭加勒对称,所以超对称元形
成彭加勒代数的一个表示。在四维中,最简单的费米子表示就是旋量了。超对称中有几个这样
的旋量,我们就说这是N 等于几的超对称。高尔芳和利特曼1971 年发表的场论就是N 等于1 的
超对称场论。
在西方,最早的超对称是在弦的世界面上发现的,这就是1971 年的吉尔维-崎田文二两维
超对称场论。弦论中的时空超对称的发现是很后来的事,我们等一会儿再谈。朱米诺似乎是注
意弦论中时空超对称的第一人,这也许启发他后来与外斯一道发现四维的超对称和超对称场
论。在1974 年的外斯-朱米诺的工作中,他们构造了四维时空中最简单的超对称场论,这个场
论只含一个基本的旋量场(只有两个自旋为1/2 的粒子,形成一个旋量表示),两个标量场。之
所以有两个标量场也是因为有超对称,根据我们上一节说的道理,有多少费米态就应当有多少
玻色态。这个最简单的超对称场论一般称为外斯-朱米诺模型,是两个外斯-朱米诺模型之一。
另外一个外斯-朱米诺完全与超对称无关。
朱米诺应是所有年纪稍大而在事业上无大成的人的榜样,他是一个大器晚成的人。我经常
以朱米诺的例子来期许自己和他人,也许我最终也难成大器,但这仍不失是取法乎上得乎其中
的办法。在1973 年底他和外斯完成4 维超对称的理论,他已超过50 岁,外斯也接近40 了。
他与外斯的另一重要工作,即另一外斯-朱米诺模型也不过是1971 年的作品。毫无疑问,超对
称是他一生最重要的工作。我还不知道在粒子物理这一竞争激烈的领域(注1) 还有第二个人能
在50 开外作出他一生最重要的工作。
朱米诺和外斯在同一年将他们的超对称场论的推广到含有自旋为1 即光子的情形,这也就
是3 年前高尔芳和利特曼构造的理论。朱米诺和外斯还研究了这个理论的量子性质,发现超对
称有助于使紫外发散减弱,当然他们在第一篇文章中已讨论过量子行为。
接触过量子场论的人都知道,任何场论中都有发散的零点能。对于一个自由场论来说,场
的每个富里叶模是一个谐振子,根据量子力学的测不准原理,谐振子不可能处于能量为零的状
态,它的最低能不为零,这就是零点能。当谐振子处于第一个激发态时,对应于一个基本的量
子,或粒子,其动量和能量与这个模相同,而零点能只有一个粒子的一半,所以不能将它解释
成一个可观察到的物理态。我们因此将之归于真空的能量,将所有模加起来,这个能量是无限
大,这个无限大显然来自紫外的模,我们在本章第一节中一提到过,这对应于空间在小尺度上
没有截断。奇怪的是,来自一个玻色子的零点能是正的,而来自一个费米子的零点能是负的。
如果对应一个玻色子,存在一个有相同质量的费米子,那么两者的零点能就完全抵消。超对称
理论恰恰有这种性质,所以超对称理论中,我们无须人为地扔掉自由场的零点能。
对于每一个场,如果我们引进动量上的截断,零点能的密度则是这个截断的4 次方,这是
4 维场论中的最大的发散。考虑一个可重正的场论,如果理论中没有标量场,除去零点能外,
最严重的发散是对数发散,如量子色动力学。标准模型含有标量场,就是黑格斯(Higgs),标
量场涉及的最严重的发散是二次发散。这种发散带来所谓的等级问题(hierachy)。等级问题最
简单的描述是这样的,标准模型中的最大能标是弱电自发破缺能标,大致可以看成是黑格斯场
的一个耦合参数,数量级大约是100 京电子伏(100 Gev)。考虑在标准模型之上还存在一个新
能标,如普朗克能标。假定在弱电能标和这个新能标之间没有另外能标,通过重正化流,这个
新能标会在标准模型的各个参数中体现出来,如弱电能标。由于标量场的二次发散性,弱电能
标含有一个与新能标的平方成正比的项,另一项是弱电能标这个耦合参数在新能标上的“裸”
参数。我们要求弱电能标是100 Gev,我们就必须要求其“裸”参数与新能标的平方几乎抵消,
这就是所谓的微调问题(fine tuning)。有了超对称,与新能标的平方成正比的项不再存在,
所以80 年代初很多人研究超对称大统一理论。这是超弦集团之外的唯象粒子物理学家相信超
对称存在的主要原因之一。
超对称的生成元越多,无限大的抵消就越成功,但人们为此付出的代价是模型越来越不现
实。当理论有8 个超对称元,也就是N 等于2 的超对称,极小理论中的费米子增加到4 个,不
再是具有唯一手征的理论,但是标准模型中的弱相互作用破坏宇称,必须是带手征的。我们可
以暂时不管这个实际问题,一直增加超对称的数目,我们就会发现当超对称元的个数超过16
时,我们不得不引进自旋为2 的粒子以构造超对称多重态,这样就引进了引力。
所以不包括引力的最大超对称有16 个元,也就是N 等于4 的超对称。实现这个超对称的
场论一定包含规范场,这类场论几乎是唯一的,只有两个参数可以改变,一个是规范群,或即
群的种类和阶数,另一个是耦合常数。这类极大超对称场论在80 年代初被三组不同的人证明
是完全有限的。而实现N 等于2 的超对称场论在微扰论中只有单圈发散。
N 等于4 的超对称规范理论的有限性在当时看来是唯一的,记得有一位德高望重的人说
(忘记是谁了),他当时相信这个理论一定有很大的用处,上帝造出这么完美的理论而不加利用
是不可能的。他等了几年,人们并没有发现这些理论与粒子物理有什么关系,他从此再也不相
信超对称理论有什么用处了。N 等于4 的超对称规范理论的确有许多与众不同的地方,后来它
们在超弦发展中起了很大作用,如强弱对偶,反德西特(de Sitter) 空间上的量子引力与超对
称场论的对偶。
也是在1974 年,萨拉姆(Abdus Salam) 和斯特拉思蒂(J. Strathdee) 在看到外斯、朱米
诺的工作后很快发现了超空间表示。发现这一点似乎不需要太多的想象力,如果通常的对称性
与可观察到的时空有关,如空间的平移和空间中的转动,那么超对称就应和超空间有关。的确,
萨拉姆和斯特拉思蒂证明超对称变换可以被看成是超空间中的平移,这些超空间座标是格拉斯
曼数,从而是不可观察到的,这正类似于超对称变换不是实验室中可实现的变换,但是,如果
人们将来发现超对称粒子,就等于间接地发现了超空间。我为了写这段话查了一下萨拉姆和斯
特拉思蒂当年的文章,发现虽然预印本是74 年11 月的,发表该文的核物理一期也是74 年的。
可见发表的速度实在与是否处在电子信息时代无关。虽然我说发现超空间不需太多的想象力,
并不意味着对于一个新手来说超空间是很容易接受的。记得当年年轻气盛,考研后问我的老师
什么是最时髦最有前途的研究方向,老师随手从书架上拿了一本法叶(P. Fayet) 和费拉拉(S.
Ferrara) 1976 年写的超对称评述。我拿回去之后发狂猛啃,很坐了一段飞机。现在回想,如
在昨日,当年对超对称的生吞活剥也许在日后起了一点作用。
注1:之所以讲粒子物理是一激烈的领域并非因这一领域对人的智力或体力或任何其它能
力的要求与任何其它领域有何不同,凝聚态物理中就有许多很难的问题需要特殊的智力才能解
决。粒子物理与众不同的地方在于问题比较集中,人力的投入也比较集中。其它领域如凝聚态
物理中问题比较分散,学派比较多,一个派别如同一个庄园,有大庄主二庄主三庄主,有打长
工的也有打短工的。当然每位庄主也少不了有一帮弟子。所以这么一个派别可以自给自足,在
江湖上扬名立万。写这么长的注记以博大家一笑。
(第四节)
谈过超对称量子场论之后,我们回到弦论中的超对称这个话题。毕竟超对称在西方的发现
源于弦论,所以应当追溯一下历史以了解超对称超引力在西方发展的脉络,这样做以达到孔夫
子所说的温故而知新。
在第二节中我们谈到雷芒在弦论中引入费米子,所有弦的模式在时空中的体现都是费米
子,因为他在弦的世界面上引入了类似狄拉克矩阵的东西。世界面上也因此有了超对称,但时
空中没有超对称,因为只有费米子。从某种意义上来说,狄拉克1928 年引入狄拉克矩阵就等
于在粒子的世界线上引进了超对称。狄拉克算子的平方是达朗贝尔算子, 就如同超对称算子的
平方等于哈密顿量。1974 年,法国人纳吾(A. Neveu) 和我们在第一章就提到的史瓦兹希望能
在雷芒的模型中加入时空中的玻色子。为了避免狄拉克矩阵的出现,他们要求雷芒的世界面上
的费米场没有零模,这样所有的模的阶就必须是半整数,换句话说,世界面上的费米场满足反
周期条件。这样构造出的弦的激发态都是时空中的玻色子。这个新的分支叫纳吾-史瓦兹分支,
独立于雷芒分支。注意,对于纳吾-史瓦兹分支来说,世界面上仍有超对称,因为世界面上的
超对称是局域的。当然,1974 年还没有人知道什么是局域超对称,在超引力发现之后,1976 年
布林克(L. Brink)、蒂韦基亚(P. Di Vecchia)、豪(P. Howe) 等人才发现原来的两维世界面
上的超对称其实是局域的。后来我们更详细地谈超弦的时候,我们还要回过头来谈两维局域超
对称的重要性。
将费米弦的两个分支,雷芒分支和纳吾-史瓦兹分支,加起来,似乎就有了时空超对称,
事情并没有这么简单。超对称的一个基本要求还没有被满足,就是给定一个质量,必须有相同
多的玻色子和费米子。要等到1976 年,也就是外斯-朱米诺工作的两年之后,一个意法英联军,
格里奥日(F. Gliozzi)、舍尔克和奥立弗(就是那位奥立弗-曼通宁对偶中的奥立弗)发现可以
将两个分支中的一些态扔掉而不破坏理论的自恰性,这样得到的理论有同样多的玻色子和费米
子。他们还不能立刻证明时空超对称,但他们作了这样的猜想。要再等5 年,这个经过所谓的
格舍奥投射(GSO projection)的雷芒-纳吾-史瓦兹理论才由格林(Michael Green) 和史瓦兹证
明具有完全的时空超对称,他们也同时证明,这些超弦理论包含相应的时空超引力。
超对称被发现之后,对一部份人来说,超引力的存在就是显而易见的事了。杨-米尔斯构
造规范理论不久,内山菱友( Ryoyu Utiyama) 用规范对称重新解释了爱因斯坦的引力理论。
对于内山来说,引力场无非是对应于时空平移的规范场,也就是说,如果我们要求时空平移不
仅仅是整体对称性,同时也是局域对称性,我们就要引进引力场来使平移“规范化”。超对称
是时空对称性的推广,特别是,两个超对称元的反对易子给出一个时空平移。这样,如果我们
将时空平移局域化,我们就不得不将超对称也局域化,反之亦然。如此得到的理论就是超引力。
在这个理论中, 对应于时空平移的引力场仍在,对应于超对称的规范场是自旋为3/2 的场,
通常叫做引力微子,这是一个费米场。有一个简单的方法来判断规范场的自旋,如果局域对称
性是一种内部对称性,也就是说对称元不带时空指标,那么相应的规范场比对称元多一个时空
的矢量指标, 相应的粒子自旋为1;如果对称元带一个空间矢量指标,则规范场带两个空间矢
量的指标,这就是引力场;进一步,如果对称元带一个旋量指标,如超对称,那么规范场就多
带一个空间的矢量指标,这个场就是引力微子场了。
首先在4 维时空中构造超引力的三位中有两位当时在纽约州立大学石溪分校。1976 年以
前,三位仁兄各做各的事情。范-纽文豪生(P. van N ieuwenhuizen) 基本做引力的微扰量子
化,明显是受了他的老师蒂尼-维尔特曼(Martinus Veltman) 的影响,佛里德曼(Daniel Z.
Freedman) 大约是个唯象学家,费拉拉(Sergio Ferrara) 则是唯一做超对称的。当然他们都
有研究唯象学的底子。据范-纽文豪生说,他们的第一个超引力模型,4 维的N 等于1 超引力,
一半是靠手算,一半是靠计算机折腾出来的。记得我当年于生吞活剥法叶-费拉拉之后,接着
去找来范- 纽文豪生的超引力综述。这回更是云山雾绕,什么1 次方式(first order
formalism),2 次方式,最后又搞出1.5 次方式。1 次方式大约是说,你将度规场和联络场都
看成是独立的场,2 次方式则将联络看成是度规的涵数,天知道1.5 次方式是什么,有兴趣参
看范-纽文豪生的综述。
一个最简单的、经典的超引力已将人折腾得七荤八素,更不用说复杂的超引力了。N 等于
2 以上都叫推广的超引力(extended SUGRA),当然这种翻译有点勉强。我当时觉得还是泛超引
力来得简洁些,省了两个汉字,现在看来,乾脆就叫超引力算了。4 维中有很多不同的泛超引
力,一直到N 等于8。当N 超过8 时,就必须引进自旋大于2 的场了,这从场论的角度来看,
似乎是危险的,因为人们不知道如何构超自恰的场论。N 越大,对称性越高,场的数目就越多。
广义相对论中只有10 个场,就是度规的份量,在N 等于8 的超引力中,仅仅标量场就有70 个。
场多了的好处是,有可能将标准模型中所有的场都纳入一个超对称多重态中,坏处是作用量越
来越复杂,不是专家不可能写对作用量。从统一的角度看,N 等于8 的超引力还是不够大,因
为规范群是O(8),还不能将标准模型的规范群放进去。
超引力除了可以在N 的方向推广,也就是引进越来越多的超对称,同时也可以在D的方向
推广,就是引进越来越高的维数。D 最大的可能是11,再大就要引进高自旋场。这两个方向实
际上是相关的,低维的泛超引力可以由高维的简单一点的超引力通过维数约化得到
(dimensional reduction),如4 维的一些N 等于2 的超引力可以由6 维的N 等于1 超引力得
到。而4 维的N 等于8 的一些超引力可以由11 维超引力通过维数约化或紧化
(compactification) 得到。所以一时之间,很多人认为11 维超引力就是终极理论了。霍金说,
基于谨慎乐观的态度,有理由相信,一个完备的理论已经逐渐成型,理论物理快到头了。
超引力与超对称场论一样,紫外发散比没有超对称来得轻得多。超对称的数目越多,紫外
行为越好。在任何一个4 维超引力中,单圈和双圈图都是有限的,这个性质在超引力出现一年
之后就被发现。虽然紫外发散要在三圈才出现,在超引力时代还没有人敢计算三圈图(想一想,
经典作用量已经那么复杂!),直到最近才有人计算三圈图,而用到的计巧居然是弦论中的技
巧。最新的结果表明,极大超引力的两圈图直到6 维都是有限的。也就是说,11维超引力仅仅
在单圈才是有限的,所以从重正化的角度看,11 维超引力比爱因斯坦的理论好不了多少。最
新的结果又表明,4 维的极大超引力可能在四圈上也是有限的,这比老结果要好。
无论超引力的紫外行为多么好,或迟或早人们要遇到发散。这使得人们渐渐对超引力失去
信心,当然终结超引力的8 年疯狂时代的是第一次超弦革命。
我念研究生时恰逢超引力时代的尾巴,已经强烈感受到热力,把研究生仅有的一点经费都
用来复印超引力的文章,后来装订成厚厚的几大本,成天把脑袋埋在超引力的张量计算中。我
甚至在科大的研究生杂志上写过一篇介绍超引力的文章,开头用了“上帝说要有光,于是就有
了光,” 可见信心十足,不过当时校对的人太懒,文章错字连篇。
超引力造就了一代不畏臃长计算的人。超引力的三位创始人都是天然计算机。以范-纽文
豪生为例,当时他是领导潮流的人。美国超弦的公众人物之一贺来道夫(Michio Kaku)在他的
科普作品《超空间》(Hyperspace) 中有一段描写,不妨转述如下(不是字字照抄,这一节还请
打假诸兄注意)。范-纽文豪生生得高大威猛,最适合做防晒油的广告明星。研究超引力需要非
凡的耐心,而范-纽文豪生是最非凡的一个。温伯格(Steven Weinberg) 说,“看看超引力的
情形,在过去的10 年中研究超引力的人个个杰出,有些人比我年轻时认识的任何人更为杰出。”
范-纽文豪生用一个硕大无朋的夹纸板,每次演算, 从左上角开始用蝇头小草一直写到右下角,
写满后翻过一页接着写。他可以一直这样演算下去,中间唯一的间隙用来将铅笔放进电动削笔
刀中削尖,接着继续演算,直到数小时后大功告成。有一段时间,石溪分校物理系的研究生竞
相仿效,每人夹着一个大夹纸板在校园中走来走去,不可一世。
超引力风流一时,而超引力中的领袖人物也领导潮流于一时。超引力在我们的演义中还会
出现,还在起很大的作用,尽管如此,过去的风流人物大多不再活跃,不免使人生出许多感慨:
江山代有才人出,各领风骚三五年。
第四章 第一个十五年
(第一节)
从1968 年威尼采亚诺发表以他的名字命名的散射振幅公式到1984 年的超弦第一次革命,
弦论的初级阶段大概延续了15 年。转眼之间,弦论的第二个15 年也已过去。我们仅用一章来
谈第一个15 年,第二个15 年将是本演义的主要话题,要看作者的能力、精力和时间,写到那
儿就是那儿。
我们早在第一章就已提过,弦论起源于60 年代的强相互作用的研究。60 年代粒子物理主
流是强相互作用,原因很简单,因为加速器的能量正好处在探测强相互作用的能区,即几个京
电子伏(Gev)和几十京电子伏之间。建在加州大学柏克利分校的同步加速器所达到的能量是6.2
京电子伏,在50 年代末和60 年代初提供了大量的关于强相互作用的数据,不断地产生新的强
子。所以柏克利的丘(Geoffrey F. Chew) 近水楼台先得月,成了60 年代粒子物理领导潮流的
人。由于新强子的不断产生,人们很快认识到场论无法用来描述强相互作用。由于高自旋强子
共振态的存在,场论无法避免一些令人不快的性质,如不可重正性。朗道等人也早就证明即使
是最成功的量子场论,量子电动力学,在根本上是不自恰的理论。量子电动力学是可重正的,
但是它的耦合常数随着能量的提高而变大,且在一定的能量上达到无限大。这个能量叫朗道极
点。朗道极点的来源是有限的电子质量和在这个能量上有限的耦合常数。如果我们希望将朗道
极点推到无限大,那么低能的耦合常数只能是零,这就是有名的莫斯科之零。
由于以上所说的原因,整个60 年代量子场论被看成是过时的玩意。丘等人强调场本来就
是不可观察量,只有散射振幅是可观察的,所以散射矩阵理论成了60 年代的时尚。坚持研究
量子场论的人廖若晨星,我记得丘当年的一个学生谭崇义经常告诉我,就连盖尔曼(M.
Gell-mann) 都不得不跟随潮流,可见丘及其跟随者的影响力。谭崇义在提到这些往事时是得
意的,因为丘不仅影响大,而且看问题有一定的哲学深度。维尔特曼后来的话很好地体现了研
究场论的人少到的程度:他自己是恐龙时代少数的量子场论哺乳动物。公理化场论的创始人惠
特曼(A. Wightman) 在他的普林斯顿办公室的们上贴了张纸条,上书:本办公室应丘的指令已
经关闭。
散射矩阵理论被看作唯一可以描述粒子物理的理论。散射矩阵理论拒绝讨论任何局域可观
察量,虽然不排除适当的局域性。散射矩阵理论首先要求绝对稳定的粒子态存在,这些粒子态
和相应的多粒子态形成渐进态集合。散射矩阵无非是从渐进态集合到渐进态集合的一个线性映
射。散射矩阵满足数条公理:对称性,么正性和解析性。对称性无非是说散射矩阵元在一些对
称变换之下不变,最一般的对称性就是彭加勒对称性,一些内部对称性也是允许的。么正性就
是量子力学中的机率守恒。最后,解析性是散射矩阵理论中最有意思,也是最不容易理解的性
质。所谓解析性是指一个散射矩阵元作为一些动力学量如质心能量、交换能量,角动量的函数
是解析函数。对于一些简单的散射过程,人们可以证明解析性是相对论性因果律的推论,最早
的色散关系就是这样导出的。事实上,离开局域量子场论,人们只能假定一般的解析性是宏观
因果律的推论。
最常见的,也是分析得最透彻的是两个粒子到两个粒子的散射振幅。两个粒子当然可以通
过散射变成许多不同的粒子,把所有这些过程都包括的结果叫全散射过程(inclusive
process),而仅考虑两个粒子散射成两个固定的粒子的过程叫排他过程(exclusive process)。
解析性通常只是针对排他过程而言。这样一个过程,除了各个粒子本身的标记,可变动力学量
只有两个,就是两个粒子在质心系的总能量和粒子散射过程中的能量转移。第二个量在质心系
中又和粒子的散射角有关, 这两个动力学量是更一般的叫做曼德斯塔姆变量(Mandelstam) 的
一种特殊情形。将粒子散射振幅看做曼德斯塔姆变量的函数,并将这个函数延拓到每个变量的
复平面上,除了一些特殊的点之外,散射振幅是每个曼德斯塔姆变量的解析函数。这个重要特
徵在很多情况下可以用来几乎完全决定整个散射振幅。
60 年代的实验表明,很多两个粒子到两个粒子的散射振幅满足一种对偶性,这种对偶性
叫s-t 道对偶,也就是说散射振幅作为两个曼德斯塔姆变量s 和t 的函数是一个对称函数。物
理上,这等于说散射振幅的s 道贡献等于t 道的贡献。我们现在解释一下何为s 道贡献何为t
道贡献。在粒子散射过程中,如果两个散射粒子先结合成第三个粒子,这第三个粒子再分裂成
两个粒子,这个过程就叫s 道过程。我们举两个s 道过程的例子。第一个例子是,光子与电子
的散射,也就是康普顿散射。在这个散射过程中,电子先吸收光子变成一个可能不在质壳上的
电子,然后发射出一个光子再回到质壳上上去。另一个例子是,一个电子与一个正电子湮灭成
一个光子,然后这个光子再分裂成一个电子和一个正电子。我们叫这种过程为s 道过程的原因
是中间过程中的第三个粒子的能量就是质心系中的总能量,也就是s。t 道的物理过程的定义
是,在两个粒子的散射过程中,这两个粒子并无直接接触,而是通过交换一个粒子进行相互作
用。这个被交换的粒子的能量就等于交换能量,也就是t,所以这种过程叫t 道过程。通过以
上的描述,我们看到s 道贡献和t 道贡献的贡献完全不同,直觉告诉我们这两个道对一个散射
振幅的贡献不可能相等。如果我们用量子场论来计算,s 道贡献和t 道贡献的确不等,所以如
果s-t 道对偶在强相互作用中是严格的,那么强相互作用就不可能用量子场论来描述。当然我
们可以推广量子场论使其包括无限多个场,这样每个道都有无限多个过程,虽然s 道中的每一
个过程不与t 道中的某一个过程相等,这两个无限之和却有可能相等。
1968 年,威尼采亚诺猜到了一个简单的但具有s-t 道对偶性的散射振幅公式。这个公式
的确可以拆成无限多个项,每一项对应一个s 道过程,中间第三个粒子的自旋可以任意大,而
质量也可以任意大。这个公式同样也可以拆成无限多个t 道的贡献,每个被交换的粒子有自旋
和质量。对于一个固定的自旋,粒子质量有一个谱,这个谱的下限与自旋有关。数学上,最小
质量的平方正比于自旋,这个公式叫雷吉轨迹(Regge t rajectory),是雷吉在分析散射振幅作
为角动量的解析函数时发现的。这个发现早于威尼采亚诺的发现。雷吉轨迹又和雷吉行为有关,
雷吉行为是,当质心系中的总能量很大时,散射振幅作为质心系能量的函数是幂律的,这个幂
与交换能量成正比。这种行为在t 道中有简单的解释:每个t 道的贡献与总能量的幂次成正比,
幂次就是被交换粒子的自旋;而最大自旋又与该粒子的质量平方成正比,对整个振幅贡献最大
的粒子的质量平方接近于交换能量的平方。
威尼采亚诺公式在当时来说仅适用于一种两个粒子到两个粒子的散射。这个公式在当年和
第二年被许多人作了在不同方向上的推广,如巴顿和陈(J. E. Paton and H. Chen) 将它推广
到散射粒子带有同位旋量子数的情形,他们引进的同位旋因子在以后构造含有规范对称的开弦
中起到不可或缺的作用。现为的里雅斯特国际理论物理中心主任的维拉所罗(M. Vorasoro) 将
威尼采亚诺公式推广到针对三个曼德斯塔姆变量完全对称的散射振幅,这个维拉所罗公式后来
被证明是闭弦的散射振幅。不下于4 组人独立地将威尼采亚诺公式推广到包括任意多个粒子参
与散射的情形。富比尼(Fubini) 和威尼采亚诺本人证明这些散射振幅可以分解为无限多个两
个散射振幅的乘积,这两个散射振幅通过一个中间粒子联接起来,而这个中间粒子可以表达为
谐振子的激发,这离发现弦的表述只有一步之遥。
(第二节)
弦的一般散射振幅被发现满足因式分解的性质后,很清楚这些散射振幅实际上是一种树图
散射振幅,因为联接两个因子的粒子通常被看做自由粒子。基于这样一种看法,很自然地人们
应寻找作为中间态的无穷多个粒子的解释。
自从威尼采亚诺散射振幅发表之后,匆匆又过两年,所有推广的威尼采亚诺散射振幅同时
被三个人证明是弦散射振幅,这三个人分别是,南部(Y. Nambu),萨氏金(Leonard Susskind)
和尼尔森(H. B. Nielsen)。不同寻常的是,这三个人都是有数的非常有原创性的人,我有幸
在不同的时期和其中两个人有较长时间的接触,而仅在最近才和第三个人有过直接的交谈,我
在解释弦的表示后再谈对这三个人的看法。
如同任何一个散射矩阵理论,当初态中的所有粒子的总能量和动量满足一个在壳关系,即
总能量和动量可以看作一个理论中存在的一个粒子的能量和动量,这个散射矩阵元必须满足分
解关系,分解成两个散射矩阵元的乘积,其中间态就是那个粒子。威尼采亚诺公式正满足这个
分解关系,不但如此,它满足一组无数个分解关系,有无数个可能的中间粒子态。这些态的质
量和自旋可以任意大。
最为不同寻常的是,有一个质量为零自旋为2 的中间粒子,这和引力子相同。这个重要特
徵在早期基本上为大家忽略。根据散射矩阵所满足的么正性,所有出现于中间态的粒子也应为
可能的初态,也就是说,包含威尼采亚诺散射振幅的理论含有无穷多个粒子。这些粒子可以用
一组谐振子简单的表达出来,上面提到的三位的工作说明,这组谐振子实际上就是在时空中运
动的弦的量子化。
当一根弦在时空中运动起来,如不发生相互作用,它划出的世界面是一个柱面。当然,不
同于我们通常所看到的,这个柱面很不光滑,因为弦在运动的过程中,除了振动之外,还有量
子涨落。当弦有相互作用时,弦在运动的过程中可能从中间断开,变成两根弦;也有可能与另
一根弦结合成一根弦。从弦自身的角度来看,这种相互作用是局域的,就是说,相互作用总是
发生在弦上的某一点,而不是在许多点同时发生作用。从时空的角度讲,这种相互作用有一定
的非局域性:比如说,两根闭弦(closed strings) 形成一根闭弦,在时空中,我们看到的是
一个类似裤衩的图,其中两个裤腿是两根初态弦划出的世界面。裤衩交叉处应为相互作用点,
如果我们拿刀来切,如果切出一个八字形,交叉处即为相互作用点。可以想象一下,不同的切
法会得到不同的八字形,从而得到不同的相互作用点。这些不同的切法有物理对应,即不同惯
性参照系中等时截面。既然相互作用点都不能完全确定,弦的相互作用的确有一定的非局域性。
以上描述的非局域性是弦论中相互作用最不同于点粒子相互作用的地方。这种非局域性是
导致弦微绕计算没有通常的紫外发散的原因之一。在弦论的微扰论中,一个圈图在拓扑上是一
个黎曼面,没有任何奇点。而点粒子相互作用的圈图,通常的费曼图,每一个相互作用点就是
一个奇点。用数学的术语说,弦的圈图是流形,而粒子的圈图不是流形,是一个复形(complex) 。
威尼采亚诺振幅是弦论中最简单的包含动力学信息的振幅,它对应一个树图,这是微扰论
中的最低一级。所以中间态看起来都是稳定粒子态,这里所谓的粒子无非是弦的一个激发态。
如果将圈图包括进来,绝大部份粒子态变成不稳定态。在散射矩阵理论中,不稳定粒子态对应
于一个有着复质量的极点,其虚部与该粒子的寿命成反比。
可以证明,我们可以在弦的微扰论中引进一个常数,而保证不破坏散射矩阵的么正性。这
个常数就是耦合常数,每个圈图都与这个常数的一个幂次成正比,幂正比于圈图的圈数。计算
圈图是一种很特殊的工作,要用到黎曼面的很多数学理论。在弦论早期,计算高圈图的唯一的
工具是曼德斯塔姆的光锥规范(light-cone gauge)下的技术,这也仅适用于纯玻色弦。
现在我们简单介绍一下发现弦论的三个人。南部这个人在物理界以非常有原创性著名,他
的南部-哥德斯通(Goldstone) 定理应为他的最为人熟知的工作,他也是最早提出夸克概念的
人之一。有人说过这样的话:你如果想知道十年后物理中流行什么,你只要注意南部现在的工
作。这说明南部工作的两个特点,一是他很少追逐流行的东西,二是他想得比很多人远而且深,
没有足够的时间他的想法和工作不易为他人所了解。南部是很谦虚的人,如果你第一次见到他,
很难相信他是一个对物理学作出那么大贡献的人。我在芝加哥待了三年,现在对他的印象和第
一次见到他留下的印象完全一样。
当南部在一个会议上提出他的弦论的解释时,他的年纪已远不止四十岁。而同时提出弦的
概念的萨氏金和尼尔森则不到三十,他们分别于最近两年度过六十。南部和尼尔森在早期涉足
弦论后,虽也偶尔回到弦论上来,大部份都是关于强相互作用的弦的解释。萨氏金则不同,他
除了在唯象上有一些重要工作外,他主要的精力是放在弦论和黑洞问题上。萨氏金的演讲表演
才能是人所共知的,据说是继承了费曼的衣钵。他有一次自己开玩笑说,他是一个巡回演出的
马戏团。关于他最著名的故事是一次他去康乃尔大学演讲,因脱光在一个湖中游泳被警察以有
伤风化罪拘留。
现在来看,已有很大的把握说,萨氏金到目前为止最大的贡献是M 理论的矩阵模型。这是
他和另外三个人在1996 年提出的。那时他也早已过了五十。他目前还是十分活跃,我想这种
罕见的学术长寿与他的佻达个性不无关系。
尼尔森个性的特别大概还在萨氏金之上,他似乎只有一根神经,就是物理。起码在我看来,
他与人讨论或聊天的方式奇怪之极,很不容易把握他说的是什么。我在玻尔研究所时,由于是
一个人,往往在所里待到深夜。他当然比我大很多,有一个女友,南斯拉夫人。他不管这些,
每天在所里待得比我还晚。有时喝咖啡在休息室遇到他,不免坐下聊天。虽然我只听懂他所讲
物理的百分之二十到三十,出于礼貌,我频频点头。他的讨论物理,对人有催眠作用。
尼尔森的特点是绝不研究潮流问题,由于他的很多想法和见解非常独特,知道他的人都非
常尊重他。多年来,他的一个主要想法是,在最微观的层次上,物理的定律是随机的。我们看
到的规律是重正化群向一个不动点流动的结果。这当然与弦论背道而驰。
再回到弦论本身上来。在早期,虽然散射振幅的计算技术已发展得相当成熟,而一些重要
的基本东西是相对晚些时候才被发现,如玻色弦只在26 维才有可能是自洽的。在另外的任何
维数中,洛伦兹对称总是被破坏。原因是,自旋为二的粒子及其同伴的质量不为零,但粒子数
目要小于有质量的粒子应有的数目。只有在26 维中,这些粒子是无质量的。
(第三节)
在弦论的早期,最令人困惑的问题是弦的基态和时空的维数。弦的基态质量由雷吉轨迹公
式中的一个常数,即所谓的截矩(intercept) 来决定。在雷吉轨迹公式的左边是质量的平方,
右边是对应这个质量的最大的自旋,再加上这个截矩。还有一个带质量平方量纲的常数,与弦
的张力成正比。截矩是时空维度的涵数,通常是负的,所以玻色弦的基态的质量平方是负的,
也就是快子,说明所谓的真空是不稳定的:真空的“激发态”中包括随时间成指数增长的模。
当时空维度恰为2 时,所谓的快子变成零质量的粒子。在这个两维的玻色弦中,维一可被
激发的粒子就是这个无质量的“快子”,所以这个弦理论很简单。在早期,由于有很多事情要
做,并没有人来注意这个两维的弦理论。直到1989 年,当其它的研究放慢时,人们才投入极
大的精力来研究这个玩具模型,这是后话。
再说玻色弦为什么只在26 维中是“自恰”的,这里自恰用引号原因是我们先忽略快子问
题。首先,我们看弦的第一激发态,即自旋为2 的粒子及其夥伴,我们在上一节末尾已提过,
这些激发态只有在26 维中才是无质量的,才可能成为洛伦兹群的一个表示,从而整个理论才
可能有洛伦兹对称性。无质量这一问题在玻利雅可夫(A. M. Polyakov) 的表示中并不明显,
因为通过所谓顶点算子(vertex operator) 决定出的质量在任意维中都为零。此时的问题是,
由于弦世界面上的绝对标度是一个动力学量,顶点算子本身的定义就成问题:因为顶点算子要
在世界面上做积分,故世界面上的度量要有好的定义。弦世界面上的绝对标度只有在26 维才
可以“合法”地认为可以扔掉,也就是脱耦,我们后面再仔细谈这件事。
如同任何含有高于0 的整数自旋的理论一样,弦论也有一个如何脱耦鬼场的问题。这些鬼
场的能量可以是负的,在一个量子理论中同样带来稳定性问题。一个“初等”的例子是量子电
动力学,其中矢量场的时间分量对应的量子就是鬼场,这里人们利用规范对称性来消除鬼粒子。
同样,弦论中有很多鬼场,人们可以用光锥规范(lightcone gauge),这样鬼场自然消失,但
洛伦兹不变性就不能直接看到。如改用协变规范--明显洛伦兹不变的规范,我们就要证明,所
有鬼场在物理量中,即散射振幅中不出现。这被哥德斯通等人于1973 年证明( P.Goddard, J.
Goldstone, C. Rebbi, Charles B. Thorn),证明中的关键要用到维拉所罗(M.Vorasoro) 代
数的限制。维拉所罗代数的来源很类似量子电动力学中去掉纵向自由度的限制,起源于在简化
南部作用量(非线性的) 过程中(从而得到线性作用量) 的限制。在后来,这些限制联系到弦的
世界面上的共形不变性,同样我们在将来再解释。
以上说的是微扰弦论最重要的特点,这些是与通常量子场论的不同之处,可惜这些重要结
果不能用更通俗的方法来解释清楚。这大概可以被拿来说明为什么弦论目前还处在一个初级阶
段。
经常有人将超弦的微扰论的有限性质归结于超对称,在场论中,这种说法自然是正确的,
见我们在第三章中的介绍。在弦论中这样说是错误的,超对称只是有限性的一个部份原因。真
正重要的原因是弦本身的延展性,就是我们前面早就提过的高能区自由度少于场论中的自由
度。表面上看来,这样说正好与弦的一次量子化所得结果相反,因为随着质量的增加,不同粒
子的个数与质量是一个指数关系。弦的美妙之处在于,虽然粒子个数无限制地增加,弦的相互
作用的方式使得散射振幅在高能区变得越来越小于任何场论中的结果。
这种反直觉的结果有一个非常直观的物理解释。在场论中,当我们提高能量时,我们所用
的“探针”如对撞的粒子能探测到越来越小的空间。这样在小空间的量子涨落会越来越多地影
响粒子间的相互作用,从而引起紫外发散,我们在第三章中已谈过。弦的不同之处是,当我们
提高能量,能量的一部份自然用来加速弦的质心,而更多的能量实际是耗费在加大弦的尺度,
所以能量越高我们并不能将能量集中在一个小区域。相反,能量越高我们可能在探测一个更大
的空间。这就是近来大家谈得很多的紫外--红外对应。
举一个例子,最简单的量子贡献是单圈图。这个图就象一个面包圈,有两个半径。当能量
很高时,两个圆之一的半径越来越小,这类似于粒子的费曼图,那个粒子传播的圈越来越小。
由于世界面上的共形不变性,将这个面包圈放大,则小圆变大,而大圆就更大。将变得更大的
大圆看作是弦的传播轨迹,这是红外的单圈图。所以,如果有任何紫外发散,这个紫外发散就
应对应于一个红外发散。在量子场论中,通常的红外发散说明我们取的场论“基态”不是真正
的基态,应该修正无质量场的真空取值。当然,如果理论中含有快子场,也有红外发散。很快
我们就要说到超弦,在超弦中不存在快子,唯一可能的是与无质量粒子相关的红外发散。如果
有足够多的超对称,就不会有任何红外发散,从而紫外发散也就可以避免了。谈谈后话,1988
年,格罗斯(David Gross) 和他的学生门笛(P. Mende)比较系统地研究了弦的散射振幅在高能
极限下的行为,发现随着能量的增大,振幅成指数衰减(当散射角固定时),比场论中常见的幂
次衰减要快得多。其原因与我们上面说的散射振幅有限的原因一样,散射振幅与弦世界面的面
积成指数衰减的关系,能量越大,世界面的面积越大。他们由此得出一个新的测不准关系,即
测量的距离不但有一项于能量成反比,还有一项于能量成正比。无疑,这个关系在弦的微扰论
中是正确的。
与此几乎同时,日本的米谷民明(Tamiaki Yoneya) 论证,出于类似的理由,特别是世界
面上的共形不变性,应存在一个时空测不准关系。该测不准关系说,测量的纵向距离和测量过
程的时间成反比。这是一个很有预见性的工作,在当时并没有受到足够的重视,在弦论的第二
次革命中,我和他证明了这个关系实际上在非微扰的层次上也是正确的。我们相信,这个测不
准原理应是弦论甚至是M 理论中最重要的原理之一。当然,弦论目前的发展还没有很好地体现
这一原理。
这个原理也应和目前流行的量子引力的全息原理有深刻的联系,我本人一直很关注这个问
题,希望时常能在研究中回到这个问题上来。当然在这个谈超弦的第一个十五年的章节中提这
件事不是为了顺便吹嘘一下自己,而是想让读者留下对我钟爱的话题一个较深的印象。
(第四节)
超弦的引进我们在第三章第四节已讲过,这里作一下简单的回顾。法国人雷芒,其时在费
米实验室工作,首先在弦上引入费米场,这相当于狄拉克矩阵的推广,所以时空中也就有了费
米子。纳吾-史瓦兹也引入弦上费米场,但满足反周期条件,这样就有了时空中的玻色子。1976
年,格舍奥三人引入格舍奥投射,去掉雷芒分支以及纳吾-史瓦兹分支中一些态,这样时空中
就有了超对称,特别是原来的快子也被投射出去,也就没有了真空稳定性问题。
同样基于洛伦兹不变性的要求,超弦所在的时空必须是十维的。十维对于粒子物理学家来
说是太大了,对于数学来说不算什么,但也有点特别。对于研究卡鲁查(Kaluza) 克来茵(Klein)
理论的人来说不算特别大,正好比最高维的超引力低一维,从由紧化而得唯象模型来说也许正
好,这是后话,是第二次超弦革命的重要话题之一。
对于开弦来说,格舍奥投射只有一种可能,因为法则是唯一的,开弦中雷芒分支和纳吾-
史瓦兹分支每样只有一个。在威尼采亚诺公式提出后不久,张(译音) (Hong-Mo Chan )和巴顿
(J.E. Paton)于1969 年指出如何对每个弦态引入内秉自由度,他们称作同位旋。用现在的眼
光来看,无非在开弦的两个端点引进电荷。这是一个关键的概念,这样规范场才有可能在弦论
中出现。我们知道,非阿贝耳规范场所带的“电荷”是一个连续群的伴随(adjoint)表示,也
就是说,每一个内秉对称性都有一个规范场与之对应。现在,如果开弦的每个端点带一个电荷,
那么整个弦的电荷是端点电荷的“直积”。有意思的是,理论上的自洽要求这个直积就是一个
群的伴随表示。
理论上的自洽要求对称群是三个系列的一种,这个要求就是散射振幅的因子化,因子化的
概念我们也在前面提到过。三个系列的群分别是酉群,辛群和正交群。前两者对应的开弦是可
定向开弦,即在时空中运动的一个位形对应于两个不同的弦,在弦上有一个箭头。这从端点的
电荷,张-巴顿电荷来看很容易理解。对于酉群和辛群来说,有两个最基本的表示,电荷“相
反”,开弦的一端带“正电荷”,另一端带“负电荷”,所以弦有一个明显的指向,即从“负
电荷”到“正电荷”。正交群则不同,只有一个基本的表示,类似空间中的矢量。在这种情况
下弦的两端点带类似的电荷,弦也就是不可定向的。
开弦的另一个重要特点是,一个自洽的理论不可避免地要含有闭弦,如果有相互作用的话。
这是因为开弦的相互作用发生在端点,例如,两个开弦通过端点的连接成为一个开弦。如果这
样,一个开弦本身的两个端点也可以连接起来成为一个闭弦,这是比较直观的解释。数学上,
当我们计算开弦的单圈散射振幅时,我们遇到弦的世界面为环面的情形,如果数个弦态进入环
面的一个边界,而另外几个弦态由环面的另一个边界出来,其中间态是一个闭弦。散射矩阵的
么正性要求,任何一个中间态也应成为初始态或末态。由于闭弦态含有引力子,这样一个开弦
理论也应包括引力子。而在开弦中,由于规范不变性,有规范粒子,这样在这个理论中自旋为
1 的粒子和自旋为2 的粒子就统一了起来。
纯粹闭弦的理论理论中的弦必须是可定向的。这是因为,在闭弦理论中总存在伴随于引力
子一种反对称张量粒子,这些粒子可以认为是对应于弦的规范场,在某种意义上整个弦带有这
个规范场的荷,而只有可定向的闭弦能与反对称张量场耦合。闭弦还有一个特点,就是当弦振
动时,在弦上向两个方向运动的模完全独立,我们称之为左手模和右手模。对于超对称闭弦来
说,就有了两个独立的雷芒分支和两个独立的纳吾-史瓦兹分支,而任一个闭弦态是左手一个
分支中的态和右手一个分支中的态的直积。这样就有了4 个闭弦分支:雷芒-雷芒分支,纳吾-
史瓦兹-纳吾-史瓦兹分支,雷芒-纳吾-史瓦兹分支,纳吾-史瓦兹-雷芒分支。前两个分支中的
态都是玻色子,后两个分支中的态都是费米子。
我们在作格舍奥投射时,左手模和右手模可以独立地做。这样就有了两种可能,一种方法
得到的理论叫IIA 型理论,另一个叫IIB 型理论,前者从时空的角度看没有手征性,也就是说
存在一个弦态就存在其镜象反演态,而后者有手征性。
超弦的低能理论是超引力理论,所谓低能,是指能量低于弦的张力所确定的能标。这样的
理论只包括无质量的弦态。有趣的是,几乎所有超引力的发现都在对应的弦论发现之前,型IIB
例外,IIB 超引力理论是史瓦兹通过弦论的导引发现的,它的构超不同一般,这里你只能写下
超引力的运动方程,传统的东西如作用量和哈密顿量至今还没有人能够写出。
1974 年,日本北海道大学的米谷民明(北海道是他的家乡),加州理工学院的史瓦兹以及
在那里访问的法国人舍尔克独立发现弦论的低能极限是规范理论和爱因斯坦的引力理论。今天
看来这也许一点也不奇怪,因为有这样的定理:包含自旋为1 粒子的相互作用理论一定是规范
理论,而包含自旋为2 粒子相互作用理论一定是广义相对论。在当时并没有这个定理,即便有
这个定理,人们也希望通过弦的相互作用直接看到规范理论和引力理论。米谷民明,舍尔克-
史瓦兹所做的恰恰是这些。理论计算已经很复杂,但比计算更令人佩服的是,他们同时建议重
新解释弦论,将弦论作为一种量子引力理论,也作为一种统一引力和其它相互作用的理论。在
此之前,弦论一直作为一个强相互作用的理论来研究,所以弦的能标是100个兆电子伏(100
Mev),如果“自然”地将弦的能标等同于普朗克能标,这样一下子将能标提高了20 个量级。
这是相当大胆的一步。
米谷民明当时还非常年轻,应当比他的西方竞争者都年轻。我当然认识他,从第一次在布
朗大学见到他到今天也近十年了。这十年中几乎没有变,个子当然还是比较矮小,说话轻声,
态度谦虚。虽然他是日本人这一行里思考最深刻的人,从他的谈话中根本感觉不到这一点。这
也许是几乎所有日本人的特点,起码在学界中的日本人是这样,表面上不是很自信,但如你想
改变他们的一个想法通常很难很难。
史瓦兹是在弦论第一次革命之前自始至终研究弦论唯一的人,在前期,他的主要合作者是
舍尔克;后期,他的主要合作者是格林(M. Green)。当史瓦兹还在普林斯顿做助教授时,舍尔
克和纳吾由法国到普林斯顿作类似博士后的研究,我说类似的原因是法国的学位不是美国的博
士学位,虽然类似。那时当然是舍尔克物理研究的开始。实际上,纳吾和舍尔克首先发现开弦
的低能极限包含规范理论,这种低能极限叫作零斜率极限(zero slope limit),原因是当弦的
张力取为无限大时,雷吉轨迹公式中的斜率,弦的长度标度的平方,趋于零。这个极限是舍尔
克第一个研究的。在舍尔克诸多贡献中,有上面提到的他与史瓦兹的工作,他与史瓦兹和布林
克在不同时空维中构造了超对称规范理论,当然还有格舍奥投射,和史瓦兹研究了一种超对称
破缺方法,等等。贯穿于他所有工作是他的物理想法,他是早期弦论中最强调物理直觉的人。
可惜他没有活到弦论的第一次革命从而看到他多年的信念被很多人所接受,他在1979 年底去
世,应是不堪忍受病痛。在他去世前,他在强调一种反引力,其实就是弦论中反对称张量场和
伸缩子(dilaton) 引起的反引力,这在弦论的第二次革命中起了重要作用。我们很难想象,如
果舍尔克能活到今天,他会对弦论做出多大的贡献。
史瓦兹在结束和舍尔克的合作后,和格林开始了第一次合作。他们的第一次合作的结果是
证实了格舍奥等人关于弦论中超对称的猜想。在他们后来的合作中,他们主要是围绕超弦的相
互作用、超弦的低能极限开展工作。主要的结果包括超对称的证实,超弦世界面上的直接实现
时空超对称,超弦的各种相互作用,超引力作为超弦的低能极限。当然,最为重要的工作是发
现弦论中的反常抵消,从而大大减少了可能的弦理论的数目,把弦论与粒子物理的关系推进了
一步,也因此引起弦论的第一次革命。
第五章 第一次革命
(第一节)
超弦在1984 年之前是少数几个人的游戏。在西方,几乎所有研究超弦的人或多或少和史
瓦兹有关,不是他的合作者,就是他的学生,所以可以毫不夸张地说超弦是史瓦兹和他的朋友
们的游戏。米谷民明虽然在1974 年也建议用弦论来描述量子引力,他也摆脱不了潮流的巨大
影响,除了在1975、1976 两年中还在研究一点弦论外,基本上去研究规范理论和大N 展开去
了。唯一例外的是1983 年中的威顿。他在83 年的谢耳特岛(Shelter Island)的第二次会议上
(第一次是二战之后开的)讲卡鲁查-克来茵理论中能否得到在4 维中带有手征的费米子问题,
得到否定的答案。这就基本否定了仅在卡鲁查-克来茵理论中得到粒子物理的标准模型。他后
来说,他本打算谈弦论的,尽管他到那时为止还没有研究过弦论。因为那次已有人讲了弦论,
他才打消念头。应当说威顿是从史瓦兹在82 年发表的一篇综述里学到弦论的。卡鲁查- 克来
茵理论的失败和弦论的可能的有限性使得威顿极其重视弦论,这大概是为什么继格林-史瓦兹
84 年的第一次革命的第一篇文章,他能和其他三位写出第二篇文章的原因。
我们在本章中侧重讲84--85 年间的第一次弦论革命的三篇最重要的文章,依次为:1。格
林-史瓦兹的关于型-I 弦理论中当规范群为SO(32) 时规范反常的抵消,以及后来的关于这个
弦理论有限的证明;2。普林斯顿的小提琴四重奏组合关于杂化弦构造的文章。3。威顿等四人
的卡拉比-丘(Calabi-Yau) 紧化的文章,该文指出当型- I 弦或杂化弦紧化在一个6 维的卡拉
比-丘流形上时,得到的四维理论具有N 等于1 的超对称,以及三代粒子;最后,再谈一谈其
它一些重要的进展。
先谈谈反常。这是量子场论中的一个重要话题,但也是比较难以用直观的图像来解释的话
题。这里试试能不能不用公式把基本道理讲出来。最好的出发点是一个两维的量子场论,其中
有费米场,也有规范场。先谈费米场,这些我们在介绍弦的世界面上的理论已遇到过。和一个
标量场一样,满足两维运动方程的无质量费米场有两个独立的解,也就是向右传播的波和向左
传播的波。这种传播的方向性又和费米场的手征有关。如果我们不明白何谓手征性,我们暂时
就用传播的方向性代替:向右模和向左模。假定这些模都是复的,那么这个简单的理论有两种
对称性。一种对称性是说,将两个模同时用一个相因子转动,所得的结果不变,这种对称性不
区分向右或向左,所以叫做矢量对称性(下面就谈到为何用矢量这个名字)。另一种对称性是向
右模和向左莫的转动因子恰恰相反,这个变换区别方向性,所以叫做赝矢对称性。
现在再谈两维世界中的规范场。最简单的规范场如同电磁场,有两个分量,即是一个矢量。
在两维中,只有一个场强,相当于沿着空间方向的电场,没有磁场的原因是因为只有一个空间
方向。现在如果我们要求上面谈到的矢量对称性是一个规范对称性,也就是一个局域对称性,
我们就必须引进一个规范场与之耦合,这个场是矢量,所以相应的对称性叫矢量对称性。在经
典的意义上,上面谈到的赝矢对称性还是一个好的整体对称性,因为运动方程在这个变换下不
变。
奇怪的是,当我们有一个不为零的电场场强时,赝矢对称性不再是一个好的量子对称性。
也就是说,这个对称性对应的荷在量子力学中不再是守恒的。事实上,我们可以把矢量对称性
和赝矢对称性重新归为向右模的转动对称性和向左模的转动对称性,每个对称性都有对应的
荷,即向右运动的电荷和向左运动的电荷。现在,我们说的反常是,虽然在经典上这两个荷分
别是守恒的,在量子力学中不再是分别守恒的。只有它们的和是守恒的,这是矢量对称性,而
它们的差不再是守恒的,也就是说,赝矢对称性在量子的层次上受到破坏。
这个反常很久前就为斯坦伯格(Steinberger) 和薛温格注意到,在两维中也有比较直观的
解释。考虑沿着空间方向有一个电场,电场在一维空间中当然有明显的指向。在量子场论中,
费米场往往有所谓的狄拉克负能海,在没有电场时,这个负能海的能级对于向右模和向左模来
说没有区别。当有电场时,就有区别了,因为电场有方向性。这样,向右模和向左模的填充能
海的方式就不同,从而对应的真空就不同。当然我们可以避开狄拉克负能海来解释这个问题,
因这个概念不适用于玻色子。这样,向右模和向左模的电荷不在是分别守恒的。这种反常在我
们目前讨论的理论中并没有什么问题,相反,它有很多应用,如量子霍尔效应。但如果我们分
别对向右模和向左模引进规范场,问题就来了。规范场存在本身要求对应的荷是守恒的,但这
些荷不是分别守恒的,所以,比方说,向右荷对应的规范理论本身在量子力学中就没有办法定
义。对应于总荷,我们可以定义一个规范理论,这就是上面谈的矢量规范理论,而赝矢规范理
论不存在。如果一个两维的理论本身只有向右模,这个理论就不能有规范对称性。
在高维中,虽然向右或向左已不是有定义的概念,但在偶数维中存在手征这个概念,从而
反常的问题也存在。在4 维中,最早证明反常存在的是爱德勒(Stephen L. Adler),贝尔(John
Bell) 和贾克夫(Roman Jakiew)。他们的文章都是在1969 年发表的,内容是通常的量子电动
力学,其中一个费米子带有手征性。同样,手征对称性,或即赝矢荷不再守恒,不守恒的量现
在不是与电场成正比,而是与电场和磁场的内积成正比。
后来的发展表明,反常现象在所有的偶数维都存在。不仅是我们上面介绍的阿贝尔手征反
常,而是所有可能的非阿贝尔手征反常都存在。反常通常可以用一个拓扑不变量来表示,在两
维中,就是电场,这在数学中叫第一陈类;在4 维中,是电场和磁场的内积,数学上叫第二陈
类。有一个很简单的特徵,所有这些拓扑不变量都可以表达成一个全微分,这样他们的时空积
分只与一个流在边界上的行为有关,而与规范场在时空内的行为无关。这些流其实是一种微分
几何里称做形式的东西,本身并不是规范不变的,在4 维中,特定的名字是陈-西蒙斯形式
(Chern -Simons)。
除了规范场外,引力场的存在也会引起反常。引力场的反常发现比较晚,是1983 年的事。
发现晚的原因是,引力反常并不是在所有偶数维中都可能。最简单的引力反常发生在两维,下
面就是6 维,接着是10 维,也就是说每隔4 个维度才会有,4 维中没有引力反常。系统研究
引力反常的文章是1983 年中阿瓦瑞智-高密(Luis Alvarez-Gaume) 和威顿的文章,他们也研
究了10 维中的引力反常,可见威顿本人已很重视弦论了。1983 年可以称作反常年,在阿瓦瑞
智-高密和威顿之前,已有几组不同的人研究了高维中的规范反常,包括朱米诺、吴咏时和徐
一鸿(A. Zee)。反常的非常漂亮的几何解释就是这个时候发现的,所有这些是格林-史瓦兹论
证型-I 弦论中没有规范反常和引力反常的重要出发点。
我们已经强调过,如果我们从一个不含手征场的高维理论出发,威顿已证明通过紧化不可
能得到一个低维的带有手征场的理论,从而也不可能得到粒子理论中的标准模型。这样,我们
只能从一个本来就带有手征场的高维理论出发。所有超引力中,含有最大超对称的是10时空中
的IIB 型超引力。这个理论是史瓦兹通过10 维IIB 型超弦理论的低能极限发现的,他与格林
在83 年证明这个理论没有引力反常。但是,10 维IIB 型超弦理论不含任何规范场,而要通过
紧化得到标准模型的规范场,10 维又不够。
这样就剩下型-I 超弦理论。这个理论的低能极限含有N 等于1 的10 维超引力,其中含有
带手征的费米场;不但如此,理论中还含有N 等于1 的10 维超杨-米尔斯理论,规范群是我们
上一节中提到的三个系列,同样,其中的费米场是带有手征的。现在的问题是,在这个手征理
论中,各种反常是否可以完全抵消,从而理论本身是自洽的?
这个问题的回答比以前所有的反常抵消都要微妙,因为理论中不但存在引力反常和规范反
常,也存在混合反常,即有些反常项同时与引力场和规范场有关。不但如此,理论中的开弦态
和闭弦态有混合,比如说,当对规范场做规范变换时,闭弦态之一的反对称张量场也随之而变,
完全不同于直觉所告诉我们的。感谢这个特性,格林-史瓦兹证明,所有单圈的反常项,如果
不是互相抵消,都可以通过在树图中加入与反对称张量场有关的项来抵消。而这种抵消要求规
范群是SO(32),无论是规范反常也好,还是引力反常或混合反常,都要求这个群。这的确是一
个几乎是不可思议的结果,因为太多的系数恰恰在这个群的情况下成为零。
格林-史瓦兹并且注意到,另一个群也满足这个要求,就是E(8)乘E(8)群。这个群还不能
用开弦来实现,但他们两人已预言了这个弦理论的存在,后来的杂化弦就实现了这个预言。有
趣的是, 有好几个人都建议所有反常在这个群的情况下抵消,包括法国人射瑞-米格(J.
Thierry-Mieg)。后者不至一次地向别人夸耀他曾向格林-史瓦兹建议这个群。
格林-史瓦兹关于反常抵消的讨论中一个重要特点是开弦的反常与闭弦的树图的规范变换
的抵消,这种抵消后来统称为格林-史瓦兹机制。这可能是第一次,弦论中经典项与量子项的
混合。不久,他们两人又证明了过去以为是发散的单圈图,在群为SO(32)时,也互相抵消,这
说明型-I 弦论本身是有限的。
格林-史瓦兹的发现启动了弦论的第一次革命,之所以有这种情况,不外乎两个原因:第
一,弦论第一次表明自洽的理论的个数很少,不在是无限多个;第二,弦论中有可能实现标准
模型,这是人们在研究过很多其它超对称理论后剩下的不多的可能。
(第二节)
书接上回,那里我们预告了这一节讲杂化弦。杂化弦的英文是heterotic string,不知谁
是始作俑者,估计格罗斯(D. Gross) 和哈维(J. Harvey) 都有可能,因为这两位都有玩弄文
字游戏的爱好。杂化的含义是这个新的弦理论是两种弦的杂交,一种是10 维的超弦,另一种
是26 维的玻色弦。由于后者中的16 维是紧化的,而且没有了另一半(下面谈),所以这16维不
是物理的空间,这个弦理论还是10 维的弦理论。这个杂化构造有两个选择,一种产生的规范
群是SO(32),另一种产生的规范群就是格林和史瓦兹预言的E(8)XE(8) 群。
杂化弦的4 个作者都在普林斯顿,所以他们被叫做普林斯顿弦乐四重奏。“老大”是格罗
斯,早已是个著名人物,最有名的工作是与维尔彻克共同发现量子色动力学中的渐进自由。在
60 年代末70 年代初也短暂地研究过弦论。他和史瓦兹是同学,都是邱的学生,又同时在普林
斯顿作助理教授,后来只有他成为那里的永久正教授。弦乐组合的其他三人都很年轻,哈维是
助教授,马丁尼克(E. Martinec) 是博士后,而儒么(R. Rohm) 是威顿的学生。第一次革命产
生了很多超新星,儒么是其中之一。他是一个真正的超新星,非常亮,但高亮度只持续了很短
一段时间,现在已几乎不可见了。
我听到过一个非正式的故事,说当另三人有了构造杂化弦的想法之前,威顿或者儒么已经
有了类似的想法,不管是谁先有的,威顿建议他的学生研究这个问题。后来知道另三个人也在
做类似的工作,威顿就建议他们吸收儒么。这在普林斯顿是难能的,因为有一种说法,普林斯
顿高能组的人打印出自己的文章时都是跑步到打印室去的:生怕别人看到这篇文章中的想法。
有没有夸大先不管,但普林斯顿人之间的竞争的确很大,历史上经常有两篇研究同样的问题的
文章一起出现。
威顿在后来的一系列发展中起到了关键作用。我们前面提到,他在1982 年至1983 年之间
已非常注意弦论的发展,因为他意识到其它的统一途径基本上行不通,而弦论中的弦的激发态
中自动含有引力子的事实对他来说类似于一种启示,他后来屡次提到。在格林和史瓦兹发现反
常抵消的前后,他已在普林斯顿公开和私下做了很多推动的事情。据当时在普林斯顿做学生的
克来巴洛夫(I. Klebanov) 后来说,普林斯顿上上下下,除了他之外,都在学习弦论,而动作
比较快的弦乐组合已有了杂化弦的想法。
这个想法在物理上很简单,而数学则需要用到当时大多数研究场论的人不熟悉的相对比较
新的东西。物理上,人们利用一个早已知道的事实,即弦的世界面上的两种模,向右运动和向
左运动的模是独立的。我们在谈两维中的反常已谈过它们,这里,由于所有平坦空间的维度在
世界面上是无质量的玻色场,右手模和左手模没有耦合,所以形式上它们可以被看作是独立的
场,或自由度。同样,世界面上的费米场的右手模和左手模也是独立的。取10维超弦中的右手
模,加上26 维玻色弦的左手模,我们就得到杂化弦。
26 维左手模中的10 个维度和10 维超弦的右手模中的玻色场共同形成物理的10 维时空。
换言之,这10 维时空没有紧化,这样右手模和左手合并起来含有10 空间中的引力场,所以这
10 维空间是真正的物理空间,因为只有当几何(其激发态是引力子)是可变的时候才是真正意
义上的时空。左手玻色场剩下来的16 维没有相应的右手模,从而不可能有相应的引力场,这
样这16 维一旦固定下来,就不会发生动力学变化,从而不能被看着是空间,这16 维可以类比
于量子场论中的内秉空间,它们的存在仅仅引入新的自由度而已。
稍早,一些其他人一猜测E(8)X E(8) 超弦可以由26 维的玻色弦获得,如芝加哥大学富润
(P. G. O. Freund)。富润也知道应当用到一些新的数学,就是我们马上要提到的仿代数(affine
algebra) 的顶点算子表示,但他没能有效的将右手和左手分开,所以没有得到大家后来熟知
的杂化弦。
现在,仅仅是为了粗糙地理解什么是杂化弦,我们需要引进一些不熟悉的物理和数学概念,
这些和环面有关。我们知道,一维的圆可以叫做一维环面,两维环面大家最熟悉,象一个轮胎
的表面。同理,我们可以想象高维的环面。现在假定一些物理的空间是环面,弦在这个环面上
运动。再假定这个环面是平坦的,没有曲率,但这个环面可以有不同的形状。比如一个两维环
面,可以通过黏结一个平行四边形的两对对边得到,所以这个环面可以有不同的形状。用比较
数学化的语言,平行四边形的四个定点可以看作一个两维晶格上的点,而一个平行四边形本身
可以看作这个晶格的一个基本格子。最后,环面通过把所有平面上的基本格子等价而得到的,
这样,环面就是一种最简单的平面陪集,其等价群就是晶格所代表的群。同样,我们可以由一
个高维的平坦空间出发,加上一个高维的晶格作为等价群,就可以获得任何想要得到的平坦的
高维环面。
当弦在环面上运动时,它可以有振动,这一般叫做激发,而非激发的状态有两组物理量子
数来决定,这些通常叫做零模。一组零模就是整个弦的沿环面的动量,而另一组是弦在环面上
各个方向缠绕的次数,即绕数。这两组量子很重要,后面谈T 对偶时要起很大作用。对于一个
粒子来说,最简单的波函数是平面波,其中的量子数是动量。对于一个弦来说,最简单的波函
数也是平面波,但当弦有绕数时,我们要推广这个平面波。这个推广很简单,就是把平面波中
的座标用弦的整个座标取代,将右手模和左手模分开,就有了两组动量,而这两组动量是弦的
动量和绕数的线性组合。这个平面波波函数当作世界面上的函数看待时,就叫顶点算子。
并不是所有动量和所有绕数都是允许的。我们知道,动量在量子力学中对偶于座标,由于
环面上的周期性,动量必须量子化。结论很简单,就是动量也必须处在一个晶格上,这个晶格
对偶于用来构造环面的晶格。当然饶数是自动量子化的,很明显,绕数处在原来的晶格上。
现在,为了构造杂化弦,我们要求去掉16 维环面上的右手部份,这就要求右手的动量为
零,也就是一些总动量和饶数的线性组合为零。这对原来的晶格以及它的对偶晶格加了一些限
制条件。弦的一次量子化又要求弦的动量在壳条件,从顶点算子的角度来说,这个算子的左手
反常权必须是1,这说明晶格上的一些基本长度是偶整数,从而晶格上的任一点的长度都是偶
整数。所有这些条件加起来,我们基本上得到一个结论,就是,这个16 维的晶格是一个偶的
并且是自对偶的晶格(even self-dual lattice)。
巧的是,在16 维中,只有两个满足这些条件的晶格,这两个晶格分别对应于两个群,就
是SO(32) 和E(8)XE(8),晶格恰巧是群的极大环面的晶格,也就是说,这些群每个都有一个极
大的平坦环面,维数是16,用来构造这个环面的晶格满足我们上述的条件。这样,在晶格上取
长度恰为2 的点来构造顶点算子,这些算子再和右手模结合,得到一些完整的算子,这些算子
对应于10 维时空中的规范场的激发态。另一个巧合是,每个16 维的晶格上恰有496 个长度为
2 的点,和应有的规范场的个数相等。
证明这些顶点算子满足相应的李代数要用到在当时来说是相当新的数学,就是仿代数的顶
点算子表示。这个数学分支有一个有趣的历史,在数学方面,先是勒泊斯基(J. Lepowsky)和
威尔逊(R. Wilson)开始研究,由富兰克( I. B. Frenkel)、凯兹(V. G. Kac) 等人完成,再
由哥达德(P. Goddard) 和奥立弗(D. Olive) 用物理的语言在84 年左右表达出来。所有这些
工作早年有物理学家研究过特例,如海尔朋(M. B. Halpern)。在一次革命之后,产生了很多
相关工作,当然威顿的对所谓外斯-朱米诺-威顿模型的研究极大推广了这些工作的物理意义,
对后来的发展有很大的影响。
杂化弦的右手部份是10 维超弦的一半,所以由此而来的超对称也是10 维超弦的一半,就
是N 等于1 的10 维超对称。当群为SO(32)时,零质量场的内容和型-I 超弦没有任何区别。这
个重要特征并没有引起任何人的重视,因为很自然地人们以为这是两种完全不同的理论。杂化
弦是一个纯闭弦的理论,而型-I 弦含有不可定向的开弦和闭弦。杂化弦左手部份的在环面上
的16 个玻色子又可以用32 个费米子取代,这和两维中(世界面)的“费米化”有关。我们不谈
费米化,只简单地介绍一下杂化弦在费米表示下的构造。32 个费米子,可以分为两部份,对
每部份独立的加周期或反周期条件(即雷芒分支,或内吾-史瓦兹分支)。在壳条件表明,只有
两种可能才能得到自洽的谱,就是要么所有32 个费米场满足同样的条件,这样得到群为SO(32)
的杂化弦;要么32 个费米子分成每组16 个费米子的两个组,独立地加周期条件。可以很快地
得到结论,必须用格舍奥投射(见第四章第四节或更早),这样投射的结果是在第一个激发上恰
有496 个态,这对应于E(8)XE(8)的规范场。可以证明,不能将32 个费米子拆成更多的组。费
米子表示的好处是不需要仿代数的顶点算子知识,这也是它的坏处,因李代数的结构不清楚。
费米子表示也说明,16 维新的空间的确是内秉空间。
(第三节)
1984 年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇,就是威顿等人的关于卡
拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇, 后来它的引用率仅仅
被一篇文章超过,就是马德西纳(J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶的著名文章。
单从引用率来看,很能说明为什么卡拉比-丘紧化文章的重要。首先是唯象方面的,这篇
文章为弦论在唯象学方面的应用开了一个先河,使人们看到很多不同的可能;其次,这种全新
的紧化方式引发构造许许多多低维弦理论;最后,卡拉比-丘紧化使得弦论第一次和现代数学
的分支代数几何发生关系。
我们前面说过,如果从一个高维理论出发,要想得到一个低维的带有手征费米场的理论,
这个高维理论本身必须是手征的。现在,弦论已有三个理论在十维中带有手征,就是型-I 超
弦,其规范对称性是SO(32),两种杂化弦,规范对称分别是SO(32) 和E(8)XE(8)。卡拉比-丘
紧化文章首先关心的是,如何从这些理论得到一个四维的手征理论。当然由于十维超对称的存
在,我们首先要问的是,通过紧化后,还要不要超对称?
粒子物理的标准模型中没有超对称,也就是说到目前为止,粒子物理实验还没有看到任何
超对称的迹象。我们在谈超对称和超引力一章中解释了超对称的引入在理论上的意义,也谈了
在解决所谓规范等级问题上的作用。所以,在某个能标以上,超对称的存在是有好处的,很多
唯象学家也相信发现超对称下一阶段粒子物理实验的重要目标之一。那么,唯象学需要多少超
等称?从消除发散的角度看,越多越好,而从粒子物理的角度看,四维中的N 等于一超对称最
合适。如果有更多的超对称,表示理论说明,如果有一个左手的费米子,则存在一个对应的右
手费米子,这和弱电相互作用极大破坏手征性矛盾。所以,在某个能标以上,最好只有四维的
N 等于一超对称。
既然在低能理论中没有超对称,我们能不能一开始就利用紧化破坏所有的超对称?这种可
能是存在的,但我们一定要在解决规范等级问题的前提下做到破坏所有的超对称。据我所知,
目前还不存在一个这种紧化方式。
所以坎德拉斯(P. Candelas)、豪罗维芝(G. Horowitz)、施特劳明格、威顿等四人的文章
假定在紧化后得到一个四维的N 等于一的理论。这就要求,卡拉比-丘流形破坏大多数超对称。
根据推广的哥得斯通定理,破坏一个超对称就必须有一个对应的零质量的费米子,这些费米子
必须从10 维的引力微子中产生,从超对称变换的角度说,这些费米子对应于超对称变换所产
生的引力维子部份。引力微子的超对称变换含有超对称参数的协变微商,要产生不为零的引力
微子场,这些协变微商要不为零。我们得出结论,如果只留下一个四维的超对称,只有这个超
对称对应的协变微商为零。用数学的语言说,整个流形上只有一个基林旋量(Killing spinor)。
如果将十维时空流形看作是一个四维的平坦的时空和一个封闭的六维空间的直积,那么这
个基林旋量在四维平坦时空上只是一个常数旋量,在六维空间上就比较复杂了。很多简单的封
闭空间有许多基林旋量,如一个六维的环面;而大多数封闭空间没有任何基林旋量。可以很快
证明,允许基林旋量存在的空间必须是里奇平坦的,即所有里奇曲率为零。如果只有一个基林
旋量,那么这个里奇平坦的空间也不能过于平坦,环面是完全平坦的,但有太多的基林旋量(和
旋量的份量个数一样多)。一个空间的平坦程度又可以用一个群论言语来描述。我们知道平移
的概念,这个概念在欧氏空间中最简单,也可以推广到一个弯曲的空间中去。当一个空间是弯
曲的时,一个矢量沿着一个闭合的路径平移后回到原点可能与原来的矢量不同。在一个平坦的
空间中,沿着任何闭合路径平移后的矢量还是原来的矢量,我们说这个平坦空间的和乐群
(holonomy group) 是平庸的。球面则不同,平移后的矢量好像是经过了转动,这个转动依赖
于路径。所有可能的转动形成一个群,这个和乐群对于球面来说是整个转动群。现在,只允许
一个基林旋量存在的六维空间的和乐群不能太小,也不能太大,必须正好是一个SU(3)群。
和乐群为SU(3)的空间是一个复空间,同时又是一个所谓的开勒空间(Kahler)。这样一个
空间叫卡拉比-丘空间,原因是,卡拉比猜测和乐群为SU(3)的空间一定存在一个里奇平坦的度
规--我们前面说过基林旋量的存在要求里奇曲率为零,而丘成桐证明了这个猜测。这类流形是
一类特殊的复流形,卡拉比-丘紧化文章给出了一些构造。这些构造说明这些流形是代数流形,
也就是说可以通过在复欧氏空间用代数方程来规定一个子流形,虽然我们形式上有了这些流
形,还没有人能写出一个里奇曲率为零的度规,这就说明这些流形的确很复杂。也许我们就认
为在这种情况下很难研究紧化后的一些物理问题。的确,许多问题的回答要求我们必须知道明
确的度规,幸运的是,很多重要的、低能物理的问题的回答不需要明显的度规表达式。一类问
题是,紧化后,有多少四维中的零质量粒子?零质量粒子对应于六维紧化流形上的各种微分算
子的零模,比如,一个零质量的标量粒子对应于六维流形上的拉普拉斯算子的零模;一个零质
量的旋量粒子对应于六维流形上的狄拉克算子的零模。没有明确的度规表达式,我们不能写出
这些零模的明确表达式。但要回答有多少零模,我们不需要明确的表达式。
算子的零模问题和所谓的指标定理有关。给定一个算子,可以定义其指标,这个指标是一
个整数,即是这个算子的零模个数减去其对偶算子的零模个数。在很多情况下,对偶算子没有
零模,那么原算子的零模个数就等于这个算子的指标。指标定理说,虽然定义中涉及到几何即
度规,一个算子的指标是一个拓扑数,只和流形的拓扑有关,和几何没有关系。指标定理在很
大程度上推广了欧拉定理以及后来的黎曼-罗赫定理。
当我们用代数方法构造了卡拉比-丘流形后,就可以利用代数几何的结果计算各种算子的
指标,从而确定对应的无质量粒子的个数。举例来说,狄拉克算子的指标是欧拉示性数的一半。
在这里,狄拉克算子的零模定义为左手零模,其对偶零模是右手零模,这样,狄拉克算子的指
标等于没有配对的手征零模,而配对了的零模形成一个没有手征的零质量粒子。所以,粒子理
论中的代的个数正好等于狄拉克算子的指标,也就是欧拉示性数的一半。如果能构造出一个欧
拉示性数为6 的流性,我们就得到一个有着三代粒子的四维理论。
标准模型中的一些重要的参数,如费米子与标量粒子耦合常数,也可以通过代数几何来确
定,这些也是一些拓扑不变量,当然是一些比较细致化的拓扑不变量,与复几何有关。紧化工
作的另一个重要部份是决定四维中的规范对称性。非常有意思的是,这也和代数几何有关。如
果我们从N 等于一的十维理论出发,格林-史瓦兹关于反常的工作说明,不是所有的紧化都是
自洽的。低能理论要求,六维流形上的一个曲率和规范场必须满足一个方程,这个方程的拓扑
意义是说流形的第二陈类等于规范场的第二陈类,当然方程本身的要求比这个表述的要求还要
高,相当于无限多个要求。幸运的是,这个要求在卡拉比-丘流形上可以得到满足。举E(8)XE(8)
理论为例,可以把流形的和乐群SU(3)与E(8)的一个子群完全等同起来,这样,剩下的规范对
称性是所有与这个子群对议的子群,也就是E(6)XE(8)。我们可以将E(6)解释为一个大统一对
称群,另一个因子E(8),由于与E(6)对易,可以解释为不可见的分支。所以,卡拉比-丘紧化
从超对称和大统一的角度来看,是一个非常成功的紧化方式。
最后,说一句题外话,历史似乎提示,所有一开始认真研究卡拉比-丘紧化的人,一生都
离不开这个题目,如坎德拉斯。1984 年文章的另外三个作者,后来没有将卡拉比-丘流形作为
主要研究课题,所以在其它方面都做出了重要工作。
(第四节)
1984-1985 年的超弦第一次革命可以说在不到一年的时间就已完成,也就是说,今后若干
年所围绕发展的几个问题和重要概念在一年之间已被提出。我们在本章前三节所谈的三篇文章
都在一年之间出现,这三篇文章是超弦第一次革命的三篇最重要的文章。其它几篇重要文章也
都在一年左右出现。
我们在这一节谈谈其它一些重要工作。毫无疑问,谈到微扰弦论,首先想到的是两维共形
场论。我们把关于两维共形场论的稍微仔细的介绍推迟到下一章,这里,只限于谈一下共形场
论对于微扰弦论的重要性,以及在弦论第一次革命间及之后共形场论在弦论中的几个应用。
顾名思义,共形场论是一类特殊的场论,在其中有共形不变性。共形不变的含义是,量子
场论中没有一个内秉的标度,所有物理学量,如关联函数,只和这些物理量本身带来的标度有
关。譬如,在一个关联函数中,所有出现的标度只是各算子之间的相对距离。由于没有内秉标
度,场论含有较高的对称性,除了我们熟悉的洛伦兹对称性外,还有变换标度不变性。在不同
的维度中,标度不变性隐含着更大的对称性,通常叫做共形不变性。粗略地说,共形变换是一
种只保持任何一个图形的所有夹角而改变长度的变换。在两维中,存在无限多这些变换,所以
两维共形场论很特殊,在很多情况下可以作解析研究。开这种研究先河的是前苏联的几个人,
贝拉文(A. Belavin)、玻利雅可夫和查莫罗德契可夫(A. B. Zamolodchikov),而他们的重要
文章,简称BPZ 文章,是在1984 年发表的。
这个时间上的巧合也许并不奇怪,因为玻利雅可夫本人对弦论很感兴趣,他在1981年已经
发表了关于所谓玻利雅可夫弦的重要文章。对于他来说,研究两维共形场论有两个目的,一是
将其应用到统计物理中的临界现象上,二是应用到弦论中。给定一个时空背景,弦论中的世界
面作用量定义一个两维量子场论,这个量子场论必须是一个共形场论,如果不是,我们要遇到
两个基本困难。第一,如果没有共形不变性,世界面上的每一个度规都含有一个决定世界面上
每一点的长度的标量场,这样定义的散射矩阵破坏了对散射矩阵的一个基本要求,就是么正性。
第二,没有共形不变性,我们也无法定义计算散射矩阵的最基本的东西,即每个散射态的波函
数,或即顶点算子。
共形不变的要求在弦论的微扰论中有非常重要的推论,一个看起来不可思议的结论是,要
求一个定义在弯曲时空中的世界面上场论共形不变等价于时空中各个场的运动方程,特别是广
义相对论中爱因斯坦场方程及其推广。
对于纯粹的玻色弦来说,世界面上的量子场论必须是一个共形场论,而对于超弦来说,这
个共形场论还含有更大的对称性,就是一些两维中的超对称,这个共形场论也就叫超共形场论,
除了一般的超对称外,还有无限多个新的超对称,与无限多个共形不变性类似。而在杂化弦中,
场论也是一种杂化,左手模是一个普通的共形场论,而右手模是超共形场论。
可以说,在第一次革命后,研究共形场论占据了许多人的大部份精力。有人甚至把研究共
形场论等价于研究弦论的所有动力学,弗里丹(D. Friedan) 就是一个典型,他强调将共形场
论分类以及深入研究各种世界面的集合:一个无限高维的空间,普适模空间。由于生病的原因
和坚持他的这种信念,弗里丹已经多年脱离弦论的主流,基本上没有什么研究了。
另一个重要研究方向是各种各样紧化,特别是卡拉比-丘紧化。我们说过,一般的卡拉比-
丘流形非常复杂,甚至一个明显的度规都写不出。所以,人们很快想到如何构造一些简单而有
用的模型,所谓迹形(orbifold),就是这样被发现的。与更为普遍的流形不同的是,迹形的拓
扑通常由一些“奇异”的点来实现,当我们远离这些点的时候,空间是平坦的,拓扑也是简单
的。从一个平坦的欧氏空间出发,利用欧氏空间的对称性就可以构造迹形。我们已经谈过如何
构造高维的环面:方法就是用欧氏空间中的晶格,将晶格单胞的“对边”等同起来。用数学的
术语说,晶格本身是欧氏空间平移对称群的一个离散子群,而环面则是欧氏空间在这个离散子
群作用下的等价类。环面是最简单的迹形,在这里,迹形的“迹”有明显的含义,就是,环面
上的每一个点是欧氏空间的一个轨迹,这个轨迹由晶格作用在一个点上来生成。在环面的情形,
每一个“迹”实际上就是一个晶格,这个“迹”是晶格群的一个忠实的表现。
更为一般的迹形是通过推广环面的构造获得。一个晶格群是欧氏空间的对称群的一个子
群,欧氏空间的对称性除了平移外,还有转动对称以及反演对称。将晶格扩大为一个更大的离
散群,其中包括一些转动元,我们就可以构造一般的迹形了。同样,迹形上的每一点是欧氏空
间一个点的“迹”。通常,这个迹所含的欧氏空间的点和这个离散群有一一对应,在这个情况
下,迹形上的点是一个普通点,也就是说,在这个点的周围,所有几何与欧氏空间没有什么不
同。在特殊的情况下,有的点在离散群的一些元作用下不变,这个点生成的迹也就不会是离散
群的一个忠实表示。在迹形上,这个“迹”所对应的点是奇异的,它周围的几何与欧氏空间的
一个邻域有所不同。一个最简单的例子是,我们用一维晶格来构造一维的圆,再加上关于原点
的反演元,我们构造出的迹形是一个线段,这个线段无非是将圆对折而获得。线段的两个端点
是奇异的,所对应的在直线上的迹比一般的迹少了一半的点。一个稍微有点复杂的迹形是线段
在二维的推广,我们同样通过用两维的晶格来构造两维环面,形状象一个轮胎。再加上一个针
对原点的反演元,我们得到一个完全不同的迹形,其形状象一个四面体,除了四个顶角外,所
有的点都是正常的。而每一个顶角是奇异的,因为绕顶角一周,我们得到的角是180 度,不是
360 度。四面体的拓扑是一个球面拓扑,与环面完全不同。
不是所有的欧氏空间的离散子群都可以拿来构造迹形,我们要避免构造出怪异的空间。举
一个例子,取一个转动元,这个转动元所对应的转动角不是360 度的有理数倍,那么一个点在
其作用下,无论经过多少次作用,总不会回到原来的地方。这样,这个点仅仅在这个转动元的
作用下就生成无限多个点,且集中在一个圆周上,而这个圆周上的另一个点也会生成无限多个
点,这两组无限多个点中有些点可以任意接近,虽然原来的两个“母点”并不接近,这样生成
的迹形不是豪斯道夫空间。
弦论在迹形上有很有趣的性质,如有所谓的“扭结弦”(twisted sector)存在。这些扭结
弦有很直观的图像,举圆这个最简单的迹形为例,在这里,一个扭结弦无非是一个绕在圆上的
弦,可以绕圆一周,也可以绕圆许多周。所以我们通常不说这些弦态是扭结态,而说是绕态
(winding modes),他们是扭结态的特殊情形。可以这样来理解为何叫他们作扭结态。从直线
出发来构造圆,直线上原来的一些态,通过平移生成无限多个象,这些象加起来对应于圆上的
一个普通态(也就是说,一个圆上的普通弦态在直线上也是一个“迹”)。但是,如果有一个弦
的两个端点停在一个点的两个象上面,我们会得到一个新的弦态,这个弦态在原来的直线上不
存在,因为不是一个闭弦,在迹形即圆上就是一个闭弦了。由于每一个晶格群的元都会有带对
应“量子数”的弦存在,我们将这些态叫作扭结态:通过用平移元扭结得到。同样,我们说过
的反演元也有对应的扭结态。在线段上,有两组新的扭结态,他们起始于某一点,通过端点回
来又终结于这一点。扭结态常常是局域化的,如通过线段端点的扭结态,他们不能自由地在线
段上移来移去。
扭结态的存在不是人为加的,如果你想构造一个弦论,其中没有扭结态,那么通过相互作
用,原来的一个非扭结态可以变成两个量子数相反的扭结态。
卡拉比-丘紧化的另一个方向是研究一些抽象的共形场论,通过共形场论中弦态的谱与卡
拉比- 丘流形上的谱的对比,可以找出一些对应关系,已经找出的叫做盖普乐模型
(Gepnermodels),是盖普乐本人首先发现的。抽象的共形场论的研究比直接研究卡拉比-丘紧
化多很多好处,如可以计算严格的顶点算子,在流形上很难做到这一点。很多卡拉比-丘流形
的数学性质,如所谓的镜像对称性(mirror symmetry),先是在共形场论中发现的。所以,物
理学家再一次有机会对数学作出独特的贡献,由于现代科学的分工越来越细致,这些贡献是一
个纯数学家不可能作出的。在这个特殊的领域,纯数学家能做的是对物理学家的发现作出“严
格”的论证而已。
第六章 黑暗时代
(第一节)
有一个非常有意思的现象,在科学领域,越是较为抽象的学科,它的发展方向和活跃的几
个地方越不受流行的东西影响,或者更确切地说,这样的学科中没有流行。越是接近实用,学
科越受流行的左右。前者以数学为代表,后者以物理为代表。而每个学科中,其受流行影响的
程度又因不同分支而不同。以数学为例,数理逻辑研究和关心的问题大概数十年不变,而一个
比较应用的分支,如计算机图形设计就会很快改变其热门方向,完全为时髦的东西左右。
同样,即使在物理中,流行的程度也因分支而异。且不说应用物理,以及与应用物理接近
的凝聚态物理。高能物理本身,可以大致分为三个大方向。第一是唯象理论,所谓唯象,指的
是与粒子物理的现象有关,这个分支受潮流的影响极大。例如,去年流行过一阵子谬子(muon)
的反常磁矩问题,因为一些实验说观测值偏离理论值达到三个以上的标准误差。这引发一阵不
大不小的谬子反常磁矩热潮,引发专门文章数十篇。后来,有人发现原来的理论计算有问题,
原来的两篇理论文章作者也站出来说他们犯了错误。把这错误矫正过来,观测值离理论值只有
两个标准误差了,完全不说明问题。这样,这个时髦的话题才冷下来。第二是类似超弦理论的
一些比较大的纯理论分支,由于不受实验的直接影响,这些分支相对要稳定些,但也仅仅是相
对而已。在这样的学科中,也有潮流,这些潮流主要为一些领导潮流的人把握。大潮流三五年
来一次,小潮流一两年来一次。第三种是不能独立成为分支的一些数学物理方向,这些方向中
不太容易看到潮流。
超弦理论有大小潮流。比大潮流来的更大的是所谓的革命,革命大约是十年来一次。我们
在上一章中谈了第一次革命,这个革命本身持续得很短,只有一年功夫,影响远远超过一年。
当影响越来越小的时候,黑暗也就来了。
黑暗的原因和表现有两个方面。其一是,一些主要问题及其推广已经研究得比较成熟,很
难再做深入的研究了;其二是,革命过程中带来的未解决的问题还是未解决,并且看来是越来
越难。这第二个问题会引起领域之外人的非难,因为即使是一个不太了解弦论的人也会听说到
这些问题,感觉到这些是比较大的也很关键的问题,如果不解决,弦论谈何成功。一个例子是,
弦论的发展带来很多不同“真空”的发现,而微扰弦论不能解决选择真空的问题。那么我们的
4 维的空间如何来的?4 维中的标准粒子模型如何来的?这些问题不解决,局外人就觉得弦论
是空对空,不是一个理论,充其量是一种应用数学。哈佛的格拉肖(S. Glashow)就是这么看的,
他嘲笑道:“一个针尖上可以容许多少天使跳舞?”这种看法当然会在各个方面造成对弦论研
究的不利。年轻的对弦论还没有很深体会的人会对弦论产生许多疑问,从而放弃弦论的研究。
年长的,在每个学校有影响的人,也会产生疑问,这样会对弦论中的年轻人的前途产生不利的
影响。这些因素综合起来,弦论在上世纪的80 年代末、90 年代初就进入历史上的第二个黑暗
时代。
我记得很清楚,那时我每到一个地方,当有人问起我是研究什么的时候,我有点不好意思
地回答:弦论。然后尽量给他人留一个我对物理的其它方面也感兴趣的印象。只有这样,人家
才认为你这个人还有救,才会跟你继续谈点什么。
尽管弦论本身处于一个不利位置,大多数成熟的弦论专家还是继续着超弦的研究,所以在
黑暗时代,弦论还在进步。在本章中我们谈谈这段时间中的一些主要的进展,特别是与共形场
论和矩阵模型有关的一些研究。
我们前面已谈到,二维共形场论是微扰弦论的基础,因为弦的一次量子化涉及到弦的世界
面,是二维的。二维共形场论的发展和弦论既有关系,也有一定的独立性。其发展,一部份与
弦论有关,一部份与场论以及凝聚态物理有关。场论中,很早,例如威尔逊就提出了算子乘积
的概念,苏联人玻利雅可夫早在70 年代初就研究了算子乘积的共形不变性质,所以几个前苏
联人在1984 年发表的经典文章是那个研究的继续。
BPZ 文章对研究超弦的人带来的冲击是即时而又明显的。那时,第一次超弦革命正在发生,
苏联也在解冻。有一些苏联人到欧洲去访问,我不知道玻利雅可夫本人那时是否去过丹麦,但
BPZ 之一的贝拉文和丹麦的玻耳研究所关系密切,肯定在那个时候去过。弗里丹恰好也去访问,
所以很快了解到BPZ 的工作。他回美国后很快与闲克(Steven Shenker) 以及裘宗安写出后续
文章,主要是判定所谓极小模型是否是么正的。这篇文章本身的影响极大,同时又向西方介绍
了苏联人的工作。BPZ 的工作先在苏联的一个杂志上发表,然后才在欧洲的核物理杂志发表。
弗里丹本人大学学的是文科,后来才转到物理。他的博士论文研究二维的非线性西格马模
型(nonlinear sigma-models),论文的导师又是一个有名的数学家辛格(I. Singer),所以遭
遇之奇在弦论中是少见的。当然,二维的非线性西格马模型是一个物理问题,辛格也是少数几
个懂物理的大数学家之一。由于研究二维的非线性西格马模型,弗里丹可谓先天好过很多人,
一下子就可以转到弦论上来,因为弦的世界面理论就是一个二维的非线性西格马模型。弗里丹
的博士论文很快成为弦论的经典之一,其中得到的一个重要结果就是,一个二维模型是共形不
变的条件是,背景空间上的度规必须满足爱因斯坦场方程。
我刚接触弦论时,就被逼着学弗里丹的博士论文,当然觉得是囫囵吞枣,能懂多少是多少,
这样研究弦论,当然不会赶上潮流。弗里丹等人前进得很快,不但与闲克等人在二维共形场论
以及超对称的二维共形场论中做出很多好工作,也与凯伦(C. Callan) 等人推广了他的博士工
作,系统地研究了玻色弦以及超弦在一般弯曲背景中的自洽条件,也就是背景场应满足的运动
方程。这些运动方程包括弦的修正,也就是说,除了爱因斯坦方程之外,还有与弦有关的附加
项,这些附加项的大小由弦的长度标度所决定。从弗里丹的故事中,我们看到,掌握发展的先
机多么重要,在圈外懵懵懂懂,尽管可以做一点研究,却只能永远是边缘的研究。这是我从我
个人的经验中得到的比较痛苦的总结。
我们下次要仔细谈谈二维共形场论,然后谈谈二维非线性西格马模型。
(第二节)
在凝聚态物理中,多年来有一个重要问题,就是临界现象。这种现象很早就被发现,如乳
光现象,水和蒸气的共存点。后者是水在变成蒸气的过程中,气压的变化终於使得水气不分。
水变成气是一级相变,其特点是很多物理量突然改变,如密度。一级相变有一个终点,在这里,
不连续的量成为连续的量,而它们的导数变成不连续的,这就是二级相变。过去描述二极相变
的理论是兰道平均场论,比较粗糙。后来威尔逊发展了重正化群的方法,将所有对涨落有贡献
的项都计及,形成了一套非常成功的理论。
当一个系统处在二级相变点,也就是临界点时,涨落的效应最大,因为此时系统(假如是
无限大的) 已没有能量的间隙,用场论的语言说,所有场都是没有质量的。更严格地说,所有
关联函数中没有长度或质量的标度,从而系统本身有标度不变性。只要系统比较正常,那么标
度不变性就蕴涵着共形不变性。标度变换仅仅改变整体的标度,而一个普遍的共形变换可能改
变形状,所保持的仅仅是原来的所有图形中的角度。很多研究得比较透彻的临界系统是两维的
(三维的系统当然更实际,但很难研究),所以两维的共形场论变得非常重要。
在一个局域场论中,局域算子的概念很重要。原则上,给定任何一个空间中的点,列出所
有局域算子,相当于在一个闵氏空间中知道了整个希尔伯特空间。不同点之间的算子关系可以
通过空间平移来得到,从而相互之间是一个线性关系。知道了一点的算子还不等於了解了系统
的所有性质,例如,我们最感兴趣的是关联函数。威尔逊指出,如果知道任意两个定义在不同
点算子乘积,原则上所有关联函数都被确定了。两个算子的乘积,可以用两个算子的其中一点
上的所有算子来展开。这个展开通常是渐进展开,也就是说,当把这个算子乘积代入一个关联
函数的时候,得到无限多关联函数之和,这个和是一个渐进级数。由於算子乘积展开中每一项
的系数随着两个算子之间的距离变小而变小,这个展开在小距离上非常有效,所以有时人们将
算子乘积展开叫成短矩展开。
场论的一个特点是,关联函数通常随着距离的减小而变大。这就意味着,在算子乘积展开
中,最重要的项随作距离变小而增大。而大多数项随着距离变小而变小,所以我们只须重视有
限的几个项有行了。如果是共形场论,我们还可以按照标度来分类算子,在这个分类中,每一
个算子在变换尺度时也变换一个因子,该因子通常随着尺度的变小而变大,这正是场论在小尺
度上自由度增大的一个反映。对於每一个标度算子来说,那个变化因子是尺度变换的一个幂次,
幂通常是负的,取其正数,这个正数叫这个算子的指标。我们可以将空间一点上的所有算子按
指标的大小排列。随着指标的增大,算子的数目越来越多。
现在,同样可以进行算子乘积展开的研究。所有涉及的算子都有一个固定的指标,这样乘
积展开中的每一项算子前的系数就是两个算子距离的一个幂次。随着算子的指标的增大,这个
幂次变得越来越正,从而该项便得越来越不重要。展开中有最小指标的算子最重要,通常的情
况下,其系数是距离的一个负幂次。
玻利雅可夫早期对共形场论的贡献是,他很早就意识到算子乘积在共形场论研究中的重
要,他并猜测,三个算子乘积的结合性可能是研究共性场论的关键,这个结合性叫做自提升
(bootstrap),这个英文词很难翻译,大意是,这是一个自洽自足的系统。如果能把所有的自
提升方程都解了,整个共形场论也就被解了。
1984 年的BPZ 等人的文章中新添的一个关键点是无限大的共形变换代数。共形群或共形
代数在两维中很特别,只有在两维中,有无限多个共形变换。这从两维的度规总可以写成一个
局域的正交度规看出:取正交度规的复坐标,这样度规只有一项,就是复坐标的无限小变化乘
以其复共轭,经过任何局域的全纯(也就是解析)变换,这个正交形式不变。在量子场论中,对
应于每一个变换,有一个算子。大家熟知的情形是,在时间平移下,对应的算子是能量,或哈
密顿量;在一个空间平移下,对应的算子是这个空间方向上的动量。同样,对应于每一个共形
变换,有一个算子。无限多个共形变换有无限多个算子对应。共形变换代数对应于一个无限大
的算子代数,同任何量子代数一样,这个代数可能有反常,这里的确有反常,代数的反常项是
一个常数,这个常数正比于一个很重要的量:系统的中心荷,与系统的自由度有关。这个量子
代数首先在弦论中出现,由维拉所罗发现,就叫维拉所罗代数。
维拉所罗代数其实是两套代数,一套对应于全纯变换,另一个对应于其复共轭。每一个代
数中有一个重要的生成元,这个生成元对应于坐标的标度变换,所以,任何一个标度算子与它
的对易子还正比于这个算子,正比的系数就是这个算子的全纯指标。我们以前定义的指标是全
纯指标和反全纯指标的和。
由於共形变换是对称性,所有算子在共形变换下回到算子的一个线性组合,也就是说,所
有的算子形成维拉所罗代数的一个表示。这个表示是可约的,可以分解成无限多个不可约的表
示。当这个分解是有限的时候,该共形场论叫做一个极小共形场论。在每一个可约的表示中,
有一个特别的算子,该算子与所谓的正模维拉所罗代数元对易,所以这个算子是这个表示中的
指标最小的,不然的话它与正模元的对易子给出带有更小的指标的算子。这个特别的算子叫原
初算子(primary operator)。
给定一个原初算子,接下来就是用表示论来研究与原初算子处於同一个表示中的其它算
子,其它算子叫做次级算子(secondary operators)。同时,给定原初算子之间的关联函数,
次级算子之间的关联函数就可以通过微分等的作用由原初关联函数确定。有一写特别的算子,
就零算子,表面看来不为零,其实应等价于零。这些算子通常通过用维拉所罗代数作用在一个
原初算子上获得。将这个算子插入一个关联函数,应得零。但是,一个零算子通过用各种微分
算子作用在原初算子上获得,这样,我们通过插入零算子的办法就获得了一些关联函数所满足
的微分方程。这个结果是BPZ 文章的重要结果之一。
BPZ 文章中另一个重要结果是对极小模型的分类。极小模型的中心荷必须小於1,一个无
质量自由标量场的共形长论的中心荷为1,所以一个极小模型中的自由度小於一个无质量的标
量场。极小模型由两个整数所刻划,其中心荷是这两个整数的函数。这些场论有的是么正的(即
没有负指标的算子),有的不是,甚至中心荷都可能是负的。后来,弗里丹等人进一步研究了
么正极小模型的分类,通过研究态之间的内积,他们得到结论,两个整数代表的一类模型中只
有一类用一个整数刻划的极小模型是么正的。
BPZ 文章的第三个重要结果是关于算子乘积的系统的研究。自提升关系可以通过图形来表
示,也就是所谓的交叉对称(crossing symmetry)。通过算子乘积展开,一个四点函数又可以
拆成全纯函数和反全纯函数的乘积的和。还有一个重要概念,就是聚变规则(fusion rules),
这些规则说,当考虑两个分属两个不同表示的算子的乘积时,在展开中只有一些表示中的算子
才会出现。自提升关系的重要作用是,一旦给定聚变规则,在很大程度上算子的乘积展开就确
定了。
还有一种比极小模型范围更广的模型,叫有理共形场论。在一个有理场论中,任何关联函
数都是一个有限的和,其中每一项是一个全纯函数和反全纯函数的乘积。有一段时间,在莫耳
(G. Moore)和塞伯格等人的倡导下,许多人把精力化在分类有理共形场论以及研究具体的模型
上面。
说到具体模型,不能不提外斯-朱米诺-威顿模型。威顿在研究玻色化时重新发现了这一大
类模型,他证明了不动点,也就是标度不变点的存在。在这一类模型中,除了共形不变外,还
有许多其它的对称性,这些对称性写成代数的形式就是过去在粒子物理中出现过的流代数,或
者叫凯兹-莫狄(Kac-Moody) 代数。我们前面说过,维拉所罗代数的存在引出一些关联函数满
足的微分方程,同样,凯兹-莫狄代数也有对应的微分方程。这些微分方程至今还没有完全研
究透彻,方程与数学中的一些重要问题如黎曼-希尔伯特问题有关系。外斯-朱米诺-威顿模型
属於有理共形场论,其实,有理共形场论的很多特点都是从这些模型中总结出来的。
说来奇怪,当弦论的第一次革命结束时,黑暗的时代到来时,共形场论一枝独秀,使很多
人几乎忘记了弦论本身,而以共形场论作为一个独立的研究方向。记得那时出国到意大利,与
科大的一位同学一道虔诚地拜访威顿(相信他早已忘了这事),问他几个关于共形场论的问题。
问完后,他竟然反问我们,对弦论感兴趣吗?说明他无时不刻地在想与弦论有关的问题,即使
他也在专心研究共形场论。可以说,共形场论的短期繁荣某种程度上弱化了弦论的黑暗时代。
(第三节)
在1995 年之前,弦论集中研究微扰的行为,所以绝大部份研究与弦的世界面有关。我们
前面提到的共形场论就是试图从微扰论的角度理解弦论所有自恰的背景,这样做自然是不全面
的,会漏掉一些重要的可能性,我们会在谈超弦的第二次革命时回到这一点。有意思的是,漏
掉的重要的情况并不多,直到今天,弦的微扰论还是研究弦论和M-理论的一个最重要的工具。
用微扰论研究弦论,一开始就先天不足,如同用费曼图研究量子场论一样,我们在开始时
只有一堆“数据”,要从这堆数据中看到弦论或场论的面貌,要花很多功夫,要有许多直觉。
例如,至今我们也无法从费曼图中看出量子色动力学中的禁闭现象。同理,如果想看到弦论的
全貌和非微扰性质,要么不可能,要么我们要有很大的运气。当初,许多人以为通过模仿场论
来研究弦场论,我们会得到弦的非微扰理论。这种想法,在今天看来,不是显得幼稚,也是在
理论上存在极大困难的。
所谓弦场论,是将弦类比于粒子,然后进行二次量子化。我们先帮助大家回忆一下粒子的
二次量子化。给定一个粒子,一次量子化的时候,我们无非是应用量子力学,描述一个固定的
粒子的基本量是粒子的波函数。如果将这个波函数作为基本变量将其量子化,我们就得到一个
更大的函数,是原来单粒子波函数的函数。这个泛涵,不但有单粒子的信息,还有任意多个多
粒子的信息。我们可以用单粒子的函数来展开这个泛涵,第一项有与单粒子涵数无关,这是个
真空,没有粒子。第二项与单粒子的函数成线性关系,是含有一个粒子的态,第三项与单粒子
函数成双线性关系,含有两个粒子,等等。同样,弦的一次量子化的波函数是一个弦的位形的
函数,因为弦的位形本身已经是一个参数的函数,所以单弦的波函数也是一个泛涵。如果我们
形式上将弦的位形看作一个“波函数”,弦本身的波函数可以用这个函数来展开。第一项与弦
的质心位置有关,是一个快子。弦的波函数不能任意,必须满足一些物理条件的限制,这样,
展开的第二项是弦位形的二次项,代表引力子,等等。
弦场论则以上面说的弦位形的泛涵作为基本变量的量子理论,在闭弦的情形,情况十分复
杂,如果要保持时空的对称形,这个理论的作用量含有无限多个项,要作量子化是基本没有希
望的。在定义量子化时,还有另外一个技术上的困难,就是,弦的二次量子化波函数是一个泛
涵的泛涵,没有办法处理这么复杂的东西。第一个困难可以克服,但要牺牲时空中的协变性,
其实,在弦论的早期,吉川圭二(Keji Kikkawa) 等人于1974 年已经研究了在光锥规范下的弦
场论,他们发现弦场论的作用量最多含有弦泛涵的四次项,就可以完全包含弦的微扰论的所有
“费曼图”了。由于这个理论不是协变的,很难推广到一般时空背景,从而对弦论作非微扰的
研究。吉川圭二已从大板大学退休,是一个很温文尔雅的人。
开弦理论有一个简单而优美的表述,这就是威顿的三次弦场论,这个理论以陈-西蒙斯的
形式出现,同时非交换几何也第一次在弦论中出现。非交换的概念在此出现非常自然,因为弦
场的乘积是用两个弦连接而成一个弦来定义的,本身是不可交换的。这个理论在1986 年被提
出后,很快被证明是正确的,即可以用来导出开弦的微扰论。对它的非微扰研究也是最近才开
始的。
在整个80 年代,唯一与弦论的非微扰性质有关的研究是格罗斯和他的印度学生佩里维尔
(V.Periwal) 关于弦微扰的高阶数渐进行为的研究。在场论中,有一个很重要的结果, 就是
当圈数增加时,高圈效应以圈数的阶乘而增大,所以微扰级数是一个发散级数,也是一个渐进
展开。只有当耦合常数很小时,前几项才是重要的。一个渐进展开对应的严格函数通常在原点
处有奇点,而且是本性奇点。这个原点,在场论中就是耦合常数等于零的地方。虽然这个结果
看起来比较深奥,其实一点也不,在寻常的量子力学中我们已经遇到这种行为。例如在势垒穿
透问题中,穿透的几率随着一个量成指数衰减,这个量和势垒的高度和宽度有关。而高度和宽
度又和“耦合常数”有关,后者越小,则穿透的几率越小,所以耦合常数为零的地方是穿透几
率的一个本性奇点。这个量子力学问题的微扰展开就是我们熟悉的半经典展开,很早以前,人
们就知道半经典展开其实是一个渐进展开。随着阶数的增大,每一项贡献以阶乘的方式增大。
回到格罗斯和佩里维尔的工作,他们通过对弦的世界面的模空间的研究发现,弦的微扰展开也
是一个渐进展开,不但如此,这个级数的发散程度比量子力学和量子场论中的发散还要严重,
因为阶乘的阶数被加倍了。这就说明,弦的耦合常数为零的一点也是本性奇点,并且,弦的非
微扰效应应当比场论中的非微扰效应还要大。
在量子力学中,这样的非微扰效应往往与隧道穿透一类的过程有关,这些过程不是实过程,
因为只有在量子论中才有,其完成的时间是瞬时的。在场论中,这种过程和四维的欧氏时空中
的经典解有关,代表的过程与隧道穿透一样,最有名的是非阿贝尔规范理论中的瞬子解。所以
瞬子所代表的穿透过程是一种非微扰效应,这个本性奇点会在微扰论的高阶行为中体现出来。
当然,高阶发散行为的体现不仅仅是瞬子和隧穿,在场论中,还有和场论的紫外发散有关的贡
献,如所谓的“重正子”贡献(renormalon)。这些效应太技术化,这里就不谈了。
特霍夫特为了研究场论的非微扰行为,引进了所谓的大N 展开。这中展开只有在非阿贝尔
规范理论一类的矩阵理论中才能做,原因是这里展开的参数不再是通常的耦合常数,而是矩阵
阶数的倒数。因为矩阵的阶通常用N 来代表,所以这个展开叫大N 展开,实际上是1/N 展开。
这个新的参数很像我们熟悉的耦合常数,只不过,这个耦合常数不是以明显的方式在作用量中
或者微扰计算出现。
在特霍夫特那里,大N 展开有一个非常有意思的几何解释。我们通常将费曼图画在一张纸
上,看起来是一个平面图。常常,我们不得不将线段交叉地画,如果这种情况不可避免,我们
就说这个费曼图不是平面图。可以画在平面上的又不出现交叉的图又可以画在球面上,而不可
以画在平面上的图总可以画在一个更复杂的面上。比球面稍复杂的是一个环面,只能画在环面
上的图我们叫作亏格为一的图。现在,特霍夫特证明,所有在大N 展开中贡献最大的费曼图都
可以画在平面上,或者球面上。仅次于这些图的贡献来源于能画在环面上的图,同样,更小的
贡献来自于那些只能画在高亏格面上的图。这样,大N 展开的阶数就成了图的亏格数。
我们不能看出,大N 展开很像弦论的微扰展开,是一种拓扑展开。虽然费曼图本身是一维
的,但用来分类图的方式是两维的面,如同弦的世界面。这种联系,使得人们猜测一些场论如
规范理论是一种弦论,特别是,量子色动力学中的夸克禁闭可以和弦联系起来:连接两个颜色
相反的夸克是一根由胶子形成的弦。到目前为止,夸克禁闭的弦理论还没有建立起来,但人们
在近年来发现,一类规范理论的确可以看成是弦论。
与通常以阶乘方式发散的微扰论不同,当亏格数固定时,费曼图的个数只是以圈数的幂次
增加,这就大大控制了渐进展开的发散行为。当然,如果我们提高亏格数,每个亏格的贡献也
随着亏格数增加,并且是以类似弦论中的阶乘数增加的!这是矩阵理论可能是弦论的另一个证
据。当然,为了研究场论本身的非微扰性质,也许我们能计算所有的平面图就可以了。在早期,
人们为了仅仅数平面图的个数,发明了简单的矩阵理论。这个矩阵理论既不是场论,也不是量
子力学,而仅仅是一个矩阵积分。积分的被积函数是一个指数函数,指数类似场论中的作用量,
可以证明,这样简单的矩阵积分可以用来准确地计算与之相关的场论中的费曼图个数。
作为耦合常数的函数,矩阵积分有一些漂亮的解法,尤其是平面图的贡献。人们在大N 极
限下发现了一些和场论有关的效应,例如相变。那时,大家甚至期望一个简单的矩阵模型可以
告诉我们量子色动力学中的禁闭信息,当然这是奢望。不奇怪的是,在研究矩阵模型的十年后,
老结果经过发展真的和弦论联系起来,这就是我们下一节中要谈的老矩阵模型,或者,根据威
顿前天的说法,是中世纪矩阵模型。
最后,我们提一下,场论中研究的矩阵模型很早就在核理论中被威格纳和戴森研究过了。
在那里,矩阵的本征值是用来模仿一个大原子核的能量的本征值的,而矩阵积分与能量本征值
的分布有关。
(第四节)
我们前面说过,一个规范理论,或更一般地,一个矩阵模型,可能是一个弦理论,其主要
根据是大N 展开的行为与弦的微扰展开极为类似。但要真正将一个矩阵模型等同于一个弦理
论,却非常困难,原因是弦论往往是出人意料的方式出现。根据已知的可以等同于弦论的矩阵
模型,弦论出现的方式至少有三种。我们这一节介绍第一种,即老矩阵模型,这个模型是在1989
年为三个不同的小组发现的,一组人是前苏联人卡扎科夫(V. Kazakov)和法国人巴热壬(E.
Brezin),一组是当时都在芝加哥的道格拉斯(M. Douglas) 和闲克,第三组是格罗斯和米格德
尔(A. Migdal)。米格德尔也是前苏联人,其时已和玻利雅可夫一道到普林斯顿任教去了,最
近则似乎完全脱离物理,开公司了。据说,他的公司也和他做的矩阵模型有关,是搞计算技术
的。
这三组人的成功建立在过去的一系列工作之上,现在我们择要说明。首先,前面已经提过,
在粒子物理这个系统中,大N 展开的鼻祖是特霍夫特,概念起源于他若干个尝试解决夸克禁闭
的工作之一。其后,很多人,特别是巴热壬、伊日克逊(C. Itzykson)、巴里舍(G. Parisi)
和朱拜(J-B.Zuber) 等四人的重要工作系统地研究了一类简单矩阵模型的平面解。不久,伊日
克逊、朱拜和白西斯(D. Bessis) 又发展了解简单模型中的高亏格贡献的方法。这些方法的发
明,完全是为了研究量子色动力学,在当时并没有引起太多的注意。有意思的是,在超弦第一
次革命期间,前苏联和几个欧洲人独立地将矩阵模型和随机面(random surfaces) 理论联系起
来,他们的出发点还不是弦论。
要理解弦论如何从矩阵模型导出,我们首先要了解随机面和矩阵模型的关系。
既然已经知道一个矩阵模型的大N 展开是两维面的拓扑展开,矩阵模型和随机面有关就是
自然的了。在随机面理论中,我们计算一个“过程”是将所有可能的面以不同的权重加起来,
这里包括所有不同亏格的面,以及每个亏格中有着所有不同几何的面。权重和面积以及亏格有
关,例如,我们可以要求面积越大,权重越小。那么,怎么才能从矩阵模型中产生这样的权重
呢?首先,我们要想办法将矩阵模型中的某个量与面上的面积等同起来。在大N 展开中,给定
一个费曼图,我们将这个图与随机面理论中的一个面联系起来,具体办法是这样的:在费曼图
中,给定一个顶点,我们围绕这个顶点画一个多边形,这个多边形的一个边与从这个顶点出去
的一根线段正交。这样,我们得到一个对偶于费曼图的面,其中每一个线段与费曼图的一个线
段正交,每一个面对应费曼图中的一个顶点,而每一个新的顶点对应原来的一个圈。为什么费
劲做这个对偶呢?如果矩阵模型的作用量除了正常的二次项外,只有三次“相互作用项”,这
样任一个费曼图只有三顶点,就是每个顶点只有三条线段伸出。这样,每个顶点对偶于一个三
角形,用我们上面描述的方法我们只能得到一个只含三角形的面。在数学中,这是一个面的三
角剖分。如果我们给与这样剖分中的每一个三角形一个基本面积,这个基本面积对应的权重就
是原来矩阵模型中的耦合常数。进一步,与亏格相关的权重在矩阵模型中就是参数1/N,亏格
越大,这个参数出现的次数也就越多。
不难看出,上面把矩阵模型与随机面对应起来的方法只能产生被离散化的随机面,因为三
角剖分只能是对一个光滑的面的近似。如果矩阵模型的作用量还含有更多高阶相互作用项,那
么得到的随机面理论也就不是纯“引力”理论,这里的引力是两维引力,原则上是平庸的,只
有面积项起作用。比纯引力复杂一点的,是在面上引入一些“物质场”,这些物质场,如果是
标量的话,我们就得到弦的世界面嵌入一个空间中的情形,这是为什么矩阵模型和弦论有关。
1989 年,三个不同的小组令人惊讶地发现了同一个事实,就是,如果将矩阵的阶数推向
无限大,同微调作用量中的耦合常数,就会获得一个完全连续的随机面理论。从我们前面的讨
论,我们知道微调耦合常数是必要的,否则三角剖分永远是离散的。但当维调获得连续面的时
候,每一个亏格的贡献会发散,这时我们就必须取无限大N 极限以获得有限的结果。
这三组人得到同样的结果也并不象表面看起来那样令人惊奇,首先,米格德尔和卡扎科夫
一直在一起研究随机面理论,其次,闲克也去过法国,这是根据道格拉斯的说法。闲克很早前
也研究过大N 矩阵模型。道格拉斯前两天在饭桌上说,格罗斯和米格德尔的第一篇文章含有一
个错误,把非纯引力的部份算错了。当然,这两位是很聪明的人,不久在一篇长文中纠正了错
误,并且给出一个很好的容易理解的表述。在老矩阵模型时髦的时候,人们常常同时引用这三
篇文章,而把格罗斯和米格德尔的文章放在最后,一个可能的原因是,这两位的确是受了其他
几个人的启发。
矩阵模型与随机面的相关在三篇重要文章出现之前已经在卡扎科夫的一篇文章中出现了,
他利用矩阵得到与用其它方法一样的结果。这些其它方法,就是传统的世界面上的路径积分方
法,有两个不同的处理办法。一种是以玻利雅可夫为首的苏联人的办法,在两维的度规中取光
锥规范。另一种是更协变的共形规范,由法国的大卫(F. David)和河合(H. Kawai) 及狄斯特
勒(J. Distler)作出。最早的连续方法也只能算出一些临界参数,而矩阵模型则更有用,可以
相对容易地算出关联函数和高亏格的贡献,这是人们当时为何激动的原因。在亏格为零时,用
连续的方法第一次算出关联函数的是我和马克-古里安(M. Goulian)。我当然一直在研究弦论,
古里安则很早转到凝聚态里去了。现在想想,马克的转行也很自然,因为那时弦论的确处于一
个低潮期,年轻人很容易动摇。记得一次在吃午饭的时候,马克谈他刚刚感兴趣的高分子,施
特劳明格问他,这门学问是什么时候开始的。那年研究这个的德-建(de Gennes) 正好得诺贝
尔奖,施特劳明格说,既然已经得奖了,现在做这个有点晚了吧。说起来漫不经心,实际是一
句至理名言。现在有一些学生问我,弦论正处于低潮,值得进来研究吗?问这样问题的人,往
往对研究的过程不大了解。一个比较成熟的问法是,某莫学科正处于高潮,现在值得进来吗?
因为高潮的原因往往是重要的问题已经被解决。
矩阵模型虽然比连续的方法更有效,却存在两大缺点。一个缺点是,由此得到的两维面上
的“物质”不够多,甚至其自由度比一个自由标量场还小。最大也就是一个标量场,加上由两
维度规中出现的一个场,只有两个标量场,所以弦论最多只是一个两维弦理论。由于在通常的
弦论中,度规中的标量场是脱耦的,所以低于两维的弦论行为很不同,有一个随着空间变的弦
耦合常数,也就是伸缩子不是一个常数,这样的弦论叫非临界弦论。另一个困难是,虽然一些
量如配分函数(相当于场论中的真空图贡献) 可以计算出来,其所满足的微分方程可以逐级地
解出,但要得到严格解,从而是包含非微扰效应的解,并不容易,解也不唯一。
人们尝试了从矩阵模型获得非微扰弦论的信息,结果是有限的。九一年,威顿等人发现两
维的黑洞,这个黑洞的背景从弦的世界面的角度来看是一个可解的共形场论,这引起很多人的
兴趣,可能弦论界很多人对黑洞的兴趣是从这里开始的。遗憾的是,虽然人们花了不少精力研
究这个两维的黑洞,所取得的物理进展很少,也没有人能够成功地找到一个类似矩阵模型的理
论。一批人的兴趣因此转移到研究两维的伸缩子引力及黑洞上面去,文章写了不少,进展甚微。
这样的兴趣,一直持续到第二次弦论革命的开始。
除了一些有限而且很专业的进展,如卡-丘流形上的镜对称(mirror symmetry) 的物理上
的发现,弦论在矩阵模型和两维黑洞后进入了真正的黑暗期,很多人就在此时与弦论说再见,
而另一部份人则脱离了与弦论的经常性接触,虽然并没有完全离开弦论。
注:
威顿是我对Edward Witten 一名的翻译。威顿
去年已经过了50 岁了,但他在物理领域还是很活
跃,创造力也没有明显地下降。他在物理这个学科
的名气大概不比任何一个在世的研究科学的在他/
她自己的学科中的名气小。也许,并不是太夸张地
说,他是有着最大名气的一位。数年前,正是在所
谓的超弦第二次革命中,US News 象往常一样在年
底出了一期介绍美国各大学在本科和研究院上面
的排名,在那一期最后介绍了美国的五名最活跃的
学者。我记得其中有 Andrew Wiles、麻省理工学
院的著名语言学家Noam Chomsky 。威顿是第一位
被介绍的,而Andrew Wiles 是第二位被介绍的,
可见威顿在美国学术界的影响和地位。同样,两年
前,美国的新闻周刊在世界末总结的一期中介绍世
纪的重要人物,爱因斯坦被评为世纪最有影响的人
物,是二十世纪的第一骑士。在另一期的新闻周刊
中,也评出了美国的还活着的50 位最有影响的人
物,威顿也是榜上有名,和麦当娜紧挨着。
这么一个人,在美国公众中应当很有名了,对
不起,美国虽说是科学发展得最好的国家了,一般
百姓对科学没有那么大兴趣。对很多人来说,科学
有点象研究不明飞行物那样的专业,离神秘主义差
不了多少。在美国,出名的科学家是很会搞公关的,
如霍金以及卡尔-塞根(当然霍金是英国人)。威顿
恰恰相反,生性内向,性格和他的身材以及硕大的
脑袋很不一致。
这里不是总结威顿成就的地方,我们主要围绕
一个同学提出的问题,就是,威顿是不是当代牛
顿?我的简短回答是,很象,但还没有象到是的程
度。
说威顿象,主要是从他研究的擅长的角度来
说。他在同行中最有名的,是他的数学能力,这种
能力可能是超弦理论界独一无二的,虽然在这个窄
窄的领域,大概没有人会真心地认为自己的数学不
好。他的数学能力,就目前已有的成就,不下于当
今任何一位数学界的高人,当然,要完全看清他的
成就,还要过很多年。他在1990 年得菲尔兹奖的
时候,不仅数学界,就是很多他的物理同行,都觉
得有点勉强,事实说明,当年极力挺他的阿蒂亚
(Sir Michael Atiyah) 等人的眼光是不凡的。他
当年的工作,虽很有特色,却不是那么出人意外的
新。很多数学界强调严格的“清教徒”更觉得他提
倡的方法不严格。
恰恰是这一点,他很象牛顿。牛顿发明微积分
的时候,出发点是要解决物理问题,要在物理上“严
格”定义速度、加速度等等,所以他的方法对于他
自己来说已经足够严格了。但微积分达到今天的严
格程度,走了两个大步,每一步花了大概一百年的
时间。牛顿的方法是直觉方法,这似乎是每一个大
数学家都具备的,而他处于一个特殊的时代,所以
成就和特点更加特出而已。威顿目前最大的数学成
就,就是用量子场论的结果发明了一个非常“简单”
的计算一种微分拓扑不变量的方法。当他在近8 年
前发现了这个简单的方法时,很多数学界这方面的
专家为之惊奇,因为无论如何,没有物理背景的他
们是很难理解这种方法的,所以他们以为是奇迹。
仅仅这一项工作,就足以使他成为一个了不起的数
学家了,所以1990 年的菲尔兹奖没有给错人。他
还有很多其它方面的贡献。
应当说,和物理结合,是数学在这个世纪的一
大特色。威顿等人提倡的方法和途径,将会有越来
越大的影响。所以,许多数学家开始学习量子力学,
甚至量子场论。
在物理上,他在很多方面也是无人能及的。首
先是他的高产,很多物理学家可能比他更高产,但
不是都能保证高质量。威顿不同,最高产的时候,
一年有近二十篇文章,篇篇精彩。据不完全统计,
他发表了200 余篇文章,每篇文章的平均引用率近
300 次,这在物理学界,包括所有不同的分支,是
第一。就是和生物这样的巨大学科比,也不落后那
些领头的几位多少。
再就是他每做一个问题的速度和完美,大概任
何一位在某个时候和他研究同一个问题的人都有
这种体会。如果不是他在你还没有摸到边的时候就
已解决了问题,就是和你同时做出,但解决的方法
比你的优美,解决的程度比你的彻底。他是一个少
有的能将一个问题解决得干干净净的人,使后来的
人惊讶于他的完美和不可思义。这方面的例子太多
了。
最后,我要讲一下他的缺点,正是这种缺点使
得他不能成为当代的牛顿(当然,牛顿在实验物理
上的贡献,如光学,是现在任何一位理论物理学家
没法比的)。这种缺点可能来自于他的无人能比的
解决问题的能力。他的一篇文章很难挑出什么毛
病,在早期,他的文章虽然在方法上出人意表,但
由于他本人的直觉,每篇写得既全面也易懂,文章
还有一种特别的文风,这在严肃的科学文章来说是
很难的。正由于这样的很少出错,他显得比较保守,
很少写他自己不能肯定是正确的文章。研究学问当
然要严谨,但对第一流的人来说,还要一点大胆,
威顿比较缺乏大胆,所以他也失去很多机会。特别
在发自1994 年的超弦第二次革命中,他虽然是主
要人物,却有几个最大胆、最重要的想法是别人的,
他一旦意识到这个想法的重要性,他很快跟上,并
将这个想法发展到极致。我们可以列出几个人,虽
然总体成就没有威顿那么大,却因为提出一法得到
人们的尊重,如A. Polyakov,J. Polchinski,J.
Maldacena。Lenny Susskind 更是一个极其注重直
觉的人,他在缺乏很多证据和严格的论证的情况提
出了很多想法,后来都证明是对的。当然,'t Hooft,
世纪末的两个物理学诺贝尔奖得主之一,也是一个
很有原始想法的人,虽然他并没有参预超弦的研
究。
威顿很喜欢与他人讨论,但令许多人尴尬的地
方是,他如果没有特别好的建议,他会这样说,然
后完全闭嘴。这和大部份人不同,通常人们在没有
好的建议的情况下也会说点可有可无的,或者似是
而非的话。
威顿本人是很在意他在物理学史上的地位的,
所以他在严肃的场合往往若有所思,也还是那么用
功。1995 年,他处于创造力的巅峰,哈佛大学请他
去作Loeb 演讲,我很惊讶于他的头发已经花白,
那时他不过44 岁。今年8 月,他应邀在北京举办
的国际数学家大会上做一小时演讲,正是中国人直
接接触他的机会。他将是第二次在这样的场合做一
小时大会报告,这在数学家来说也是不得了的荣
誉。陈省身先生也就做过两次这样的演讲。
最后,虽然我不认为他是当代的牛顿,无论从
数学或物理的角度来看,应当说他是我最佩服的人
之一,也是唯一一个他人仅凭努力不可企及的。祝
福他在有生之年达到他事业的真正的巅峰。
Dirac Medal
2002 Alan Guth, Andre Linde, Paul Steinhardt
2001 John J. Hopfield
2000 Helen Quinn, Jogesh Pati, Howard Georgi
1999 Giorgio Parisi
1998 Roman Jackiw, Stephen L. Adler
1997 David Olive, Peter Goddard
1996 Martinus J.G. Veltman, Tullio Regge
1995 Michael Berry
1994 Frank Wilczek
1993 Peter van Nieuwenhuizen, Daniel Z.
Freedman, Sergio Ferrara
1992 Nikolai N. Bogolubov, Yakov G. Sinai
1991 Stanley M,elstam, Jeffrey Goldstone
1990 Ludwig D. Faddeev, Sidney R. Coleman
1989 Michael B. Green, John H. Schwarz
1988 David J. Gross, Efim S. Fradkin
1987 Bryce DeWitt, Bruno Zumino
1986 Alex,er Polyakov, Yoichiro Nambu
1985 Edward Witten, Yakov Zeldovich
Heineman Prize
2002 Michael B. Green,John H. Schwarz
2001 Vladimir Igorevich Arnol'd
2000 Sidney Coleman
1999 Barry M. McCoy,Tai Tsun Wu, and Alexander
B. Zamolodchikov
1998 Nathan Seiberg and Edward Witten
1997 Harry W. Lehmann
1996 Roy J. Glauber
1995 Roman W. Jackiw
1994 Richard L. Arnowitt, Stanley Deser and
Charles W.Misner
1993 Martin C. Gutzwiller
1992 Stanley Mandelstam
1991 Thomas C. Spencer and Jurg Frohlich
1990 Yakov Sinai
1989 John S. Bell
1988 Julius Wess and Bruno Zumino
1987 Rodney Baxter
1986 A. M. Polyakov
1985 D. P. Ruelle
1984 R. B. Griffiths
1983 M. D. Kruskal
1982 J. C. Ward
1981 Jeffrey Goldstone
1980 James Gilbert Glimm and Arthur Michael
Jaffe
1979 Gerard t Hooft
1978 Elliott Lieb
1977 Steven Weinberg
1976 Stephen Hawking
1975 Ludwig Dmitriyevich Faddeev
1974 Subrahmanyan Chandrasekhar
1973 Kenneth G. Wilson
1972 James D. Bjorken
1971 Roger Penrose
1970 Yoichiro Nambu
1969 Arthur Strong Wightman
1968 Sergio Fubini
1967 Gian Carlo Wick
1966 N. N. Bogolubov
1965 Freeman J. Dyson
1964 Tullio Regge
1963 Keith A. Brueckner
1962 Leon Van Hove
1961 Marvin L. Goldberger
1960 Aage Bohr
1959 Murray Gell-Mann
J J Sakurai Prize (APS)
2002 William J. Marciano and Alberto Sirlin
2001 Nathan Isgur, Mikhail Voloshin, Mark Wise
2000 Curtis G. Callan, Jr.
1999 Mikhail Shifman, Arkady Vainshtein,
Valentine Zakharov
1998 Leonard Susskind
1997 Thomas Appelquist
1996 William A. Bardeen
1995 Howard Georgi
1994 Yoichiro Nambu
1993 Mary K. Gaillard
1992 Lincoln Wolfenstein
1991 Vladimir N. Gribov
1990 Toichiro Kinoshita
1989 Nicola Cabibbo
1988 Stephen L. Adler
1987 Luciano Maiani and John Iliopoulos
1986 David Gross, H. David Politzer, Frank
Wilczek
1985 Toshihide Maskawa and Makoto Kobayashi
Lars Onsager Prize (APS )
2002 Anatoly Larkin
2001 Bertrand I. Halperin
2000 J. Michael Kosterlitz & David James
Thouless
1999 C. N. Yang
1998 Leo P. Kadanoff
1997 Robert H. Kraichnan
1995 Michael E. Fisher
Hans A. Bethe Prize
2002 Gordon Baym
2001 Gerald E. Brown
2000 Igal Talmi
1999 Edwin E. Salpeter
1998 John Bahcall
但是第一缕曙光往往是在最黑暗的时候出现的,看到这个曙光的人也是那些没有失掉信心
和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的,却是完成于第二次革命之前的工作。
第七章 先声
(第一节)
本想用“二次革命的先声”作为本章标题,但这样一来太象过去写国民革命的早期的文章
了,故简单地用先声,以期不落俗套。
超弦第二次革命其来也突然,使得很多人一时摸不着头脑,比如像我这样一直没有离开弦
论的人,也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人,似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印
度发生了什么。我在97 年回国访问,很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢当时理论所
的所长苏肇冰先生,是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96 年夏,苏先生就托
他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展,目的是用在他当时向上面要钱的文章里。作为
一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家,这样的态度与国内的一些场论专家形成明显的对
照。我写这一段,用意有二,一是不能忘记苏先生的作用,二是提醒大家前事不忘,后事之师:
虽然弦论在中国已有一定的影响,可是我们过去是怎样对待它的。
超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措,主要原因是它的背景深藏于过去之中,要完
全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K 理论,还
有没有介绍的孤立子理论,以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的一些重要却没
有引起足够注意的发展,如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性,当然最后不能忘记更早
的关于S-对偶的猜测,以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革命的正题前,应先介
绍一下这些背景。
但在介绍这些背景之前,觉得想说点关于中国研究超弦的话,说到哪儿是哪儿。为什么到
现在才提这个话题?或者有人问,为什么要讲这个?主要原因是,最近一些搞物理和数学的以
丘成桐先生为首,在杭州和北京搞了两个超弦的短会,请来了一些弦论界的重要人物,如威顿、
格罗斯、施特劳明格等人,再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金,对学生和新闻界影响
不小,使得弦论从几乎无人注意(当然除了本坛上一些活跃的人和读者以及历年参加国内弦论
会议的人)一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的,司机在得知我是搞理论物理的时
候问我,模世界和我们的宇宙有没有关系?既然弦论在中国已成为公众的话题,谈一下弦论在
中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选弦论作为研究方向,以及希望进入
弦论的学生来说,这个话题是有用的。我已写了二十一节,贡献一节给中国,当然中国对弦论
的贡献远远不到二十分之一。
弦论的祖先之一,散射矩阵理论,在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧先生
的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献,其中值得一提的是戴元本
先生的工作。可惜的是,虽然弦论起源于散射矩阵理论,由於当时中国正处於文革,中国人在
早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论,是在弦论的第一次革命中。记得我第一次听说弦
论,是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。
我个人比较幸运,在弦论的第一次革命后,有机会去意大利的国际理论物理中心,接触到
当时的预印本,见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85 年就开始写关于弦论的不重要
的文章了。在国内,除了理论所外,还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始
注意弦论,当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。
作为作者,总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人,这里也不例外。当时的情况是,科大
的一些人,如方先生和他的学生,开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理,所以将研究
弦论的事情交给他的学生,我是他的学生,高洪波也是他的学生,比我晚些。高怡泓是方的半
个学生,所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话,方先生是间接地做了贡献。
方指导学生做学问的办法是放羊,有草吃没草吃全看学生自己的能力,我是很喜欢这种方法的。
当然,由於方本人不是弦论专家,不能直接告诉我们弦论中哪些是重要问题,这可能会延缓学
生的成长,但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指导的学生来说,成效就完全不同了。
尽管如此,我和高怡泓还是坚持了下来。相反,有一些专门研究场论和弦论老师的学生,却大
部分离开弦论甚至理论物理了。
听说有人有科大“三剑客”的说法,感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”,当年在科
大的确是很“哥们”的,有酒一起喝,有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年前离开弦
论。但他还一直注意弦论的发展,也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工作中
起了很大作用,他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡泓这两柄
秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人,不但独立於老师,也独立於“三
剑客”,这人就是后来很有成就的卢建新。所以说,论对中国弦论界的贡献,科大为第一(仅
卢一人就可以了)。
再谈理论物理所,前面我提到苏先生,他不研究弦论,但对场论和弦论的重视超过很多场
论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师,值得一提的是朱重远老师,他是一直支
持研究弦论的。有意思的是,理论所出来的唯一长期研究弦论的学生,也是他的学生,就是熊
传胜。熊有重要的工作,他和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜由
於我们还不知道的原因,他也离开了物理。
浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生,包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦论,
他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。
复旦大学倪光炯的学生陈伟,也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了,但在
干也许比研究弦论更有用的事:和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。蒙他的鼎
力相助,我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏银子买书,
支持他的出版事业--银子不会到我这里)。
西北大学带出了许多学生,如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之一。
北京的研究生院出了朱传界一人,也是异数。
再往后,弦论在中国越来越不受重视,就很少出人了。我知道的,也就是理论所吴可老师
的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的简史可以
看出,弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入,更寄希望于后来的学生。
(我很可能遗漏了很多,请大家补充)
(第二节)
上一节谈弦论在中国,其实有点离题。没有想到,离题的话居然更有市场,那一节看的人
大概是最多的了。这一节把话题收回来,谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。
最重要的,莫过於孤立子这个概念。在很大程度上,弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论
时的一个设想:在他的一个理想中,存在一个完美的引力理论,所有物质粒子在这个理论中都
是场方程的解。自1994 年以来,孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体,包括弦本
身,都可以看作是孤立子。
孤立子的经验发现虽然很早,可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤
立波,但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上
世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个
独立学科。在很多情况下,孤立子的解看起来很难找到,但在一些简单的模型里可以用简单的
办法找到。
一个线性波动方程的解总是有能量弥散,开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时
间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解,波动方程就必须是非线性的。最简单的
是两维时空中的一个标量场论,其中相互作用的势能是场的四次多项式,有两个极小点。每个
极小点代表一种真空,能找到一个静态解,其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是
连接两个真空点的解,这样的解叫纽结解(kink)。这个最简单的孤子是稳定的,因为它要是能
衰变的话,两个无限远点的真空必须变成同一个真空,这是做不到的。还存在反纽结解,它的
两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起,因为纽
结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的,因为两边的真空是
一样的了,这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。
当时空的维数超过3 时,有一个定理说,如果只存在标量场,就没有孤子解。通常,经典
场的能量可以分为两部分,一部分与场在空间上的变化率有关,另一部分与场的势能有关。空
间变化率越大,场的能量就越大,所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀,从而能量比
较分散。而势能项使得场变得很集中,在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势,
可以平衡时,就可能存在孤子解。在高维的时空中,势能项取得优势,从而不存在孤子解。
在三维时空中,解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减
小标量场空间变化对能量的贡献,从而这一项与势能项可能取得平衡,规范场本身对能量的贡
献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解(vortex),这个解的特点是一个复标量场
的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解,因
为这个解不依赖于第三维,从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-
奥尔逊涡旋解(Nielsen-Olesen)。
两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类,叫拓扑孤子解,因为这两种解中
有一个守恒荷,与拓扑有关。在前者,拓扑荷就是两个孤立的真空之差,是一个固定的数。在
后者,荷与所谓的绕数有关,也就是,绕原点一周,复标量场也在场空间上绕原点一周。如果
表量场绕原点不止一周,拓扑荷就更大。
在涡旋解的情况下,我们又说该解饱和波戈茅力(Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁
理论中,人们可以推出一个能量的下限,当所有的场都满足一些一阶微分方程时,这个下限被
饱和。所以从经典的观点来说,这个解是绝对稳定的。
当时空的维数高于三维时,我们就得引进非阿贝尔规范理论,去得到孤子解。最简单的例
子是一个四维时空中的SU(2)规范理论,加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标
量场有三个份量,数目正好与空间维数相同(与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时,我们也引
进一个势能项,使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解,其中标量场在场空间中的取
向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值,所以标量场把无限远
的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解,所以也是一个拓扑解。
由於关于纯标量场的定理,我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺
成普通的阿贝尔对称,这个一个磁单极解,带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅
可夫与特霍夫特同时在1975 年发现。由於标量场的方向与空间方向一致,长得象一个刺猥,
所以那时又叫刺猥解(hedgehog)。请注意,纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状
有关。我建议大家记住这些名称,因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的
极限,所以这些解统称为BPS 解, BPS 来自于三个人的名字( Bogomol'nyi,Parasad,
Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程,这些方程又叫BPS 方程。
假定时空的维数更高,能不能找到新的孤子解?答案是肯定的。在场论中,下一个例子是
五维时空。这里,我们仅仅应用一下四维时空中得到的解,这个解是玻利雅可夫于1975 年发
现的瞬子解(instanton)。为何叫瞬子解?因为这个解是四维欧氏空间中的解,在场论中类似
于量子力学中的隧道穿透解,不是一个实际发生的过程,而是一个量子效应。这个解仅仅需要
非阿贝尔规范场,并不需要标量场了。在五维时空中,一个静态解不依赖于时间,实际上是一
个四维欧氏空间中的解,所以瞬子解正好应用到这里,变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS
解。
我们提到的孤子解都有一个重要的特点,就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑
的,没有奇异性。如果放弃这个要求,那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一
个小区域的解,例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解,
因为如果象量子电动力学中本来就有电子,这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子,
这个解就毫无意义了。
我不知道在纯粹的场论中,高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。
如果有引力介入,情况就完全不同了。我们可以说,黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有
一个奇点,这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处:第一,黑洞的奇点不是存在
於空间中的某个点,不是在所有时间上都存在的,用行话说,不是一个类时点,而是一个类空
点,突然出现在某个时间上,有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点;第二,黑洞的奇点被一个视
界面藏起来了,站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的,所以这个类似
孤子解的黑洞的存在很容易理解。
所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解,所以我们可以说,与通常的场论不同,引力
理论中总存在孤子解,无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中,
度规本身没有任何自由度,从某种角度来说,自由度甚至是负的。为了引入黑洞,就必须引入
一个标量场,如伸缩场。引进这个标量场后,自由度的个数为零,即便如此,黑洞解就存在了。
在三维时空中,纯引力理论的自由度也为零,如果有一个负的宇宙学常数,黑洞解也存在。
当在一个理论中找到孤子后,接下来有一个量子化的问题,必须考虑所有场的量子涨落对
孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说,
可能存在零模,也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模,这些模又
叫模参数(modui p arameters),因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场,费米
场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的,在空间上的积分是有限的。费米场的
零模,作为一个算子,作用在原来的孤子解上的时候,产生一个新的能量与原来一样的态,这
个态是费米子。在特殊情况下,如在纽结解情形,费米数甚至是1/2。
当存在超对称时,一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称,
能量可能没有量子修正,特别是在这个孤子是一个BPS 解的情况下。BPS 解的能量满足下限,
而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关,明显没有量子修正。当BPS 解同时又不破坏一些超对称的
时候,这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正,拓扑荷也没有量子修正,
所以孤子解的能量没有量子修正。
可能N 等於4 的四维超对称规范理论最为有名,因为这里的孤子解是一个磁单极,有一半
的超对称没有破缺,所以其质量没有量子修正。同时,考虑到费米场的零模后,所有的解形成
一个超对称多重态,而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特点,是该理论
可能存在强弱对偶的一个重要暗示,因为如果用磁单极作为基本变量,我们还是得到一个超对
称规范场论,且耦合常数是原来耦合常数的倒数。
以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力,所以也有不同于以上
孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。
(第三节)
这一节谈谈弦论中所有对偶的最简单的一种,T 对偶。这个对偶的发现比较晚,虽然人们
可能要问为什么不会更早一点。T 对偶又叫“靶空间”对偶(target space duality),这里的
“靶空间”就是一般的空间,叫成靶,是因为弦的世界面被嵌入这个靶空间。顾名思义,这种
对偶是不同空间之间的对偶。
T 对偶是两个日本人于1984 年发现的,其中之一就是我们过去提到过的吉川圭二(K.
Kikkawa,有趣的是,如果你用google 查这个名字,可以找到我先前提到他的那一节)。84 年
弦论刚复活,没有什么人注意到这个工作,后来大家又忙于第一次革命带来的一些时髦的问题,
更没有人注意到这个工作了。最早注意到他们的工作的也是两个日本人,酒井和千田(N. Sakai,
I. Senda),他们的文章是第一个引用84 年的那篇文章的,这是在两年之后。很有意思的是,
吉川和山崎当初写那篇文章的目的不是为了解释T 对偶,而是想通过对紧化后的卡斯米尔能量
的研究来使得紧化稳定。T 对偶不过是他们的意外收获,就是两年后的酒井和千田的文章,也
是想研究环面上的紧致化的真空能量。真正重视T 对偶是1990 年前后。这个事例又一次说明,
很多重要的工作仅仅凭当时人的反映是不够的,有时是错误的。
当空间有一维紧化成圆时,如果没有超对称,一个量子场论会有卡斯米尔效应,同样,一
个弦论也有卡斯米尔效应。要研究这个效应,就必须计算在这个紧化下弦的谱。弦在没有紧化
下的谱很早就为人所熟知,分成质心运动部分和振动部分。同样,当弦在一个圆上运动时,也
分成这两部分,其中振动部分与没有紧化时并无不同。质心部分就很不同了,这时,弦在圆这
个维度方向上的动量不再是任意和连续的,而必须象一个粒子一样,要量子化,这和最早的玻
尔量子化条件并无不同。基本的量子化单位就是一个普朗克常数乘上圆半径的倒数,所以半径
越小,动量的间隙越大。如果我们研究的对象是开弦,故事到此结束。如果是闭弦的话,除了
质心运动和振动之外,弦还可以绕在圆上。开弦当然也可以绕在圆上,但由于开弦的两端是自
由的,缠绕的方式在运动过程中会改变,从而没有一个守恒量与之对应。闭弦的绕数是守恒的,
所以绕数是一个好的量子数,必须出现在单个弦的谱中。不但如此,在弦的相互作用过程中,
弦的总绕数是守恒的,这个很容易通过想象弦的断开和连接来验证。这样,当我们考虑紧化空
间是一个圆时,单个弦的谱中就多了两个分立的量子数,一个对应于量子化的动量,一个对应
于弦的缠绕数。绕数对能量的贡献与圆的半径成正比。
从弦的谱来看,对两个量子数的依赖完全相同,只不过是系数不同而已。如果我们用一个
新的圆代替老的,让新的圆的半径是旧半径的倒数(以弦的长度标度作单位),那么在这个新
的圆上所得到的谱和老的圆上的谱完全一样,换言之,我们看不出这两个理论有什么不同。这
就是T 对偶了,两个理论看起来不一样,实际上是完全等价的。当然,我们要证明这个等价性
还必须证明除了谱之外,弦的相互作用也完全一样。在微扰论中,要证明这一点,只须证明每
个费曼图都相等就行了,也就是说,我们要求在每一个高亏格黎曼面上,两维的共形场论完全
一样。这个是比较容易做到的,因为两个共形场论都是自由场论,计算关联函数是相对容易的。
有一个特别的半径是自对偶的,当它的倒数等于自身时。用弦的长度标度作单位,这个半
径基本上就等于弦的长度标度。半径小于这个自对偶半径对偶于一个大于自对偶半径的半径,
所以自对偶半径可以看作弦论中的最小尺度。T 对偶在90 年左右引起的兴趣基本上就是用来
论证弦论中有最小尺度,当然人们也用弦的散射振幅来说明这一点。
T 对偶在一个量子场论中是绝对不可能的,因为那里没有绕态,所以T 对偶完全是弦的性
质。T对偶的存在说明在弦论中,空间这个概念不是绝对的,是根据定义来的,从而是一个物
理的体现。有人会问,那么当空间中的一维是圆时,我们到底怎么决定它的半径。这是一个很
好的物理问题,回答也是很物理的,就是,要看容易激发的激发态是什么,以及各个态的耦合
强度。我们有两个对偶的理论,弦的偶合强度在原来的全部空间中是不一样的,而在约化后的
空间中(将圆除外)的耦合强度是一样的。假定原来的耦合都是弱耦合,我们就要看轻激发态
是什么。如果其中一个圆的半径大于自对偶半径,那么对应的动量模比对应的绕数模轻,我们
就说物理用的尺子是用动量模构造的,半径是这个大的半径。当这个半径太大时,耦合强度有
可能很大,这时就要仔细分析相互作用带来的后果了。当半径变小,绕数模越来越轻,我们就
可以用这些绕数模构造尺子,量的是对偶的半径,因为在这个对偶理论中,原来的绕数模变成
了动量模。
对于一个简单的圆来说,T 对偶就是简单地把圆的半径换成倒数,这样的操作形成一个简
单的群,就是Z(2)。如果没有T 对偶,我们说由半径这个模参数组成的模空间是一个半直线,
从零到无限大,后者更准确地说,是一个直线,如果我们用半径的对数做模参数。有了T 对偶,
直线在T 对偶的作用下反演了一下,我们将这个直线以自对偶半径那一点为原点对折,得到一
个新的模空间,这是一个半直线。
T 对偶自然地推广到包括更多的圆,这时就有更多的对偶操作,不仅仅是简单的T 对偶推
广。当然每一个圆的方向都可以作原来的T 对偶操作,当维度增多,还有一些纯几何的对称性,
如在环面情形,我们可以将环面的两个方向作交换,也可以选择两个完全不同的基本圆来形成
这个环面。这种纯几何的对称性已经形成一个相当大的群,有无数个群元,可以由两个生成元
产生。原来的两个T 对偶相结合使得整个环面的体积变成原来的倒数,再加上对弦论中普遍存
在的一个反对称张量场做变换,形成另一个群。这两个群的集合就是群SO(2,2,Z), 这里我们
不打算解释这个群的定义,希望学过群论的人一看就知道这是什么。
我们统一地把几何对称和弦的T 对偶叫做T 对偶群,这个群随着环面维度的变大越来越
大,当维度是d 时,这个离散群是SO(d,d,Z), 作用在模空间上。现在的模空间的参数由环面
上的几何参数以及反对称张量场组成。T 对偶群也作用在弦的谱上,作用也有直观的解释:弦
态的动量在环面上有d 个分量,同样,绕数也有d 个分量,由这2d 个整数形成一个2d 维晶格,
SO(d,d,Z)是这个晶格的对称群。当我们观察质量谱时我们会发现在这个群作用下质量谱不改
变。
应当提一下,我们一直没有太强调其它模参数。就世界面上的共形场论来说,只涉及到我
们提到的模空间。当我们考虑弦的相互作用时,就必须计及相互作用常数,这也是一个模参数,
它在T对偶的作用下也会改变。
由于T 对偶的发现和证明一直局限于谱和世界面,这种对偶严格说来只是在微扰论中被证
明。后来人们在简单的圆的情形利用规范对称性来说明T 对偶也是一种剩余规范对称性,这样,
T 对偶应当是一种严格的对称性,在非微扰论中也应当是成立的。
最后,回到T 对偶发现的原始文章,在那里,吉川等人计算了真空能量,发现在自对偶的
半径处能量取极小,这当然是对偶的一个简单结论。
(第四节)
我们前面介绍的T 对偶,既可以用在玻色弦理论中,也可以用在超弦理论中。用于玻色弦
时,情况很简单,无非由一个玻色弦得到另一个玻色弦;用于超弦时,情况稍复杂,在T 对偶
下,IIA理论变成IIB 理论,反之亦然。这个现象有一个简单的世界面上的解释。在世界上,
当我们做T 对偶时,是将动量模与绕量模互换,这个互换可以通过改变世界面上对应的标量场
(即紧化的那个空间) 的左手模的符号达到。由於要保持世界面上的超对称,对应的世界面上
的费米子的左手模也要改变符号。我们知道,时空中的费米子来源于两个雷芒分支,当世界面
上的一个左手费米子改变符号时,其所在的雷芒分支的手征性改变。这样,在T 对偶下,IIB 弦
论中本来有相同手征得雷芒分支变得具有相反的手征性了,这就成了IIA 理论。
T 对偶的存在说明弦论中空间这个概念不是绝对的,是根据动力学和物理解释获得的。T
对偶的一个较为复杂的推广是所谓的镜像对称性(mirror symmetry),这是一个联系弦论和代
数几何的重要现象,我虽不是专家,还是在这里谈一下。
镜像对称性关于IIA 弦和IIB 弦的对称性,只有当紧化空间是卡-丘流形时才有。这个对
称性说,一个IIA (IIB) 理论紧化在一个卡-丘流形上时等价或即对偶于一个IIB (IIA) 理论
紧化在另一个拓扑和几何完全不同的卡-丘流形上。拓扑上的条件是,一个卡-丘流形的凯勒
(Kahler) 形变的参数对应于另一个卡-丘流形上的复结构形变参数。我们先解释这个要求的物
理含义。
在紧化后,我们通常要考虑每个十维的场会产生什么样的四维无质量场。例如,通过引力
场在紧化了的时空方向的份量,我们可以获得四维时空中的标量场。这些标量场的数目往往与
紧化空间的拓扑有关。间言之,一部分份量的零模由卡-丘流形的凯勒形变给出,另一部分零
模由复结构形变给出。巧的是,这两组参数的数目之差等于四维中零质量费米子的代的个数(如
果是杂化弦的话)。在镜像对称性的作用下,上述两组零模互换,总数不变,相差得绝对值也
不变。其实镜像对称性的发现相当晚,直到90 年才有人认真提出来。发现得晚的原因是,这
个对称性在几何上是不可思议的(要求卡-丘流形成对出现),对称性本身只有通过研究世界面
上的共形场论才变得明显。
当我们研究IIA 或者IIB 理论时,世界面上的共形场论具有超对称,即使当一部分空间是
卡-丘流形时,也有世界面上的超对称。此时世界面上有四个超对称,左手分支两个,右手分
支两个(记住在共形场论中这两个分支基本上是独立的)。在每个分支中,更有超共形不变性。
在这里,我们遇到将来经常遇到的概念,就是超对称BPS 态。这里的态指的是世界面理论中的
态,而不是时空中的态。世界面上的超共形代数定义了一些特别的态,叫手征原初态(chiral
primary),这些态带一个守恒荷,而超对称代数表明该态的标度指数(scaling dimension) 等
於这个荷,这个关系是超对称BPS所满足的关系。由於左手和右手都有一个超共形代数,所以
一个完整的算子带两个荷。我们上面所说的两种形变参数对应于这些手征原初态,所以共形场
论的知识决定了卡-丘流形的一些拓扑性质。现在,镜像对称性在共形场论中有很简单的解释,
两个镜像对称的卡-丘流形的描述对应于同一个共形场论,但算子的左手荷的符号被改变了。
一个近乎平庸的共形场论的对称变成了高度非平庸的空间对称性。
后来各种对偶的发展证明镜像对称性不仅有重要的物理应用,也有似乎更重要的数学应
用。现在转到二次革命前的另一个重要发现,规范场论的强弱对偶,又叫S 对偶。要解释这个
对偶,我们要回顾一下狄拉克1948 年关于磁单极的工作。在麦克斯韦理论中,通常只假设电
荷的存在,没有磁荷。在这种情况下,电场和磁场可以统一地写成电磁势,是一个时空中的四
维矢量。如果没有量子力学,将电磁场分开来写或者统一地写完全是个习惯问题。有了量子力
学,这就成为一个物理问题了,很明显,一个电荷在电磁场中应当直接与电磁势耦合,这已经
由阿哈诺夫-玻莫效应的实验所证实。当有磁荷的时候,通常不能直接写电磁势。例如,只有
一个磁荷,也就是磁单极时,我们没有办法写出一个除了在磁荷那一点处处光滑的电磁势。如
果形式上扣除从磁荷处延伸到无限远处的一个半直线,我们就可以写出电磁势。这个电磁势在
扣除了的半直线处无法定义,这个半直线叫“狄拉克弦”。
当一个电荷在磁单极的磁场中运动时,我们还象过去一样假定电荷直接与电磁势耦合。但
是,我们不能假定狄拉克弦真的被扣除,所以电荷本身的波函数应当与狄拉克弦的存在无关,
这个要求导致磁荷和电荷量子化,叫狄拉克量子化。数学上,量子化要求电荷乘以磁荷是整数,
物理上,这个乘积很自然,因为电荷与磁荷的耦合强度既正比于电荷,也正比于磁荷。
狄拉克量子化条件也有一个很漂亮的数学解释。我们用同心球面来描述整个空间,中心就
是磁单极所在处。狄拉克弦与这些球面相交于球面的北极,所以电磁势在北极没有定义,换言
之,磁单极的存在使得电磁势在球面上的一个开集有定义。我们现在将球面分成上半球面和下
半球面,电磁势应当在这两个半球面上分别有好的定义。两个半球面相交于赤道,在赤道上,
两个定义不同,但也只相差一个规范变换,这个规范变换定义了一个纤维丛。考虑电荷在球面
上运动,电荷的玻函数在两个半球面上也分别有定义,在赤道上也相差一个规范变换。我们要
求这个规范变换沿著赤道是周期的,这就给出狄拉克量子化条件。
对於狄拉克本人来说,如果找不到磁单极,虽然有一点遗憾,因为不能很简单地解释电荷
的量子化了,故事也到此结束了。我们并不奢望电磁理论中真的存在磁单极。在有些非阿贝尔
规范理论中,我们两节前说过,真的存在磁单极解,所以在这些理论中我们就不能忽略磁单极
了。磁单极解,由於是孤子解,有一个孤子解的共性,不但所带的磁荷反比于理论中的基本电
荷,其质量也与电荷的平方成反比。当规范理论是弱耦合时,磁荷很大,质量也很大,一般不
介入低能现象。
如果我们考虑电荷与磁荷之间的耦合,由於狄拉克量子化,耦合永远是1 的数量级,无论
电荷本身如何小。如果考虑磁荷与磁荷之间的耦合,耦合强度与电荷之间的耦合强度成反比。
自然地,人们问,有没有可能将带磁荷的孤子看成基本的激发态来构造一个新理论,在这个新
理论中,原来的基本激发态如电荷成为孤子?这是一个非常动人的猜测,很难验证,所以有很
长一段时期没有人认真地对待这个猜测。如果一个猜测是对的,那么新理论就是原来理论的对
偶理论,其中基本相互作用强度与原来的相互作用强度成反比,所以这个对偶叫强弱对偶。
现在看来,强弱对偶不会是普遍成立的。能够找到根据的强弱对偶都涉及到时空的超对称,
最典型的例子是我们提过的N 等於4 的超对称规范理论(super Yang-Mills,经常被简化为
SYM,我在台湾经常看到这个缩写,原来是三阳摩托的简称)。这个对偶是英国人奥立弗-曼通
宁在1977 年首先提出,后经奥斯本(H. Osborn) 指出磁单极只有当有16 个超对称生成元时才
可能组成一个含规范粒子的超对称多重态(79 年)。这个对偶猜想被冷落了许多年,据我所知,
森也许是第一个重视这个对偶的人,他的出发点是弦论,最早的时间是1992 年,后来史瓦兹
也相信了这个猜想。另外,龚特里特(J. Gauntelett) 也在1993 年研究了超对称磁单极的低
能动力学,目的也是为了研究强弱对偶。N 等於4 的强弱对偶不仅仅是简单的强弱互换。在这
个理论中,除了一个耦合常数外,还有一个耦合常数类似一个角,通常称为西它(希腊字母) 角
的,与一个拓扑项有关。这两个常数结合成为一个复数,强弱对偶可以推广为一个变换群,非
常类似两维环面上T 对偶的一个子群,就是SL(2,Z)。
这些对偶变换预言,存在着无限多个磁单极和电荷的束缚态,带有任意整数个磁荷和任意
整数个电荷,这两个整数互素。除了磁单极本身,最简单的束缚态含两个磁荷和一个电荷。这
个束缚态的存在於94 年由森所证明,从而第一次给出强弱对偶的证据。
众所周知,塞伯格和威顿94 年的工作在场论界和弦论界唤起了人们对对偶的兴趣,而这
两个人对对偶的兴趣一部分来自森的工作。当然,很多人许久以前就提出了其它种类的对偶,
由於太缺乏证据,没有人相信,我们下一节谈谈这些“史前”猜想和相关的工作。非常有趣的
是,虽然一般地说强弱对偶比较罕见,却普遍存在於超对称规范理论中。进一步,这些强弱对
偶都毫无例外地可以在弦论中实现。毫不夸张地说,弦论是一切对偶之母(起码目前如此)。
(第五节)
在第二次革命前,一直致力于研究弦论中各种孤子解的,是达夫(M. Duff)。他和他的学
生,如卢建新,以及一些博士后,花了很多精力和时间来研究弦论中的孤子解和分类,也提出
了一些对偶猜想。有些猜想没有太多的证据,特别是涉及到高维膜(brane) 的,有的为后来的
发展证实。他们在九十年代初的努力虽然后来取得丰厚的回报(达夫本人也由此从德州的A&M
(农工) 大学转到密执安大学并在那里成立了一个理论物理中心),在当时基本为弦论界同行所
忽略,这是一件非常可惜的事,否则我们可以想象二次革命可能提前两年发生。
弦论中除了引力场、伸缩子场外,还有常见的两阶反对称张量场以及更多的高阶(低阶) 反
对称张量场。在弦的世界面上,我们通常看到两阶反对称张量场出现,出现的方式类似一个微
分形式在两维面上的积分。这个耦合在弦论的一次革命中就被重视,但奇怪的是直到很晚人们
才意识到这意味着弦是带着这个反对称张量场的荷的。我们知道,一个带电荷的粒子与电磁势
的耦合方式就是电磁势对作用量贡献一个沿着世界线的积分。早在84 和86 年,内泊麦基(R. I.
Nepomechie) 及泰特伯莫(C. Teitelboim) 就指出,一个p+1 阶的反对称张量场的荷是一种有
p 维空间延展的物体,我们常称为p 维膜,或简称为p-膜。
所以,弦论中的弦有一个简单的物理解释,就是这种一维物体其实就是反对称张量场对应
的荷。当然,对于一个封闭的微观的弦来说,我们没有办法测量这种荷所产生的场,原因是只
有当弦是一根无限长的直线时,反对称张量场才有类似库仑场的形式,一个封闭的弦很像一个
电偶极矩,我们稍后再解释为何如此。
弦论中的“孤子”实在是一个大题目,我们也许需要两节才能把来龙去脉大致交待清楚。
我们从推广的狄拉克量子化条件谈起,这也是内泊麦基和泰特伯莫文章的主要结果。假定在一
个D 维时空中,存在一个p+1 阶的反对称张量场,所对应的荷为p-膜。p-膜的世界体是p+1 维
的,所以要求p 不大于空间的维度,也就是D-1。考虑这个膜的延展是空间的一个p 维的欧氏
子空间,其互补子空间是D-p-1 维的,我们通常叫这个互补子空间为横向空间(transverse
space)。p-膜产生一个类似库仑场的反对称张量场,这个反称张量场不为零的分量正好带平行
于p- 膜的时空指标,一共是p+1 个指标,这些方向叫p- 膜的纵向方向(longitudianl
directions)。由于沿着纵向方向有洛仑兹不变性,反对称张量场只是横向方向的函数。
如果扣除p-膜所占的那个p 维空间方向,p-膜看起来就象是一个生存在D-p 维时空的一个
带电粒子。如果D-p 恰恰等于4,我们就得到四维时空中的一个点状电荷。这样我们就可以直
接应用已知的知识,得到一个结论:这个点电荷有一个对偶的“磁荷”,也是点状的。回到原
来的D 维时空,一个p-膜的对偶物体是一个点状磁荷,如果D-p=4。如果D-p 大于4,我们就必
须人为地扣除一些p-膜的横向维度,使得剩下的时空维度等于4,同样可以引入一个“磁荷”,
这被扣掉的维度可以看成是这个“磁荷”所占的空间,也就是这个新物体的纵向方向,所以这
个新物体也是一个膜,其维度是D-p-4。可以直接应用狄拉克的量子化条件,我们得出结论,
一个p-膜和一个对偶的(D -p-4)-膜所带的两种对偶荷满足量子化条件。这是内泊麦基和泰特
伯莫的主要结果。由于后来的进一步发展发现新的对偶,我们将这种对偶统称为电磁对偶。想
提一下,在泰特伯莫的工作后,我、高洪波以及高怡泓用了一个当时很时髦的拓扑方法重新获
得量子化条件。由于这个方法很形式,加之大家本来就不重视这方面的工作,我们的文章没有
人理睬。
从数学上来看,上面的结论很容易理解。p-膜对应的长程场,或可称为规范场,是p+1 阶
反对称张量场,它的场强是一个p+2 阶张量。类似电场的对偶是磁场,这时p+2 阶张量在D 维
时空中的对偶是D-p-2 阶张量场,可以解释为D-p-3 阶反对称张量场的场强。现在,D-p-3 恰
恰是(D -p-4)-膜的世界体的维度。
当D 是4 时,如果p 是零,那么D-p-4 也是零,所以互为对偶的物体在四维中都是点粒子。
我们也可以形式上取p 等于-1,这个“物体”的对偶在四维中就是一个弦。当然不存在维度为
负的物体,但由于此时p+1 是零,这个怪怪的东西可以解释成瞬子,因为瞬子的世界点是零维
的。这个对偶看起来怪,在弦论中是存在的,瞬子的对应的规范场是一个标量场,我们后来会
看到,这个标量场的真空期待值就是西它角。所以,当弦论紧化到四维时空时,总有一个标量
场存在,我们通常将这个标量场称为轴子场(axion)。
当D 等于10 时,也就是所有的超弦理论的基本时空维度,取p 等于1,此时D-p-4 等于5,
也就是说弦的对偶物体是5-膜。5-膜的发现有一个有趣的历史,最早的5-膜应当是施特劳明格
于1990年构造的杂化弦中的5-膜。他利用杂化弦中存在非阿贝尔规范场,所以有瞬子解,将瞬
子解的四维空间解释为九维空间中的子空间,这样这个解不依赖另外的五维空间,解有5+1 维
的洛仑兹对称性,所以是一个5-膜。当然,由于这里是弦论,除了规范场以外,引力场和其它
零质量玻色场也应当是5-膜横向空间的函数。施特劳明格猜测,存在一个以5-膜为激发态的理
论,是杂化弦的强弱对偶。应当注意的是,虽然施特劳明格的5-膜也是弦的电磁对偶,它的性
质与N 等于2 的两个10 维超弦中的5-膜完全不同,我们将来在谈到所谓的D-膜后再回到这个
话题。
取D 为11,p 等于2,我们由一个两维的膜出发,得到其对偶膜也是一个5-膜。很久以前,
人们就知道11 维超引力中含有一个三阶反对称张量场。要到1987 年,以汤生为代表的一些人
才注意到这里有可能存在2 维的膜,其无质量的激发态就是11 维超引力多重态。与弦不同的
是,模的世界体理论很难量子化,即使在最为简化的光锥规范下,也无法量子化,所以膜是否
是11 维超引力的微观理论还是一个没有结论的问题,但有一点没有疑问,就是,模的最低激
发态的确是11 维的无质量超多重态。现在,11 维超引力的微观理论被称为M-理论,其中有2-
膜和5-膜,它的量子力学性质还有待于发展。
1987 年,我正好参加在的里雅斯特的一个2+1 维物理讨论班,汤生的几个合作者都去了。
记得伯格肖夫(E. Bergshoeff) 讲的就是超膜理论,他的开场白说,为什么要研究膜,回答是,
为什么不研究。当时我觉得这个回答太牵强,所以根本不去注意听他的演讲。今天看来,虽然
不得已可以用这样的理由,当时应当可以找到更好的理由来吸引听众的。从听众的角度来说,
“为什么不”这样的理由不能忽略。如果那时听众中有人听进去了,做了一点研究工作,说不
好这样的工作在今天来看就是重要的工作。
如果取D 为6,p 为1,那么弦在六维中的对偶也是弦。的确,六维中的N 等于2 的超引力
中有一个自对偶的两阶反对称张量场,其对应的荷既是电荷也是磁荷,这就是自对偶弦。如果
将弦作为基本激发态,弦的耦合强度不可能太小也不可能太大,因为它是自对偶的,狄拉克量
子化条件完全决定了耦合常数。
在两个N 等于2 的十维超弦中,除了两阶反对称张量场外,还存在着所谓R-R 反对称张量
场,这些场从弦的一次量子化的角度看,来源于雷芒-雷芒分支,所以叫R-R 反对称张量场。
在IIA 理论中,这些场的阶是奇数,对应的膜是偶数维的,有0-膜、2-膜、4-膜、6-膜、8-
膜。IIB 理论中的张量场的阶是偶数,所以膜是奇数维的,有1-膜、3-膜,5-膜、7-膜、9-
膜,甚至还有-1-膜,就是瞬子。这个瞬子是纯粹的引力瞬子,因为这里还没有规范场。所有
的这些膜统一地叫做D-膜。
(第六节)
我们在上一节谈了谈弦论中可能存在的一些膜,这些膜的统一特征是带反对称张量场对应
的荷。如果膜的空间维数高于零,这个荷是延展的,均匀分布在膜上,如同膜上的能量密度一
样。所以膜的存在并不破坏延着膜的纵向方向的洛仑兹不变性。
在对应的低能理论,即经典超引力中,人们可以找到相应的解。解的方式很直接,在大多
数情形下,只要考虑度规,伸缩子场以及相应的反对称张量场。由于纵向方向上的洛仑兹不变
性,度规和张量场只能采取一些特殊形式。人们在解方程之前,可以假设有一个膜提供能量源
及荷。有趣的是,当方程解完了,往往发现其实并不需要能量源:由于度规及伸缩子的关系,
能量源在横向方向的原点往往被一个函数零化了。至于荷的源是否被零化,就要看情况了。这
里主要是看我们处理的是什么反对称张量场。如果是与弦相耦合的内吾-史瓦兹反对称张量
场,则弦或者与其对偶的5-膜的源没有被零化,所以这些解类似电磁理论中的电子,是有奇
异性的,不是真正意义上的孤子解。如果反对称张量场是雷芒反对称张量场,那么荷源也被零
化了,这是真正的孤子解。此时,我们只是解低能引力场方程,能量源及荷源是一种非线性效
应,很像非阿贝尔规范理论中的磁单极解。
这些膜通常破坏时空中的一些超对称,保留一些超对称。简单的世界体是欧氏空间的膜只
破坏一半的超对称,超对称条件往往可以用来简化运动方程,因为这些条件通常是一阶微分方
程。这个事实与所谓的BPS 条件有关,该条件我们在谈孤子时已经解释过。在这种情况下,给
定一个荷,带这个荷的所有可能的物体的能量有一个下限,下限正比于荷。当能量正好是这个
下限时,我们也得到一组一阶微分方程,与用超对称条件得到的方程一样。由于一部份超对称
没有被破坏,可以想象围绕这个孤子膜解的激发态是这些超对称的表示。通过过去研究孤子集
体坐标的经验,我们知道膜的世界体上的动力学一定是超对称的。当然有了解后这个结论是自
然的,但有一段时间人们不知道除了弦外,能否在高维膜上实现超对称。在场论中的膜解最早
发现可以实现的,是泡耳钦斯基和他的两个学生,这个工作在1986 年作出,比他和他的另外
两个学生发现D-膜,要早了三年。
很容易将单个孤子解推广为多孤子解,表示有若干个平行的膜。这些膜由于不破坏同样的
超对称,也是稳定的位行,说明膜与膜之间的相互作用完全抵消。通常,两个膜之间有引力相
互作用,在弦论中,伸缩子所引起的力也是吸引力。由于膜都带同样的反对称张量场的荷,荷
之间引起的是排斥力。很明显,吸引力和排斥力正好抵消。其实,在没有超对称的情况下,如
果满足BPS 条件,孤子之间的相互作用也会抵消,规范场中的磁单极和瞬子解就是这样。
一旦找到了孤子膜解,下一步就是研究在其附近的激发态,特别是所谓的零模,因为零膜
就是集体坐标,控制膜的动力学。一个最简单的例子是对应于时空平移的零模,这些模的存在
对应于一个简单的事实,就是膜的解中有不确定的参数,其中一部份是膜在横向方向的位置。
当这些位置依赖于膜的纵向坐标时,膜的位形在时空中是一个一般的弯曲的超面。由此可知,
这些零膜是局域在膜上的,对应的引力中的解也是局域在膜上的,但可以有一个宽度。
表面上看,孤子膜的解通常是有奇点的,这个奇点可以选择在原点。例如,与弦对偶的5
-膜就有奇点,特别在度规中,有一个看起来是奇点的原点。如果将弦看作理论的基本激发态,
我们应当研究孤子的弦度规,即弦感到的度规是否是奇异的。回答是,几何不是奇异的,只是
弦的相互作用强度在5-膜的中心变成无限大。在IIB 理论中,存在一个二阶的雷芒-雷芒反
对称张量场,所以有对应的1-膜和5-膜,这个5-膜与前面的5-膜不一样,叫做D5-膜。同
样,从弦的角度来看,D5-膜的度规是非奇异的。所以这些孤子膜是真正意义上的孤子。进一
步,如果我们研究弦在5-膜背景下的运动,我们就发现弦的运动方程在任何一点都是定义好
的,不会发生测地线断开的现象:一个无限大的平行于5-膜的弦将花费无限长的时间才能到
达5-膜的中心,换言之,5-膜的位置可以看成视界。
弦本身也可看作是一个孤子解,最早发现这一点的是达波尔卡等人(A. Dabholkar)。虽
然在弦的所在我们不需要能量源,我们却需要二阶反对称张量场的源,就是弦的荷,所以弦很
像电磁理论中的电子,是个奇异解。弦的解中的度规更是奇异的,有一个曲率奇异点,就是弦
的所在处度规的曲率是无限大。达夫和卢建新猜测有一个基本的5-膜理论,这个理论与弦论
对偶。如果这个猜测是正确的,那我们就应当从5-膜的角度来看弦。5-膜与弦度规的耦合不
是通常的耦合,要加一个伸缩子因子,所以5-膜看到的度规不是弦度规。如果将弦的解用5
-膜所”体会“到的度规表示出来,曲率奇异性就消失了。虽然我们不能认真地认为有一个基
本的5-膜理论,这个观察还是很有趣的。弦的相互作用强度在弦的所在位置变成零,这也是
一个合理的结果,否则可能与弦的微扰论
矛盾了。
也许杂化弦中的5-膜值得单独提出来谈一谈,因为这是施特劳明格以及哈维和凯仑(C.
Callan)十年前致力研究的,在经典引力的框架下算是研究得相当透彻的了。杂化弦的特点是
包含规范场,这就有可能将规范场的一些结果应用到那里去。最简单的是四维规范理论中的瞬
子。将这个瞬子嵌入到杂化弦中,六维的时空中的规范场是平庸的,所以我们得到一个5-膜,
其横向方向就是瞬子所在的时空。杂化弦另一个与众不同的是,运动方程要求规范场与曲率有
一定的关系,由两阶反对称张量场联系起来,这样度规自然也不能是平庸的。这样获得的5-
膜与其它弦论中的5-膜不同,进一步,其世界体上的动力学也非常特别,我们将在介绍D-膜
时详细谈这个不同。
史前的关于对偶的猜想有许多是希望高维的膜有基本理论,可以量子化,从而所对应的理
论可以有一个对偶,例如弦/5-膜的对偶。现在看来,高维膜不但很难量子化,可能作量子化
也是没有太多意义的。例如,M 理论中的两维膜就可能除了零质量粒子外,剩下的谱中的物体
都是极不稳定的,很快会衰变成零质量的粒子。
最后,我们谈谈当膜被激发后会发生什么。如果我们坚持在引力中研究这个问题,我们必
须假定激发态沿着膜是均匀的,否则我们无法对方程作出严格解。如果激发是均匀的,那么沿
着膜的能量密度是均匀的,所以膜上面的欧氏对称还在。由于静态的能量不再有洛仑兹不变性,
引力解也破坏了这种不变性,从而类似黑洞的物体可以形成,因为度规的时间分量与其它分量
不同了。赫洛维芝与施特劳明格1991 年就得到了这个解,的确是黑洞。我们后来会看到,膜
的均匀激发态是黑洞的解释将在理解黑洞的热力学上面起到重要作用。
先声就谈到这里,后面我们就要进入第二次革命了。
第八章 第二次革命:场论的发展
(第一节)
使人真正体会到革命的来到,无疑是塞伯格和威顿1994 年夏天的两篇文章。我在第一章
中就提到,当时塞伯格并没有计划去亚斯本参加任何活动,他专程飞到那里宣传他和威顿的工
作。那时有两个讲习班交错地举行,一个和量子色动力学有关,另一个是超对称的讲习班。我
当时参加量子色动力学的讲习班,正在很有兴味地研究量子色动力学中的高能散射问题,不会
想到超弦的长达数年之久的革命就此到来。在大多数人们还在尝试理解塞伯格-威顿的工作
时,纽约时报以一版的篇幅介绍了他们的工作,评价极高。
这件重要工作建立在几个重要的概念之上。第一是塞伯格本人在过去一年发展的全纯分
析:场论中有一些参数和场的期待值,场论以全纯(holomorphic) 的方式依赖于这些量。在复
分析中,我们知道,如果一个函数是全纯的,通常就被确定了。第二是电磁对偶概念,不同于
我们前面谈到的N 等于4 的规范理论,塞伯格-威顿所研究的N 等于2 的理论本身没有电磁对
偶,但由于理论中存在磁单极,电磁对偶以及推广的SL(2,Z)群可以作用在依赖于真空的一些
物理量上面,从而帮助我们理解该理论的一些性质。最后,老的概念如磁单极凝聚所带来的后
果也帮助了他们严格解出低能的作用量。
N 等于2 的规范理论比N 等于1 的规范理论有更多的限制,特别是对超对称多重态和作用
量的可能形式。如果我们将研究范围限制在自旋不超过1 的场,在4 维中只有两种超对称多重
态。一种叫手征多重态,又叫矢量多重态,含一个自旋为1 的粒子,两个标量粒子和两个带手
征的自旋为1/2的粒子。用N 等于1 超对称的术语来说,一个N 等于2 的手征多重态含有一个
矢量多重态和一个手征多重态。N 等于2 超对称的另一个多重态叫“ 超多重态”
(hypermultiplet),含两个带手征的费米子,4 个标量粒子,或者两个复标量粒子。我们可
以仅仅用手征多重态来构造N 等于2 的超对称规范理论,此时理论中没有“物质”,是纯规范
理论。这个时候,手征多重态形成规范群的一个伴随表示,也就是说,对应于每一个规范群的
生成元,有一个手征多重态。也可以引入“物质”,就是超多重态。最简单的情形,这些超多
重态形成规范群的基本表示,这个基本表示可以自洽地与手征多重态耦合。手征多重态与超多
重态的共同特点是,每一个多重态中含4 个玻色子和4 个费米子,比N 等于1 的简单多重态大
了一倍。
塞伯格和威顿在第一篇文章中研究的是最简单的N 等于2 的规范理论,只有手征多重态,
并且规范群是SU(2)。理论虽简单,内容却是出奇地丰富。首先,与N 等于1 的单纯规范理论
不同的是,这里有一个复标量场,所以有许多不同的真空,每一个真空代表一个超选择分支-
也就是说,如果空间无限大,不同真空之间不可以互相过渡。很容易确定所有的规范不等价的
真空:作用量中的势要求复标量场与它的复共厄对易,这样在SU(2)的李代数中它们成正比, 通
过规范变换可以使他们转到嘉当子代数中去, 在这里是一个U(1)子代数。所以,在经典的层次
上,所有的真空由一个复变量来刻画,就是复标量场在U(1)中的真空期待值。一般地,当标量
场有真空期待值时,原来的对称性破缺到U(1),除了这个U(1)手征多重态保持零质量,其余的
粒子通过黑格斯机制获得质量。这些有质量的粒子都是带电粒子,带未破缺的U(1)的电荷。N 等
于2 的超对称限制,不可能加上任何非平庸的超势,从而真空简并不可能被破坏,这样,将量
子效应计入,真空还是由一个复参量来刻画。
同样由于多了一个复标量场,理论中存在磁单极解,这个解完全等同于我们介绍过的磁单
极。不但如此,磁单极还可以带“电荷”,也就是理论中SU(2)未破缺子群U(1)的荷。其实,
存在无限多中既带磁荷又带电荷的双子(dyon),这些双子是BPS 态,所以质量完全由他们所带
的荷所决定,当然,这些荷通常有量子修正。要强调一下,所有的双子形成超对称的超多重态,
因为最大的自旋是1/2。
N 等于2 的低能的、含导数不超过两次的有效作用量完全由一个全纯函数所决定,这个函
数叫初势(prepotential)。初势是真空参数,即标量场真空期待值的函数,它的二次导数决定
了真空模空间(参数空间)上的度规,所以必须是正定的。在经典意义下,二次导数的虚部正
是规范耦合常数的倒数。在量子层次上,我们定义这个虚部就是有效耦合常数,包括圈图修正
以及非微扰修正。事实上,N 等于2 的贝它函数在微扰论中只有单圈图的贡献,从而我们期待
初势除了单圈图的贡献外,只有非微扰贡献。塞伯格-威顿的结果显示,这些非微扰贡献都是
瞬子的贡献。
由于初势的二次导数与耦合常数有关,这个函数要正定的话就必须有奇点,这是复分析的
结果。为了保证物理没有奇异性,塞伯格和威顿引进了一个新的函数,使得真空模空间上的度
规是这个新座标与以前老座标(标量场的真空期待值)的一个简单二次型的“拉回”(pullback),
这个新的标量代表的是磁单极相应的场,但不是什么真空期待值,因为一般情况下磁单极的质
量不为零,不会发生凝聚。引入了这个新的参数后,度规有明显的SL(2)不变性,也就是推广
了的强弱对偶。但我们再次强调,这不是物理上的强弱对偶,因为新的标量没有一个无质量的
磁单极与之对应。但是,在双子的质量公式中,这个新的标量与电荷标量同等地出现,所以双
子譜有明显地SL(2)不变性。据我看来,引入磁标量是塞伯格-威顿工作中的最大胆的一步,
也是最关键的一步。从场论的逻辑来说,这一步没有证明,自洽的结果将支持这个大胆的假设。
前面说过,在微扰论中,初势只有单圈图的贡献。当标量场的真空期待值很大时,非微扰
的贡献越来越小,因为瞬子的作用量越来越大,从而贡献成指数衰减,换成标量场的函数,成
负幂次衰减。这个理论又是渐进自由的,所以当真空期待值很大时,我们可以相信微扰论的结
果(除了那个渐进自由理论中的普适质量外,真空期待值是唯一的质量标度)。这样,初势在
真空模空间上无限远处的性质就被决定了。由于标量场的反演对称性,我们用标量场平方的真
空期待值来参数化模空间。由于这个全纯函数在无限远处有个对数分支点,绕无限远点一圈,
电标量和磁标量都发生变化,这个变化可由一个线性矩阵表示。其实,这两个标量形成模空间
上的一个两维的矢量丛。
接下来是塞伯格-威顿文章中的关键一步。既然无限远处是矢量丛的一个和乐(holonomy)
不平庸的点,那么由于模空间本身的拓扑平庸性,必须存在更多的和乐不平庸点。当这些点出
现时,物理的原因是什么呢?经过一番讨论,他们确定,唯一的可能是当新的奇点出现时,某
些粒子的质量趋向零,而这些粒子的自旋不超过1/2,只有双子才是可能的选择。所有奇点的
和乐形成SL(2)的一个子群,他们进一步论证,由于度规的正定性,这个子群不可能是可交换
的,这样要求除了无限远点外,至少还有两个奇点。
当这些奇点发生时,某些双子变成无质量的。如果磁单极变成无质量,那么那个磁标量为
零(通
过双子的质量公式),同时规范场的耦合常数变成无限大(因为磁标量的一次导数与耦合
常数成反比),也就是说原来的规范理论在这个奇点附近是强耦合的,从而相应的磁耦合是非
常弱的。磁单极含有一个标量粒子,如果质量为零,可以凝聚,也就是可以认为地使磁单极场
获得真空期待值。一旦磁单极凝聚了,色禁闭就要发生,理论中不再存在无质量的粒子,而真
空简并也消失了。如何达到这个目的呢?在原来的理论中,我们尝试加一个N 等于1 的手征场
的质量项。当该项存在时,理论只有N 等于1 的超对称,一般认为真空是唯一的,并且色禁闭
也将发生。但是如何使得本来是无质量的矢量粒子获得质量呢?最可能发生的是矢量粒子通过
黑格斯机制获得质量。黑格斯机制要求存在无质量的标量粒子,现在磁单极正好满足这个要求。
所以磁单极通过对偶的(即磁理论)的黑格斯机制使得光子获得质量。这对超势的要求同时给
出磁单极的凝聚值!
以上的分析支持新的奇点中的一个对应于磁单极成为无质量粒子的图象。在这一点,磁单
极是弱耦合的,可以应用微扰论,这一点附近的两个标量函数可以确定下来,从而这个奇点的
和乐也就确定了。现在,选择极小的可能:在无限远点和这个奇点外只存在第三个奇点,第三
个奇点的和乐由前两个和乐所决定。在第三个奇点,一个双子变成无质量的粒子。有了三个奇
点的和乐以及全纯性质,下面就不难通过复分析解出整个模空间上的两个标量函数,从而解出
初势了。所有这些函数与椭圆函数有关。事实上,原标量场平方的真空期待值是一个椭圆曲线
的模参数,而真空的模空间参数化了这组椭圆曲线。后来人们将这些椭圆曲线称为塞伯格-威
顿椭圆曲线。
最后,初势的二次导数给出有效耦合常数,以标量场的真空期待值展开,不难获得单圈贡
献以及瞬子贡献。
希望以上的冗长的文字描述能帮助大家了解哪怕是一点点塞伯格-威顿理论。如果想进一
步理解这个在历史上有着重要地位的进展,还需要阅读他们的原文。
(第二节)
我们前一节介绍塞伯格和威顿在1994 年发表的两篇著名文章的第一篇,研究N 等於2的纯
规范理论,规范群为SU(2),这很快为其他人推广到更为一般的群。这里再简要说一下塞伯格
和威顿的结果。这个理论有无限多个真空,为一个复变量所参数化,就是黑格斯场的真空期待
值。低能的有效作用量完全被一个叫初势的函数所决定,初势给出真空模空间上的一个正定度
规。这个初势以及同样重要的电标量场和磁标量场都可以通过一组椭圆曲线来决定,每一个真
空对应一个椭圆曲线。在模空间上的两个奇点处,磁单极或者一个双子的质量为零,奇点对应
于一个简并的椭圆曲线(就是环面变成了一个圆)。如果给黑格斯场一个质量,磁单极(或双
子)发生凝聚,色禁闭发生。
在第二篇文章中,他们将这些结果推广到有超夸克的情形。这些超夸克是N 等於2 的超多
重态,同时也形成规范群SU(2)的一个基本表示,一个这样的超多重态叫一代。通过对单圈图
的分析,当只有少于四代的超多重态时,理论在高能区是渐进自由的。当有四代超多重态时,
单圈图对耦合常数没有修正,他们猜测,也没有非微扰的修正,这样和N 等於4 的纯规范理论
一样,四代的N 等於2 的理论是共形不变的,同样也有强弱对偶。不但如此,由於SO(8)作用
在超多重态的费米场上,还有所谓的三重对称性(triality,因为SO(8)的基本表示和两个旋
量表示都是8 维的,它们有交换对称性,而理论中的BPS 态也有这种对称性)。
由於引进了超多重态这样的物质场,理论就变得很复杂,一是粒子谱本身就复杂,加上可
以给每个超多重态以不同的质量,理论有不同的能区。在没有物质场时,纯规范理论的真空中
非阿贝尔对称性破缺成U(1)对称性,我们叫这些真空形成的模空间为库仑分支,因为长程力是
库仑力。当有物质场时,超多重态中的标量场,如果没有质量的话,也可以获得真空期待值(这
些方向往往叫做平方向,flat directions)。如果仅有一代,要求势能为零的条件,所谓D 条
件,不允许有任何真空期待值。当代数超过一时,就会有新的平方向,在这些方向上原来的矢
量多重态中的标量场不能有真空期待值,而在新的真空模空间的分支上,规范对称性完全破缺,
所以这些新的分支叫做黑格斯分支。库仑分支和黑格斯分支只在某些点相交。
当有两代超多重态时,有两个黑格斯分支,每个分支是两维复空间,与库仑分支相交于原
点(在这一点上经典理论中所有的标量场为零)。当代数超过三时,只有一个黑格斯分支。当
然,塞伯格和威顿没有研究超过四代的情况,因为这个时候理论不在是渐进自由的或者共形不
变的,从而存在兰道极点,理论在微观上没有定义。
所有这些理论都有新的整体对称性,这些对称性有一部分是手征对称性,和量子色动力学
一样。当矢量多重态中的标量粒子被人为地加上质量时,超对称破缺为N 等於1 的超对称,库
仑分支也变成一点或两点,也就是说只有有限几个真空。在这些真空中磁单极发生凝聚,色禁
闭发生。如果有无质量的夸克,人们预期手征对称性破缺,这个预期的确在这里得到证实。手
征对称性的破缺会产生pi 粒子这样的介子,是哥德斯通粒子。
回到N等於2 的超对称情形,我们主要感兴趣的是量子效应如何修改真空模空间的结构,
从而决定低能有效作用量,以及稳定的粒子谱。当一些物质场没有质量时,存在黑格斯分支,
这些分支都是复空间, 复维数是偶数。进一步, 这些空间都是所谓的超凯勒空间
(hyper-Kahler),度规为对称性所唯一决定,只是其绝对归一化由无限远处即渐进行为所决
定。可以说,没有量子修正,从而原来有的奇点还存在。
库仑分支就完全不同了。和纯规范理论一样,库仑分支还是一个一维的复空间。和纯规范
理论不同的是,此时奇点的个数以及奇点的行为(如绕奇点一圈的和乐)依赖于物质场的代数
及质量。无限远点依然是一个奇点,它的和乐由单圈图决定,从而与代数有关。与纯规范理论
相同的是,电标量和磁标量作为模参数的函数有非微扰的贡献,还是瞬子贡献,这些贡献依赖
于代数,因为不同的代数有不同个数的费米子零模,而瞬子的个数的贡献取决于这些零模。一
般地,只有偶数个瞬子才有贡献。
当物质场有质量时,BPS 粒子谱也依赖于这些质量,从而质量公式里有三个量子数,两个
是以前的,电荷何磁荷,第三个是对应于这个夸克质量的量子数,是一个整体U(1)对称性的荷。
这样,质量公式不再有原来的某种SL(2)对称性,从而围绕一个奇点的和乐也不是S:L(2)的一
个元了。
塞伯格和威顿对所有情况下的模空间的奇点做了仔细的分析,结果自然十分复杂。举例来
说,在三代的情况下,假如所有的物质场有同样的质量。当这个质量很大时,在很远处有一个
奇点,因为在这个点,双子的质量公式告诉我们有带电的零质量粒子。因为物质场的质量很大,
模空间上靠近原点的低能有效理论等价于纯规范理论,当然这个纯规范理论的能标与三代理论
的能标以及物质场质量都有关系。这个纯规范理论有两个奇点,这样,加上无限远点和较远的
那个奇点,理论中共有四个奇点。
如果将三代的情况研究清楚,低于三代的理论可以通过研究重正化群得到。当然,如果四
代的情况知道了,连三代的理论都可以推出。奇点的情况就是这样通过逐步降低代数获得的。
当奇点的个数知道了,以及每个奇点附近的零质量粒子也知道了,接下来就可以研究每个
奇点的和乐。所有的和乐知道了,就可以导出塞伯格-威顿椭圆曲线,从而决定低能有效理论。
他们其实是从一代的情况开始研究椭圆曲线的。当超多重态的质量为零时,模空间的有限部分
有三个奇点。当物质场有质量时,椭圆曲线是能标和质量的多项式,这个多项式可以通过分析
瞬子贡献以及联系纯规范理论来获得。
当有两代物质场时,无质量的情况下有两个有限的奇点,同样,无质量的三代理论也只有
两个有限的奇点。椭圆曲线用同样的方法得到,只不过曲线公式越来越复杂。这些公式相互之
间是自洽的:比方说,在三代的情况下,如果将一代的物质场的质量推向无限大,同时保持低
能的特徵能标固定,我们应当获得两代的理论。
最后,四代的理论最为复杂。当物质场的质量都是零时,这是一个共形不变的理论,类似
N 等於4 的超规范理论。由於没有量子修正,电标量和磁标量的公式很容易得到。但模空间的
库仑分支上的几何,虽然是真空期待值的简单函数,却是耦合常数的复杂函数。必须强调的是,
与渐进自由理论不同,那里没有耦合常数,只有能标,这里没有能标(共形不变),只有耦合
常数。没有理由认为椭圆曲线也由一个耦合常数的多项式来刻画,事实是,椭圆曲线由耦合常
数的两个椭圆函数来刻画。这个事实也证明了四代理论也有强弱对偶,其实是比强弱对偶更大
的对偶:SL(2)不变性。所以,从很多性质来看,四代理论很象N 等於4 的规范理论。当四代
物质场获得不同的质量时,椭圆曲线也可以确定。自然,这些结果可以用来推出小於四代的理
论。
最后,我们谈谈威顿将他们的结果用到四维流形的数学上面,这是在数学界引起相当大的
震动的工作,虽然在物理界几乎没有引起什么反应(当然弦论的研究者喜欢将这个工作作为场
论和弦论对数学有重要应用的一个典型来引用)。数学在80 年代末获得关于四维流形的微分
拓扑不变量的一个重要结果,就是唐纳德逊不变量( Donaldson),这些不变量由研究四维流
形上的自对偶规范场获得。一个自对偶规范场就是瞬子解,所有这些解形成空间,其维数和四
维流形的拓扑以及瞬子数有关。唐纳德逊不变量是瞬子模空间上的一些积分。维顿于88年在阿
蒂雅的启发下发现这些不变量对应于一个拓扑量子场论中的关联函数,而这个拓扑场论可通过
修改N等於2 的规范理论中的超对称获得。这种修改是将一些超对称生成元由旋量变成标量,
所以叫扭变(twisted)。标量的超对称可以看成BRST 的对称生成元,所有可观测物理量在这
个被扭变的理论中都是BRST 不变的。威顿指出,由於理论的作用量本身是一个量的BRST 变换,
所以场论中的关联函数不依赖于耦合常数,也不依赖于四维流形上的度规。将度规变得任意小,
理论趋於紫外极限,所有的关联函数成为瞬子模空间上的积分,从而是唐纳德逊不变量。这个
结果只是指出数学上的不变量和量子场论的关系,对数学上如何计算这些不变量毫无帮助。
另外一个极限显然是红外极限。但在红外极限下,理论是强耦合的,所以乍看起来红外的
计算更为困难。94 年夏天之后,塞伯格-威顿在平坦的四维空间解决了低能问题,所以威顿
本人开始考虑红外的结果在数学中的应用。在低能极限下,真空的模空间上通常有一个零质量
的光子,但这个简单的理论对拓扑场论中的关联函数没有贡献。当我们趋向两个奇点时,出现
新的无质量粒子,就是磁单极和双子,这些新的场和光子耦合对关联函数有贡献。类似紫外的
情况,这些贡献很大程度上决定于“经典”理论,而经典理论就是解电磁场与磁单极场的耦合
方程。威顿将这个方程组叫作磁单极方程。这些方程的解通常是分立的,可以定义有关的一些
拓扑不变量。将两个奇点的贡献加起来,就获得了拓扑场论中的关联函数的生成函数。威顿并
说明,奇点附近的真空对这个生成函数在红外极限下没有贡献。由於磁单极方程是阿贝尔的,
解的性质容易研究,这就帮助计算唐纳德逊不变量。从物理的角度,他的结果很容易理解,而
从数学的角度,就很不可思议了。
其实,后来弦论的发展带来许多数学的结果,从数学的角度都很难理解。当然,即使是物
理本身也没有完全理解机制问题,如强弱对偶,还有许多要去理解的。这就说明,将来无论是
物理上还是数学上,场论和弦论都会有很大的发展空间。
(第三节)
可以不太夸张地说,第二次革命中纯粹场论的发展,主要工作在94 年就结束了。我们前
面介绍了最有影响的工作,塞伯格-威顿理论。在这个工作前后,塞伯格自己也作出非常重要
的工作。利用超对称所带来的好处,如超势的全纯性,来研究N 等於1 的超对称量子场论,开
始于塞伯格,但在他和威顿的工作之前,还没有带来太大的影响。从93 年开始,他和一些合
作者陆续获得一些非微扰的结果,这些结果当然到他和威顿的工作和他自己关于N 等於1 的强
弱对偶的工作发展到极致。
要了解他的关于现在称为塞伯格对偶,也就是我们一开始说他因这个工作只能做卡车司机
(与威顿比),的工作,我们要稍微谈谈量子场论中各种相。其实我们已经介绍了库仑和黑格
斯相,现在重复一下。库仑相就是在这个真空中,只存在阿贝尔规范对称性,长程力是由一个
或若干个光子引起的库仑力。在黑格斯相中,没有任何无质量粒子,原来的规范对称性完全由
黑格斯机制所破坏。还有第三种相,就是也提到过的色禁闭相。在这个相中,不存在有限能量
的非色单态,任何带色的态都被禁闭了。一般地说,在这个相中,粒子谱全都是有质量的,类
似量子色动力学,其中有胶球,可以看作是胶子形成的色单态,也有夸克形成的介子和重子。
介子由一个夸克和一个反夸克组成,重子由N 个夸克组成,这里N 是规范群的阶,也就是颜色
的个数。在色禁闭相中,也可能存在无质量的色单态。最后,还存在一种态,是塞伯格的工作
中所强调的,叫非阿贝尔库仑相,其中规范对称性没有破缺,但是也没有色禁闭,相互作用可
能是强的,也可能是弱的。当然,最典型的非阿贝尔库仑相是N 等于4 超对称规范理论中模空
间上在原点的相。通常,这些相有共形不变性。总结一下,四维的量子场论可能有四种不同的
相。
色禁闭相应当在通常的量子色动力学中发生,但是到目前为止这个自然的猜测还没有理论
上的证明。同样,色禁闭也在一些N 等於1 的超对称规范理论中发生,这个已被塞伯格-威顿
的工作所证实。一个最为流行的色禁闭机制是磁单极凝聚,这早在量子色动力学被提出的初期
已为曼德斯塔姆和其他人所建议,但是,纯粹的量子色动力学中并没有独立的磁单极。而N 等
於2 的规范理论中有,所以当超对称破缺为N 等於1 时,色禁闭通过磁单极凝聚发生。为什么
磁单极凝聚了就不会存在色单态呢?这是超导现象中的麦斯纳效应(Meissner effect) 的一
个简单推广。我们知道,超导电现象的机制是电子对的凝聚。一个电子对是玻色子,可以发生
爱因斯坦凝聚。当凝聚发生时,任何外界的磁场都不可能进入超导体。如果我们人为地在超导
体的内部放一对磁单极,那么磁单极的磁场被压缩成一条很细的磁力线管,从磁单极通向反磁
单极,因为磁通量必须守恒。这根磁力管带有能量,很像一根弦。如果超导体无限大,而我们
尝试放一个磁单极进去,就会有一个无限长的磁力管出现,从而能量无限大。如果我们将磁荷
解释为色,那么色单态有无限大的能量。现在,我们将这个麦斯纳效应推广到规范理论,将磁
荷与电(色)荷互换一下,以前是电荷凝聚,现在变成磁单极凝聚,以前是磁荷禁闭,现在就是
色荷禁闭了。N 等於1 的量子色动力学除了包括N 等於1 的矢量多重态(含规范场和胶微子,
后者是费米场),还可以含手征多重态。每一代有两个手征多重态,一个是规范群的基本表示
(如果规范群是SU(N)),一个是反基本表示,可以有若干代。N 等於1 的量子色动力学大概是
最接近量子色动力学的理论了,与没有超对称不同的是,很多性质可以通过全纯分析和超对称
的其它性质获得。
这个系列理论的贝它函数,也就是耦合常数随著能标的变化,和质量的反常指标有一个严
格的关系。当代数小於色的个数时,理论是渐进自由的,所以应当有色禁闭。当标量夸克没有
质量时,存在许多平坦的方向,这些平坦方向克由介子场(和标量夸克成双线性关系)来描述。
事实上是,当代数小於色的个数的三倍时,理论总是渐进自由的,但理论的红外行为不仅仅是
禁闭相,可以有其它不同的相。如果代数超过颜色的个数,还可以用标量夸克来构造重子场(一
个重子含N 个标量夸克),理论的平坦方向由介子场和重子场一同描述。
当代数小於色个数,超势早在83 年就由塞伯格和他的两个合作者严格地算出来了,这个
超势是介子场的函数,包括瞬子贡献,在介子场的“原点”处不是解析函数。其实,当夸克无
质量时,超势没有极小,所以没有稳定的真空。这种跑离现象(runaway) 在超对称理论中比
较常见。
理论的性质与代的个数密切相关。当代数大於色的个数加一时,真空的模空间没有量子修
正。当代数等於色的个数时,模空间有量子修正,这个修正与理论的能标有关(记住在一个渐
进自由的理论中,物理参数不是耦合常数而是特徵能标)。当代数等於色的个数加一时,量子
的模空间和经典的模空间一样,但是作为奇点的原点的物理解释不同:经典理论中是无质量的
胶子等等,量子理论中是无质量的介子和重子。
当代数超过色个数的三倍时,理论不再是渐进自由的,而在红外极限,理论完全是自由的,
所以是一个平庸的共形场论。因此,塞伯格集中精力研究代数小於色个数的三倍情形。当代数
同时又大於色个数的3/2 倍时,他猜测理论在红外有一个不动点,也就是说贝它函数有一个非
平庸的零点,从而红外的理论是共形不变的。但这个理论显然不是自由的,因为理论在紫外才
是渐进自由的。
利用四维的超共形代数,可以推出一些严格的结果。例如,理论中存在一些所谓的手征算
子,类似希尔伯特空间中的BPS 态(对於一个共形场论来说,一个算子的确对应一个态,这个
态可以用算子插在原点来产生)。和所有BPS 态一样,一个手征算子的维度和它所带的一个中
心荷成正比,这个荷就是超量子色动力学中的阿贝尔R 对称性。所以,质量所对应的反常指标
就可以严格地算出来,代入我们前面说的贝它函数,就发现贝它函数的确为零。
当代数变小时,理论在红外的耦合越来越强,所以塞伯格寻求一个对偶理论,其红外耦合
在小的代数时是弱的。可以容易地看出,当介子场和重子场都没有期待值时,理论中的整体对
称性不应发生变化,从而在对偶理论中,这个整体对称性也只能由同样多的代数的超夸克来实
现。所以,两个对偶理论中含有同样多的手征超多重态。可以进一步证明,色的个数在对偶理
论中不同了,是代数减去原来的色的个数。
色的个数可以变化当然是强弱对偶的一个令人惊讶的结果。仔细一想,其实也可以理解,
规范对称性本身和整体对称性不同,后者是真正的对称性,而前者是一种描述的方便,可以说
是多余的对称性,例如我们考虑物理态时,总是要求态是规范不变的。
可以在新的对偶理论中构造重子,由於色的个数小於代数。但不能构造原来理论中的介子,
因为新的标量夸克的中心荷与原来的不同,所以要引入新的独立的介子场。塞伯格研究了所有
可能研究的性质,发现这个对偶猜想是自洽的,比如对偶的对偶回到原来理论。他猜测,对偶
的理论中的基本变量应当是磁荷。当代数小於色个数的三倍而大於色个数的两倍时,原来的“电
理论”是弱耦合的,红外极限是是弱耦合的非阿贝尔库仑相。我们前面说过,当代数大於色个
数的三倍时,电理论不再是渐进自由的,而红外极限是没有相互作用的库仑相。如果我们进一
步降低代数,到比色个数的两倍小时,电理论在红外变成强耦合的,而磁理论则是弱耦合的,
所以这是磁非阿贝尔相。磁理论可以一直延伸到小於色个数的3/2 倍,此时电理论的耦合无限
大,而磁理论是完全自由的。
所以,塞伯格对偶的好处是可以对任意代数作研究,一个理论的耦合变强了,其对偶的理
论的耦合就变弱了。
塞伯格-威顿理论后来在弦理论中有若干种实现,也就是说弦理论可以用来证实他们的工
作,甚至可以走得更远。同样,塞伯格对偶后来在弦论中也有不同的实现,这些都是后话了。
在写这一节的时候,超对称规范理论又有新的发展,这些发展与老的矩阵模型有关,我们在这
个系列中也许有机会提到。
第九章 第二次革命:弦论中的对偶
(第一节)
场论中的对偶如果是令人惊讶的,那么弦论中的对偶就是令人震撼的。94 年塞伯格-威
顿的工作带来一波研究超对称场论的热潮,一直持续到下一年,后来在弦论中还一而再、再而
三地出现。这个热潮却使得人们几乎完全忽略了94 年秋季的一项重要工作,就是胡耳和汤生
的关于弦论对偶的猜测。
这些猜测建立在过去的若干工作基础上,如芳特(A. Font) 等人的工作和森以及史瓦兹
的工作。他们的工作主要是针对维象上最吸引人的弦论:4 维的杂化弦。而胡耳和汤生的工作
主要针对型II 弦论,虽然也涉及到杂化弦。
重视他们工作的可能只是少数几个人,包括威顿、森和史瓦兹。仅仅5 个月后,威顿在95
年南加州大学的超弦年会上公布了他的关于弦论中对偶的结果,这才将弦论界的目光引导弦论
上来。
我们先介绍胡耳和汤生的工作。这是一个相当有远见的工作,预见到后来许多弦论对偶,
可惜被人们忽视了一段时间。威顿后来的工作研究了更多的对偶,在细节方面为对偶提供了很
多证据,但就原创性来说,比之胡耳和汤生的工作似乎还稍有不如。胡耳和汤生的主要贡献是
提出了低维型II 弦论的所谓U 对偶,以及一类四维杂化弦与一类四维型II 弦的对偶。他们甚
至还提到了11 维超引力的可能作用。
U 对偶的字母U 的含义是统一(unity),就是弦论中的T 对偶和强弱对偶的统一。这里的
强弱对偶在形式上和我们上一章中讨论的N 等于4 超对称规范理论的强弱对偶完全一样。这个
强弱对偶被森等人推广到四维的含有N 等于4 超对称的杂化弦中,强弱对偶的群是SL(2,Z),
也就是模为一的整数一般线性群。在规范理论中,这个群作用在一个复耦合常数上(实部为西
它角,虚部是规范场耦合常数),在杂化弦中,群作用在一个复标量场上。这是一个重要的变
化:在弦论中,没有自由的无量纲常数,任何这样的常数一定和一个标量场有关。
可是在胡耳-汤生之前并没有人猜测四维的N 等于8 的弦论中有强弱对偶,他们只是简单
地认为如果杂化弦有,那么型II 弦也应当有。弦论在四维的T 对偶群是一个极大的分裂正交
群-所谓极大分裂的含义是,第一,群是非紧的,第二,群是极大非紧的,它的极大交换子群
是一些实数群(R)的乘积。我们在第七章第三节中已经介绍了T 对偶,在四维中,型II 弦的T 对
偶群是SO(6,6,Z)。四维的极大超对称弦论是由型II 弦紧化在6 维的环面上获得的,所以弦谱
中含有6 个动量模和6 个绕数模,T 对偶群是这12 个模的转动变换。在四维中,强弱对偶群
作用的复标量场的实部是一个雷芒-雷芒标量场,而虚部是伸缩场(决定弦的相互作用强度)。
在T 对偶变换下,雷芒-雷芒场也作变换(是T 对偶群的一个旋量表示),所以,T 对偶群和
强弱对偶群不可交换。它们共同生成的群是它们的简单乘积要大,这个群就是U 对偶群。在四
维中,这个群是E(7,Z)。E 是例外群,而这里采取的形式不是通常的紧群,是极大分裂群,即,
它的极大交换子群是实数群的乘积。E(7)有7 个实数因子。
对于胡耳和汤生来说,U 对偶群的出现是自然的,因为N 等于8 的超引力恰恰就有这个对
称性,而E(7)这个群是以连续群的形式出现的,不是U 对偶的分立群。它包含SO(6,6)和SL(2),
在弦论中由于动量和绕数的量子化,前者必须是分立的,所以,后者也应当是分立的,这就成
了强弱对偶群。换言之,超引力的对称群在量子理论中破缺为它的一个分立子群。
在N 等于8 的超引力(弦论的低能极限)中,有七十个标量场,这是N 等于8 超对称的极
小表示要求的。这七十个标量场,可以看作是群E(7)的一个陪集空间。陪集的一点就是E(7)
中的一个子群SU(8),前者的维度是133,后者的维度是63,所以陪集空间的维度是70。从弦论
的角度来看,七十个标量场中有三十八个来自于内吾-史瓦兹分支,其余来自雷芒分支。T对
偶群分别作用于这两个分支上,不将它们混合。比如说,三十二个雷芒标量场是SO(6,6,Z)的
一个旋量表示。
在T 对偶的作用下,所有BPS 弦态形成一个矢量表示。从一个BPS 态出发,通过T 对偶的
作用可以生成所有的BPS 态。当然,在T 对偶的作用下,弦真空的模-标量场的真空期待值会
改变,所以在T 对偶的作用下,一个BPS 态被映射到另一个弦真空中的BPS 态。但是弦的真空
期待值是可以连续改变的,将弦模连续变化到原来的值,我们就产生了一个新的BPS 态。所以,
BPS 态必须形成T 对偶群的一个表示。
现在,我们用更大的U 对偶群可以产生更多的BPS 态,很显然,有些态不是弦态。胡耳-
汤生猜测,这些态是非微扰态,是所谓的极端黑洞。这里极端的意思是黑洞的质量与一个荷成
比,这也是一个BPS 态的性质。我们今后为了避免概念上的错乱不叫这些非微扰态为黑洞,而
干脆叫它们为孤子态。
这些孤子态,有些是过去大家熟知的态。比方说,和6 微环面上一个动量模形成强弱对偶
群SL(2,Z)的一个表示的是相应的KK 磁单极,在这里,沿着一个圆方向的动量是电荷,而KK
磁单极是相应的磁荷,它们一起形成强弱对偶群的一个矢量表示:它们之间可以任意转动。所
有孤子态中,许多是我们不很熟悉的,但我们第七章中已经提到过了。第七章中讨论的一些膜
就是这些孤子态的来源:当膜在6 维环面上的一个封闭子空间绕一圈的时候,在四维中生成一
个粒子态。
一共有多少BPS 态?当然有无限多个。我们关心的问题是,这些态可以带有不同的荷,一
共有多少独立的荷?例如,对应于强弱对偶,最简单的情况需要两个荷,电荷及磁荷。在T 对
偶群的表示下,弦态共有12 个荷,6 个动量模,6 个绕数模。在强弱对偶群的表示下,6 个
动量模带来6 个KK 磁单极,那么6 个绕数模带来什么?这6 个绕数模对应的磁荷不是别的,
正是我们讨论过的内吾-史瓦兹5-模,如果弦绕在一个圆上,5-模的五根“腿”就绕在其余
的五个圆上。这样,我们一共有了24 个荷。
24 个荷还不能形成U 对偶群的一个表示,我们还需要其它的荷。这些荷,与雷吾分支中
的反对称张量场有关。
这些新的荷在强弱对偶群的作用下不变,所以不能分成电荷和磁荷。它们在T 对偶群下形
成一个32 维的旋量表示,与前面的24 个荷结合起来,共有56 个荷,形成E(7,Z)的一个表示。
从雷芒反对称张量场出发,我们可以得到16 个四维的矢量场,它们有电荷及磁荷,共32个。
当然,这些电荷和磁荷在强弱对偶的变换下不变。我们只是形式第叫它们为电荷及磁荷,E(7)
含有另一个SL(2)子群,在它的作用下,这些荷形成矢量表示。那么,这些16 个新的规范场如
何得到?以IIA 弦为例,在十维中我们有一个矢量场,一个三阶反对称张量场。矢量场在四维
中提供一个矢量场,而三阶反对称张量场提供15 个矢量场。
这样,U 对偶的猜测预言了一些新的孤子态,而这些孤子态作为弦论中的低能解早就存在
了,只是我们过去根本没有认为它们的确会在弦论的动力学中出现而已。我们在下一节中接着
介绍胡耳-汤生的工作。
(第二节)
上一节介绍了四维型II 超弦的U 对偶,必须注意到,我们考虑的理论是十维型II 超弦紧
化在六维环面上的理论,所以四维中的超对称是极大超对称。U 对偶群和超对称的个数有极大
的关系,当完全没有超对称时,我们不知道是否还有任何对偶。
没有在上一节提及的是为何我们要研究BPS 态在对偶变换下的性质,而不是其它态。这是
因为BPS 态是稳定的态,其存在和弦论中的模参数无关。举例来说,当我们变化耦合常数时(模
参数之一),BPS 态谱不变,所以应当形成对偶群的表示。谱不变并不意味着它们的质量不变,
质量是模参数的函数。比方说,当弦的耦合常数小时,弦的微扰态的质量与耦合常数无关(用
所谓的弦度规来测量),而孤子态有的与弦耦合常数成反比,有的与弦耦合常数的平方成反比,
所以在弱耦合下比弦的微扰态重,从而在动力学中不起主要作用。同样由于BPS 态的质量没有
量子修正,所以作为模参数的函数可由弱耦合的计算确定。这样,孤子态在强耦合情况下反而
变得比原来的弦态要轻,从而在动力学中起到关键作用。U 对偶的存在告诉我们,在这个情况
下我们可以找到一个新的耦合常数,相对于这个耦合常数,这些孤子态成为微扰态,而原来的
微扰态反而成了较重的孤子态。
我们说过,N 等于8 的四维超弦理论的模参数空间是E(7)的一个陪集空间。考虑到U 对偶,
这个陪集空间上的真空并不是完全独立的,所以真正的模空间是这个陪集空间再除掉U 对偶
群,是一个陪集空间的陪集。原来的陪集空间是非紧的,就是说体积是无限大,而考虑了U 对
偶后的模空间的体积是有限的。当然,这里的体积的定义是由理论中的标量场所决定的:在作
用量中,所有标量场的动力学项由模空间上的一个度规决定。我们谈的体积是这个度规决定的
体积。T 对偶群的佚与紧化的环面的维数相等,加上强弱对偶的佚为一,U 对偶群的佚就比环
面的维数大一。这是四维弦的情况,其实,高维弦的U 对偶群也一样,它的佚比紧化的环面大
一。
下面我们就简略谈谈高维的U 对偶。
由于T 对偶,紧化在环面上的IIA 弦与IIB 弦一样,所以我们没有必要区别这两种弦论,
只是在十维中我们要做一个分别。当型II 弦紧化在五维的环面上时,我们获得五维时空中有
着极大超对称的弦论。这个时候T 对偶群是SO(5,5,Z),加上强弱对偶,新生成的U 对偶群是
E(6,Z),同样是E(6)的极大分裂形式。上升到六维时空,此时环面是四维的,所以T 对偶群是
SO(4,4,Z),结合强弱对偶,我们获得的U 对偶群是SO(5,5,Z)。七维时空的U 对偶群是SL(5,Z),
由T 对偶群SO(3,3,Z)和强弱对偶生成(注:六维和七维的U 对偶群在胡耳和汤生的文章中被
弄颠倒了)。到了八维,U 对偶群是SL(3,Z)与SL(2,Z)的直积,这个SL(2,Z)和强弱对偶群不
同,强弱对偶群包含在SL(3,Z)中。到了九维,T 对偶群仅仅是Z(2)了,因为紧化空间是一个
圆,T对偶只是将半径变成其倒数。这样,U 对偶是强弱对偶与T 对偶的直积。最后,在十维
空间有两个不同的型II 弦,IIA 的对偶我们后面再谈,IIB 的对偶就是强弱对偶SL(2,Z)。
现在介绍胡耳-汤生工作中的第二个重要猜测,四维的杂化弦和一类四维的型II 弦的对
偶。
在十维中,有两种杂化弦,其中一种的规范对称群是SO(32),还有一种的规范对称群是
E(8)XE(8),这两个规范群的起源是弦在16 维环面上的左手模所带来的。当这些杂化弦紧化在
一个圆上时,我们可以得到更多的不同的规范群。一般地,这些规范群的佚总是16+2,不一定
比原来十维中的规范群要大,原因是我们可以让一些规范场在圆上获得真空期待值(叫做威尔
逊线),这些真空期待值的作用是使得所有不与其对易的群对成性破缺。我们在第七章的第三
节和第四节介绍了T 对偶,但没有提及杂化弦的T 对偶。在九维空间中,两个杂化弦是互相T 对
偶的。虽然它们在十维空间中的规范群不同,在九维中,可以利用威尔逊线和可能的规范增大
使得它们的规范群完全一样。规范增大的来源是圆半径可以在T 对偶变换下不变,从而可以有
更多的规范场出现。在十维中,由于16 维环面上只有左手模,所以T 对偶群是SO(16,Z)(见
第五章第二节);在九维中,多了一个圆上的右手模和左手模,所以T 对偶群是S(17,1,Z)。
这样,规范群可以等价地由17+1 维中的偶的自对偶晶格来决定,从而也就没有两种杂化弦的
区别(原理和我们在第五章第二节中介绍的完全一样,这个分类是第一次革命中纳阮(Narain)
发现的)。
当十维的杂化弦紧化在六维环面上时,我们获得四维时空中N 等于4 的超弦理论。这时多
了这个环面上的右手模和左手模,T 对偶群变成了SO(22,6,Z),其中22 是原来的16 个左手模
加上6 个新的左手模,第二个因子6 是6 个右手模。在这个T 对偶外,许多人在90 年代初期
猜测还有一个强弱对偶群SL(2,Z),作用在一个复数场上,这个复数场的虚部是伸缩子场,而
实部是所谓的轴子场(在弦论中总有一个内吾-史瓦兹反对称张量场,这个张量场在四维中等
价于一个标量场,因为张量场的场强是三阶反对称张量场,而标量场的场强是一个矢量,它们
在四维中对偶)。由于杂化弦的强弱对偶只作用在内吾-史瓦兹场上面,所以与T 对偶群是对
易的。这样,四维杂化弦的U 对偶群是SO(22,6,Z)和SL(2,Z)的直积。
我们前面谈到了四维极大超对称型II 弦的规范对称性,当模参数任意时,对称性是阿贝
尔的,共有28 个。其中只有12 个是弦的微扰态生成的,与六维环面有关,而两外16 个来自
于雷芒分支,对应的电荷完全是非微扰的,也就是弦论中的孤子。四维极大超对称杂化弦同样
有28个阿贝尔对称性,这些对称性的起源及电荷完全是弦的微扰态,是T 对偶群SO(22,6,Z)
的矢量。加上强弱对偶,我们共有56 个荷,另外28 个荷是磁荷,它们的起源是10 维里的0
-膜和6 个KK 磁单极以及H-磁单极。
四维中还有一类超弦具有N 等于4 超对称,这类弦由型II 弦紧化在6 维空间K3X 两维环
面上,其中K3 是四维的卡-邱流形,它的存在使得一半的超对称破缺。我们同样可以获得28 个
阿贝尔规范场,其中四个来自于两维环面,余下的24 个来自于雷芒反对称张量场。以IIA 为
例,原来的矢量场给出一个四维的矢量场,而原来的三阶雷芒反对称张量场可以用22+1 个二
阶调和形式来展开,其中22 个来自于K3,一个来自于两维环面,这样三阶张量场的第三个指
标就是四维时空中的矢量。
我们同样可以数出型II 弦论中的28 个电荷及磁荷,其中4 个电荷是两维环面上的动量模
和绕数模,剩下的24 个电荷当然是孤子解,一个是IIA 弦中的0-膜,带IIA 理论中矢量场的
荷,剩下的23 个电荷来自于2-膜,分别绕在两维环面上以及K3 中的22 个不可收缩的两维子
流形上。
这样,我们自然猜测这些新的四维N 等于4 的弦论和原来的杂化弦完全一样,这个猜测是
胡耳-汤生的第二个重要猜测。如果这个猜测是正确的,那么型II 弦的对偶群也必须是
SO(26,2,Z)与SL(2,Z)的直积。我们看看从型II 弦出发能否得到这个群。首先,两维环面带来
T 对偶群SO(2,2,Z),等价于两个SL(2,Z)的直积。其次,K3 理论告诉我们有一个推广的T 对偶
群SO(20,4,Z)。考虑到型II 弦的强弱对偶,还有一个强弱对偶群,这样总的佚的确是15,与
要求的相同。
胡耳和汤生并没有给出我们在以上两节介绍的U 对偶的更多证据,只是指出,所以这些可
能和11 维超引力有关。
为了更好地理解这些对偶,我们必须介绍威顿95 年三月份的工作。我们在下一节开始介
绍威顿的工作。
(第三节)
威顿的文章《弦论在不同维度中的动力学》的主要贡献之一是将11 超引力纳入了弦论的
框架。胡耳和汤生在他们的文章中已经提到11 维超引力,但主要讨论紧化到低维时空时的BPS
谱,没有直接猜测这个理论在弦论中的位置。威顿则明确无误地说,十维IIA 弦论的强耦合极
限是11 维超引力。当然他并没有说这个理论本身是自洽的量子理论,只是说低能物理由这个
理论给出。事实上,11 维超引力所对应的量子理论至今还没有一个完全的答案。几乎与威顿
同时,汤生在一篇短文中指出了11 维超引力的作用,特别指出十维中的弦是由11 维的膜而来。
但他所持的11 维膜是基本动力学态后来没有得到什么证据。
威顿首先指出,十维IIA 超对称代数允许一个中心荷,这个中心荷不是别的,正是雷芒矢
量规范场所对应的荷。当质量正比与这个荷时,态是BPS 态,当然这些态不在弦的微扰谱中出
现。存在极端黑洞解,其质量和电荷是连续的。考虑到量子效应,电荷必须量子化,最简单的
可能是这些电荷是一个基本电荷的整数倍。威顿证明,质量与电荷的正比系数与弦的耦合常数
成反比,而电荷与耦合常数无关,所以质量和耦合常数成反比。只是在弦论中才有这种现象出
现,在一个场论中,一个孤子的质量与耦合常数的平方成反比。
在强耦合极限下,这些孤子的质量越来越小,逐渐趋于零。这样就产生一个问题,在什么
样的十维理论中会有无限多个无质量的粒子呢?一个微扰弦论不可能产生这么多的无质量粒
子,所以IIA 弦的强耦合不可能对偶于另一个弦论。一个最简单的可能是,这些轻态其实是一
个11 维理论紧化在一个圆上的动量模。当弦耦合常数趋于无限大时,圆的半径也趋于无限大。
由于11 超对称代数必须约化为十维IIA 超对称,只有一个理论,其低能极限就是11 维超引力。
不但如此,我们可以通过通常的KK 程序由11 维超引力的低能作用量获得十维的IIA 低能作用
量-这个关系很久以前就知道了。威顿通过这种办法获得第11 维,即那个圆,的半径与弦耦
合常数的关系。一个强耦合的十维理论其实是一个11 维理论的确是非常令人惊讶的。
另一个十维型II 弦是IIB 理论,我们前面已经说过,这个理论有强弱对偶,当弦的耦合
常数变大时,理论对偶于一个弱耦合的IIB 弦,我们可以称这样的对偶为自对偶,因为两个理
论除了耦合常数不一样外是同一个理论。
当型II 弦紧化到低维时,我们获得更多的对偶,就是U 对偶。威顿作了一个很重要的分
析,就是研究模参数的不同极限,看能得到什么样的弱耦合理论。分析表明,只有两个弱耦合
极限,其一是弦论,其二是11 维超引力,前者由IIB 弦的强弱对偶所控制,后者由威顿指出
的IIA 与11 维理论的对偶所控制。
在有着U 对偶的低维弦论中,弦的耦合常数不再是一个特别的常数,它与其它的一些模参
数地位是一样的。由于U 对偶群是一个极大分裂群,有若干非紧的方向,其数目和群的佚相等。
模空间的非紧方向也有这么多,而弦耦合常数只是其中的一个方向,其余的方向有的紧化环面
上的半径。举一个例子,当型II 弦紧化在三维环面上时,我们得到七维弦论,其U 对偶群是
SL(5,Z),模空间有4 个非紧的方向,一个是耦合常数,另外三个是三个半径。我们可以研究
顺着其中任意一个方向走到无限远时BPS 态的谱,比如将弦耦合常数调到无限大。威顿定义了
所谓极大方向,其含义是沿着这个方向BPS 的谱中的变成无质量的态是极大的,不能靠调其它
模参数使其变得更大。扣除置换对称(如交换两个半径),只有两个独立的极大方向。一个极
大方向对应于七维的弱耦合弦论,另一个极大方向对应于11 维超引力:七维弦论可以看着是
11 维理论紧化在四维环面上,这个极大方向就是将4 个半径变成无限大,所得到的轻BPS 态
就是11维超引力子。
同样,当考虑那些非极大方向时,可以得到高于七维的弦论。这个思路可以用到更低维的
弦论,威顿获得一个自洽的图象,当沿着一个非紧参数走到无限远时,我们或者得到一个更大
维度(也可能是同维度)的弱耦合弦论,或者得到11 维理论。当一个高维弦论出现时,没有
破缺的对偶恰恰就是这个维度型II 弦论的U 对偶。这样,不同维度弦论的U 对偶以及11 维理
论形成一个自洽的系统。
最后我们指出,两个十维的型II 弦都可由11 维理论的紧化获得。IIA 理论是11 维紧化
在一个圆上的结果,圆的半径小于11 维的物理标度-普朗克标度-时,我们得到弱耦合弦论,
弦的耦合常数与圆的半径的3/2 次方成正比。而十维的IIB 弦可由11 维理论紧化在一个二维
环面上得到,这是一个九维理论,要回到十维,我们可以将环面的两个半径缩小,一直趋于零,
但两个半径之比要固定,这样IIB 弦的耦合常数也固定了:它正好是两个半径之比。我们可以
将IIB弦的强弱对偶理解维11 维理论的几何对称性,将两个半径互换,这样弦耦合常数就变成
原来的倒数。我们以后再详谈这个对偶。
威顿同样对杂化弦和型II 弦的对偶做了细致的研究。我们前面介绍的的四维N 等于4 的
杂化弦与型II 弦的对偶,其实可由六维的杂化弦与六维的型II 弦的对偶得来,前者是十维杂
化弦紧化在四维环面上,而后者是十维IIA 弦论紧化在K(3)上。威顿研究了两个理论的低能作
用量,发现它们是一样的,只要重新定义场,特别是伸缩子场。这两个理论之间的对偶是强弱
对偶。
当我们进一步将两个理论紧化在两维环面上时我们就得到以前的两个四维弦的对偶,同时
我们会发现一个很有趣的现象。当杂化弦紧化在两维环面上时,会产生一个新的T 对偶群,就
是SO(2,2,Z),可以写成两个SL(2,Z)的直积,一个SL(2,Z)作用在环面的复结构参数上(就是形
状参数),另一个作用在由面积和反对称张量场组成的一个复标量场上面。同样,型II 弦紧化
在两维环面上也产生一个SO(2,2,Z)T 对偶群。这个T 对偶群和杂化弦的不完全一样,因为两
个理论中的场作了重新定义。两个度规不一样,但成正比,这样两个不同环面的复结构是一样
的,从而两个T 对偶群S(2,2,Z)中的一个因子SL(2,Z)是一样的,但两个环面的面积不一样,
并且反对称张量场的份量也做了置换,所以第二个SL(2,Z)因子不一样。通过研究场的对应,
不难看出,杂化弦的第二个因子变成型II 弦的强弱对偶,而型II 弦的第二个因为变成杂化弦
的强弱对偶!所以四维弦中的强弱对偶竟然和另一个弦论中的T 对偶一样。
威顿的另一个重要贡献是指出型II 弦中的新的规范对成性的起源。在六维中,虽然杂化
弦的规范群一般地是24 个阿贝尔群的直积,但当模参数取一些特别的值时,可以有非阿贝尔
对称性的出现。最大的非阿贝尔群的佚不超过20,但可以是三类典型群中的一种。我们知道,
型II弦(实际上是IIA 弦,因为K(3)上的T 对偶不混合IIA 和IIB)中的规范场来自于雷芒反
对称张量场,只能是阿贝尔的。那么非阿贝尔对称性从何而来?威顿指出,流形K(3)可以有一
些迹形(orbifold)奇异性,当模参数在迹形奇异点时,K(3)中的一些两维子流形变成一点,
这些奇异性正好可以由三类典型群分类,与杂化弦的典型群吻合。所以他猜测当K(3)处于一
个迹形奇异点时,型II 弦中有非阿贝尔对称性产生。我们以后再介绍规范场从何而来。
威顿不但研究了这个对偶在低于六维弦论中的体现,也研究了在高于六维中的体现。他并
做了关于十维杂化弦的猜测,就是,有着规范群SO(32)的十维杂化弦对偶于型I 弦。这也是
一个大胆的猜测,因为杂化弦是闭弦理论,而型I 弦是开弦理论,很明显这个对偶是强弱对
偶,因为两个弦的微扰谱不一样:假如是弱弱对偶,那么我们应当在杂化弦的微扰谱中看到开
弦,反之亦然。通过研究低能作用量,我们看到的确是强弱对偶。
另外,既然六维杂化弦对偶于六维 IIA 弦,既然IIA 弦有11 维起源,那么杂化弦是不是
也有11 维起源?答案应当是肯定的,如将11 维理论紧化在K(3)上,获得的七维理论可以有
七维杂化弦的解释,当杂化弦是强耦合时,11 维理论是弱耦合的。我们可以继续追问,十维
杂化弦有没有11 维理论的起源?威顿没有立即回答这个问题,但半年后他和哈加瓦(P. Horava)
一同回答了这个问题。
(第四节)
我们已经提到十维中有 SO(32)规发群的杂化弦与型I 弦的对偶,但想把具体的介绍放在D
-膜的后面。十维中最后的一个对偶是规范群为E(8)XE(8)的杂化弦的强耦合极限与11 维理论
的对偶。这个对偶也相当出人意表,所以到了95 年的十月份才被威顿和哈加瓦提出来。
11 维理论不是别的,正是型IIA 弦的强耦合极限。这个理论还没有很好的微观定义-当然
有一个矩阵模型,低能极限是11 维超引力。当然,杂化弦的强耦合极限不是简单的11 维理论
紧化在一个圆上,因为十维的杂化弦只有N 等于1 的十维超对称。如果我们顺着IIA 弦强耦
合的思路,那么我们需要将11 维理论紧化在一个一维的空间上同时破坏一半的超对称,因为
11 维理论直接下降到十维产生十维的N 等于2 超对称。
一维空间的分类很简单,只有四种。如果我们要求紧化后的十维理论的确象一个十维理论,
那么这个一维空间必须是紧致的。只有两种一维紧致空间,圆或者有两个端点的线段,后者可
以通过圆的迹形得到:在圆上取两个对极点,然后以它们为基点将圆对折。这个线段是一个迹
形,因为对折可以看作是群Z(2)的作用,而两个端点是这个群作用的不动点。
在 Z(2)的作用下,第十一维反演,11 维理论不变,只要11 维理论中的三阶反对称张量场
同时做反演。理论不变是弦论中构造迹形模型的必要条件,如同我们由一个对称图形出发通过
对称性构造更小的图形。11 维理论中的费米场在反演下也要做变换,这个变换是量子场论中
熟悉的,就是将费米场乘以一个第十一维的伽马矩阵。由于迹形中的态必须在反演不变的,所
以费米场只剩下一半,就是那些在第十一维伽马矩阵作用下不变的场。从十维的角度来看,这
些场的手征是正的。同样,遗留下来的超对称在十维中的手征也是正的,所以只剩下十维N
等于1 的超对称。
我们必须说明,哈加瓦-威顿的迹形构造是假定了11 维理论的确可以做迹形构造,这个假
定是自然的,因为11 维理论的特殊情形是型II 弦论,弦论可以做迹形构造,那么11 维理论
也可能可以直接在11 维中做迹形构造。这么一来,我们在十维中又获得了一个N 等于1 的理
论,这个理论如果不是新理论,就应当是已知的弦论,也只有一个可能,就是规范群是E(8)XE(8)
杂化弦,因为只有这个理论的强耦合极限还不知道。
接着他们从三个角度来论证这个迹形构造的确是杂化弦,我们一一介绍那三个论证。
首先要说明,由于11 维理论还没有太好的微观的表述,所有三个论证几乎都是比较直观
的以及与对称有关的。第一个论证是引力反常,就是引力微子的量子涨落带来的对引力协变性
的破坏。在11 维中,没有引力反常,但在十维中有。11 维理论的迹形构造的结果还是11 维
理论,只是在线段的端点我们有十维的理论,就是说如果有引力反常,反常也是集中在两个十
维的边界上。这两个边界就象磁畴壁(domain wall),而反常很像过去人们讨论过的反常流:磁
畴壁是这个流的源。这样,在广义坐标变换下,量子有效作用量的变化含有两个部份,一部份
集中在一个壁上,另一部份集中在另一个壁上。由于反常是局域性质的,作用量的变化也是场
的局域函数。
如果只有引力本身,反常的形式是固定的,因为引力微子与引力的耦合是固定的,所以我
们不需要了解11 维理论的微观形式也能决定反常的形式。在边界上,我们有十维N 等于1 的
超引力,如果没有其它场,引力反常不可能被消除-但是我们已经假定11 维理论是可以通过
迹形构造获得自洽的理论的,所以必须有其它场介入,才能消除反常。
能引入的场只能是十维的 N 等于1 的矢量超多重态,因为11 维中只存在引力超多重态。
这样,新的场只能定义在边界上,边界看起来就像我们已经知道的膜。要在每个边界上抵消引
力微子带来的反常,就必须给引入248 个矢量超多重态,这就是E(8)群的维数,两个边界
有两个E(8)群,理论应该和E(8)XE(8)的杂化弦一样。
一旦引入规范场,引力反常就会既是引力场的函数,也是规范场的函数。由于反常是局域
的,不应该有两个边界上规范场的混合项,这样反常的形式也可以确定下来了,而没有被抵消
的反常可以通过格林-史瓦兹机制抵消,就是对三阶反对称张量场引入新的变换,这个变换也
只是集中在边界上,而且,11 维理论中的确存在三阶反对称张量场与引力的一种耦合可以用
来抵消剩余的反常。(格林-史瓦兹反常抵消机制已在谈第一次超弦革命中介绍过,见第五章
第一节)
第二个论证类似强耦合 IIA 弦与11 维理论关系的论证,就是看杂化弦在强耦合时的低能
有效作用量和11 维作用量的关系。与IIA 弦的情况一样,可以确定弦的耦合常数与第11 维尺
度的关系,当耦合常数很大时,第11 维即线段的长度也很大,两者的关系与IIA 弦的耦合常
数与第11 维圆的半径的关系完全一样。所以,当线段的长度小于11 维理论的普朗克长度时,
11 维的半经典引力描述已经失效,人们也许以为有很强的量子引力效应,其实不然,代11 维
引力的理论是弱耦合的杂化弦论。
第三个论证也和 IIA 弦一样,就是弦本身的11 维起源。在IIA 理论中,弦不是别的,就是
11 维理论中的膜,膜的一条腿饶在第11 维圆上,所以弦的张力就是膜的张力乘以圆的周长。
这个论证还不够严格,如果要严格,就要将11 维理论紧化在一个两维环面上,膜的两根腿各
饶环面的两个圆一次,我们获得一个BPS 态,这个BPS 态在弦论中就是弦在第二圆上的绕数
模。11 维膜上的世界体作用量早就在八十年代末被研究过,不久它的所谓双约化也被研究过:
不但11 维时空约化在一个圆上,而且膜也约化在一个圆上。这样所得到的零膜作用量正好是
IIA 弦的世界面作用量。同样的道理,我们可以将11 维理论紧化在两维环面上,然后对其中
的一个圆(第11 维)作迹形构造。饶在环面上的膜也作迹形构造,这样这个膜也就有了两个
边界,每个边界都是一个圆(弦),直接约化下来的世界面含有杂化弦世界面上的一部份变量。
但这部份变量含有两维中的共形反常,所以我们也要引入新的场来抵消反常。类似前面时空中
的反常,反常集中在膜的边界上,可以通过在每个边界上各引入16 个费米子来抵消。这些费
米子加上原来的变量正好组成杂化弦世界面上的变量。
我们不通过在环面上的紧化也能获得杂化弦,当然就是一个有两个边界的膜,一个边界搭
在时空的一个边界上,另一个边界搭在时空的另一个边界上。从而我们也知道了时空边界上矢
量多重态的起源:它们就是这些有边界膜的特别激发态:膜边界上的费米子被激发了。
哈加瓦-威顿构造可以用来理解规范群为SO(32)的杂化弦与型I 弦的强弱对偶,这很类似
用11 维理论来理解IIB 弦的强弱对偶。将11 维理论紧化在一个两维环面上,我们获得一个紧
化在圆上的IIA 理论,但IIA 理论与IIB 理论是T 对偶的,所以这个理论又可以描述IIB 理论。
但IIB 中的紧化圆不同于11 维理论中环面上的任一个圆,因为它的起源是11 维理论中的绕数
模,11 维理论中的环面越小,这些绕数模就越轻,从而有一个新的维度产生,在这个新维度
中,环面上的绕数模被解释为动量模。所以当环面缩小到无限小时,IIB 理论中的圆变成无限
大,我们回到十维IIB 理论。IIB 理论中的耦合常数是11维理论中环面的两个半径之比,这样
强弱对偶就是将环面上的两个圆交换。我们必须强调,无限缩小的两维环面产生一个无限增大
的圆!
现在,我们研究E(8)XE(8)紧化在圆上的情形,这是11 维理论紧化在环面迹形上。从杂化
弦的角度来看,它T 对偶于SO(32)杂化弦。当环面迹形无限缩小时,SO(32)杂化弦中的圆的半
径无限增大。那么,与SO(32)杂化弦有着强弱对偶的型I 弦是怎么来的呢?我们交换一下环面
迹形中的线段和圆,这样我们获得紧化在圆上然后再紧化在线段上的11 维理论。通过第一次
紧化,我们获得IIA 理论,第二次次紧化相当于在IIA 理论中作迹形构造,我们会获得开弦(以
后再详细介绍这种所谓的定向迹形构造),这个开弦不是别的,正是原来模在环面迹形上的绕
数模,这个绕数模在E(8)XE(8)杂化弦中也是绕数模,应当对偶于SO(32)杂化弦中的动量模,
所以,我们获得SO(32)开弦中的动量模,可见IIA 迹形构造出来的开弦不是与SO(32)杂化弦对
偶的开弦,应当是它的T 对偶。
我们后面再谈与杂化弦对偶的开弦其实是IIB 弦的定向迹形构造。
第十章 第二次革命:D 膜
(第一节)
1994 年年中到1995 年年底这一年半中,新的发展令人眼花缭乱,从一开始的场论中的一
些非微扰的严格结果,到弦论中的对偶再到D 膜,流行变了几次。当威顿的关于弦论的对偶
的文章以及施特劳明格的工作(下一章中介绍)出现后,弦论界有相当一部份人研究弦论紧
化后的对偶,得到许多结果,特别是四维的N 等于4 和N 等于2 的弦论得到比较多的研究。
这些研究,和我们前面介绍的一些有着极大超对称的弦论对偶一样,依赖于一个重要假定,
即一些保持一些超对称的膜的存在,特别是一些带有雷芒反对称张量场的荷的膜。我相信,
当大家一窝蜂地追逐弦论中的各种对偶时,一定有一些人在考虑如何能更有效地研究各种膜
以及它们的动力学,因为到那时为止,膜仅仅作为超引力理论中的解存在着。至于膜的动力
学,人们也只能满足于膜的低能行为,那些零模激发。即便如此,当多个膜一同存在时,重
要的低能膜也被遗漏了。泡耳钦斯基在95 年十月份的文章,真象平地一声雷,改变了局面。
事实上,早在 1988 年,研究带雷芒荷的膜的主要技术和概念已经被泡耳钦斯基和他的学
生发现,只不过被大家忽略了许多年而已。所以,我们介绍D 膜应当从那篇文章谈起。
那时有一部份人对各种可能存在的弦论的分类感兴趣,而泡耳钦斯基对开弦的分类感兴
趣,这在当时不是一个引人注意的问题,因为那时很多人相信杂化弦最有可能描述我们的物
理世界。泡耳钦斯基等人在那篇文章中主要研究开弦理论中T 对偶所带来的结果。
我们早就介绍了闭弦理论中的 T 对偶,这里物理上重要的是,闭弦在一个紧化圆上不仅
有动量模,还有绕数模,这两组模处于一个对等的地位。将这两组模交换一下,我们得到一
个新的紧化圆,其半径是原来半径的倒数。在新的圆上,原来的动量模成为绕数模,而原来
的绕数模成为动量模。在开弦理论中,由于开弦的两个端点是自由的,不再存在绕数模,我
们同样可以做T 对偶变换,但不会产生新的动量模,从而在T 对偶理论中,开弦不会感到新
的圆存在。可是一个开弦理论中含有闭弦,对于闭弦来说,新的圆是存在的,从而在这个T
对偶的理论中,开弦感到的维度比闭弦感到的要小一维。
假定在 T 对偶前的圆半径很小,T 对偶之后的圆半径就很大,对于闭弦来说,有效的维度
并没有改变,世界还是十维的,如果我们讨论的是超弦。对开弦来说,由于原来理论中不含
绕数模,世界成为九维的了。也就是说,在T 对偶之后的理论中,开弦也是九维的,这如何
解释呢?最简单的解释,就是在十维空间中存在一个九维的膜,与新产生的维度垂直,开弦
的端点在这个膜上运动。我们下面看看弦论的T 对偶变换如何解释这个膜的存在。
开弦的世界面作用量产生的运动方程包括一个边界条件。如果时空是一个简单的平坦空
间,没有任何其它场的背景,有两种可能的边界条件,一种是弦的端点的法向导数为零,叫
做诺依曼边界条件,这相当于要求弦的端点以光速运动,所以开弦不可能是静止的,至少也
要转动,其最低激发态(快子除外)是矢量粒子,也就是光子。第二种边界条件就是狄雷克
利条件,也就是说某些坐标在端点处固定。我们可以考虑最一般的情形,其中某些坐标满足
诺依曼条件,某些坐标满足狄雷克利条件,满足后者的坐标说明弦的端点只能在时空的一个
超平面上运动,这个超平面由固定那些坐标确定。例如,假定九个空间坐标中的最后一维空
间满足狄雷克利条件,那么我们就有一个八维的超平面,开弦的端点只能在这个超平面上以
光速运动。
一般来说,我们在时间方向不要求狄雷克利条件,所以超平面上有一个时间方向(后面我
们会谈到也在时间方向加狄雷克利条件),如果这个超平面的空间维度是p 维的,这样定义的
膜叫做Dp 膜,其中D 的含义就是狄雷克利条件,虽然我们其实在p 维空间和时间方向要求
的是诺依曼边界条件。当p 小于九时,我们不再有十维的洛仑兹不变性,只有p+1 维的洛仑
兹不变性,因为时间不能与加狄雷克利条件的空间方向混合了。物理的直观很清楚,Dp 膜的
存在破坏了原来的洛仑兹不变性。
现在回到我们前面讨论的开弦的 T 对偶。开弦和闭弦一样,弦的振动模可分为左手模和
右手模,与闭弦不同的是,左手模和右手模两者不独立,因为边界条件要求它们是相关的。
在T 对偶变换下,相应坐标的左手模不变,右手模变一个符号。这样,对于闭弦来说,动量
模与绕数模互换,对于开弦来说,原来的诺依曼边界条件变成了狄雷克利边界条件,也就是
说,在T 对偶之后的理论中,开弦的端点必须在这个坐标方向固定,这与我们前面的直观讨
论完全吻合,在新的理论中,开弦端点的空间减少了一维。
当然,除了端点之外,开弦的其它部份还在整个十维时空振动。但是,这些振动模通常是
很重的,所以开弦的低能激发态只能在低一维的空间运动。形式上,我们可以叫在T 对偶之
前的那个膜为D9 膜,因为整个九维空间中都有开弦,T 对偶之后,成了D8 膜。当然,我们
也可以从Dp 膜出发,在Dp 膜上的一个方向做T 对偶变换,获得一个低一维的D 膜。相反,
如果我们在垂直于Dp 膜的一个方向做T 对偶,原来的狄雷克利条件变成诺依曼条件,D 膜
多出了一维。
泡耳钦斯基等人一开始的出发点是型I 弦,其中含有许多D9 膜,他们通过T 对偶说明,
还应当存在其它维度的D 膜。这在当时并没有引起什么人的注意。其实,他们的文章被审稿
人拒绝过,最后才发表在新加坡的世界科学出版社的一个刊物上。
他们在那篇文章中进一步说,如果这样的膜存在,那这些膜不可能是刚体,因为在广义相
对论中没有刚体存在,所以这些膜本身也有动力学,可以改变形状等等。
最简单的论证D 膜不是刚体的方法是计算引力子与D 膜的相互作用,或者是所谓的单点
函数。我们知道,在广义相对论中,引力场与能量动量张量耦合,所以引力场的单点函数包
含有能量的信息。在这里,就是膜的张力的信息。张力的定义是膜的没单位体积中所含的能
量-当我们企图拉伸膜时,每增加一个单位体积我们要做的功。单点函数的计算在弦论中已
有固定的方法:在一个实心圆上计算引力子的顶点单点函数,圆的边界条件是诺依曼条件和
狄雷克利条件。这个计算的物理图象是,实心圆的边界代表一个从膜上辐射出来的一个闭弦,
在引力子的顶点算子选择了虚引力子的辐射。由于引力子的顶点算子含有一个弦耦合常数,
所以单点函数与弦耦合常数成正比,也就是说,D 膜产生的引力场正比于弦耦合常数。但我
们知道,这个结果应当正比于牛顿常数和膜的张力,前者正比于弦耦合常数的平方,所以,
膜的张力应当反比于弦的耦合常数。这正是带雷芒荷的膜的正确行为。
所以D 膜既象场论中的孤子,也不完全象。象场论中的孤子是因为当耦合常数很小时,膜
的张力很大,不完全象是因为只是与耦合常数成反比,而不是与耦合常数的平方成反比。当
耦合常数为零时,D 膜的张力无限大,可以看作是一个刚体,可是此时牛顿常数为零,引力
已经没有了动力学,所以这个刚体极限不和广义相对论发生矛盾。D 膜的张力与耦合常数成
反比这个事实很重要,是D 膜后来在许多进展中起了重要作用的原因之一。成反比本身说明D
膜是非微扰物体,不会在弦论的微扰谱中出现。由于牛顿常数与弦耦合常数的平方成正比,
所以D 膜引起的闭弦场(包括引力场)与耦合常数成正比,在微扰仑中(当耦合常数很小时),
D 膜引起的时空背景变化也是微扰的,可以忽略。这个现象与场论中的孤子很不同。例如,
规范理论中的磁单极所引起的磁场与电耦合常数成反比,在微扰论中这样的场不能被忽略。
我们还没有讨论T 对偶后原来的动量模的解释,也没有讨论膜上的低能场,更没有论证在
超弦理论中,为什么D 膜带有雷芒荷,这留在下一节讨论
(第二节) 超 D 膜
上一节中我们谈到如何决定一个 D 膜的张力,还有一个相对简单的办法,就是计算两个平
行D 膜的相互作用。这个相互作用可以看成是其中一个D 膜发射出一个虚闭弦态,另一个D
膜接受这个态。当两个D 膜相距很远时,相互作用由无质量的闭弦态主导,是长程相互作用。
例如,在纯粹的玻色弦理论中,只有引力子、伸缩子和反对称张量粒子,后者不对D 膜的相
互作出贡献,因为D 膜不带这个反对称张量场的荷(只有弦本身带有反对称张量场的荷)。所
以,两个D 膜的相互作用正比于D 膜张力的平方和牛顿常数,也正比于无质量弦态的个数。
一旦相互作用已知,就能推出D 膜的张力。
两个 D 膜通过交换单闭弦引起的相互作用在弦的微扰论中是一个柱面图,这个图表示一个
闭弦由其中一个D 膜传播到另一个D 膜。考虑所有端点搭在不同D 膜上的开弦,当开弦在“真
空”中涨落出来又消失时,最简单的贡献就是单圈图,这个单圈图恰恰也是一个柱面,与闭弦
图的柱面毫无二致。所以,同一个图有两种解释,一种是开弦理论中的圈图,代表最低阶的
量子涨落,另一种解释是闭弦中的树图,完全是经典效应。这个对偶性就是所谓s-t 道对偶:
沿着开弦传播的方向是一个道,沿着闭弦传播的方向是另一个道,这两个道互相垂直。
这样,通过世界面上的对偶,我们将闭弦中的一个树图计算变成开弦中的一个单圈图计算,
因为我们不知道D 膜的张力所以我们不知道如何做闭弦中的树图计算。开弦的单圈图计算比
较简单,因为是单圈图,计算与任何耦合常数都没有关系,我们只要知道开弦的谱就可以了。
开弦可以简单地量子化,质量谱除了通常的弦振动模的贡献,还有与两个D 膜之间的距离成
正比的一个贡献,因为如果一根弦的两个端点搭在不同的D 膜上,其长度必然有D 膜之间距
离的贡献。这样计算下来的单圈图在高能极限下,也就是距离很大的情况下,与垂直于D 膜
的空间(横向空间)的格林函数成正比。这里我们注意到,大距离对应于开弦的高能极限,
因为开弦的能量很大。但是在闭弦的图象中,是红外极限,也就是长程极限。这个计算结果
不依赖于弦耦合常数,但由于和D 膜张力的平方以及牛顿常数成正比,所以D 膜张力与牛顿
常数的平方根成反比,也就是与弦耦合常数成反比,这是已经知道的结果。
泡耳钦斯基在他的 95 年十月份的著名文章中所作的计算就是这个开弦单圈图计算,这个
计算同时说明了开弦/闭弦的某种对偶,开弦中的紫外对应于闭弦中的红外,也就是后来所谓
的红外/紫外对应,另一方面,闭弦中的经典相互作用由开弦中的量子效应给出,这在后来的
反德西特引力/场论对偶得到极大的体现。
在十月份的文章中,泡耳钦斯基并没有考虑纯粹的玻色弦。玻色弦中的 D 膜的张力计算他
在后来的一篇总结文章中给出。在这个理论中,很容易数出D 膜上开弦的激发态。零质量的
激发态包括一个矢量场,若干个标量场。标量场的数目等于横向空间的维数,这不奇怪,因
为一个标量场代表D 膜在这个横向空间方向上的位置,D 膜上不同的点的横向位置可以不同,
对应于标量场是可变函数。在上一节的T 对偶变换中,如果我们沿着D 膜的一个纵向(切向)
方向作T 对偶,诺依曼边界条件变成狄雷克利边界条件。如果沿着这个纵向方向有一个取值
为常数的矢量场(叫做威尔逊线),经过T 对偶变换后,这个矢量场变成D 膜在新坐标中的位
置,也就是说,原来的矢量场份量变成了标量场。标量场有明显的几何含义,矢量场不一定
有。但在D 膜上,由于T 对偶,我们可以将矢量场看成D 膜在纵向方向的一种振动。
D 膜上的标量场也有一个简单的场论解释。我们知道,当一个平坦空间中没有任何D 膜时,
有极大的空间对称性,特别是有空间平移不变性。当D 膜存在时,我们仍然有沿着D 膜的纵
向方向的平移不变性,但沿着横向方向的平移不变性因D 膜的存在受到破坏。这是一种对称
性自发破缺,场论中的哥德斯通定理告诉我们,必然产生一些零质量的粒子。这些粒子不可
能在纵向方向传播到无限远去,因为在那里对称性渐进地恢复了,所以这些粒子应当相对地
局域化了,这些粒子不是别的,正是D 膜上的标量场。
在超弦理论中,D 膜只破坏一半的超对称,被破坏的超对称同样有相应的哥德斯通粒子。
这些粒子是D 膜上的费米子,与矢量场及标量场一同形成一个超多重态,这个超多重态正是
没有破缺的超对称的表示。在型II 弦论中,有16 个没有破缺的超对称,在场论中,这是极大
超对称,从而D 膜上的场形成一个极大超对称的矢量超多重态。在玻色分支中,有八个粒子,
同样,在费米分支中,也有八个粒子。例如,D3 膜上有两个矢量粒子,六个标量粒子,八个
费米子,正好形成N 等于4 的超规范场论。
两个平行的有同样维度的 D 膜保持和单个D 膜情形一样多的超对称,所以这个系统应当
是稳定的(BPS 态),一个结论是,两个平行的D 膜之间的相互作用完全抵消。我们知道,如
果仅仅存在引力和伸缩子相互作用,两个D 膜之间应当存在一个吸引力。现在,由于超对称
的关系,这个吸引力应当被另一种力抵消,这个力不是别的,正是D 膜所带的雷芒荷引起的
力。两个D 膜交换一个雷芒张量场的量子引起的力是排斥力。泡耳钦斯基的计算表明两个D
膜间的相互作用的确抵消了,他不但计算了D 膜的张力,同时计算了D 膜的雷芒荷。他的结
果表明,一个p 维的D 膜的雷芒荷与一个6-p 维D 膜的雷芒荷满足狄拉克量子化条件。我们
在介绍p 膜的一节中已经解释了,p 膜是p+1 阶反对称张量场的电荷,而6-p 膜是这个张量场
的磁荷。
接下来我们谈谈什么样的 D 膜才是BPS 态,也就是能保持一些超对称不被破坏。在型I
理论中,存在开弦,开弦的端点满足诺依曼边界条件,我们可以说这些弦其实是D9 膜上的激
发态。型I 中的超对称是十维时空中N 等于1 的超对称,有十六个生成元,可以取为十维空
间中右手旋量(这是约定而已)。在经过T 对偶变换后,这个超对称仍然有固定的十维手征性。
经过T 对偶变换的D 膜可以看作是一个型II 弦论中的D 膜(后面我们将解释型I 弦论可以看
作是IIB理论的一个派生),所以超弦理论中D 膜所保持的超对称在十维时空中有固定的手征。
现在,这个超对称无非是型II 理论中两个超对称的线性组合,并且,这个线性组合不破坏沿
着D 膜纵向方向的洛仑兹不变性。只有两种可能,一种是没有破缺的超对称是两个超对称的
简单叠加,但具体计算表明这个可能没有实现。第二种可能是没有破缺的超对称是一个超对
称和第二个经过纵向方向所有咖马矩阵作用的超对称的叠加,这个可能是实现了的。现在,IIB
理论中两个超对称有同样的手征性,所以上述的线性组合只有当D 膜是奇数维时才有固定的
十维手征性。这也和IIB 理论中只存在偶数阶反对称雷芒张量场这个事实吻合:奇数维的D
膜的时空维数是偶数,可以与反对称张量场耦合。同理,IIA 理论中的D 膜必须是偶数维的,
否则破坏所有的超对称。
当然,我们上面给出的理由并不是原始文献中的理由,在原始文献中,没有破坏的超对称
可由所谓的边界态直接算出。另外一个方法是研究所谓的格林-史瓦兹弦作用量在狄雷克利
边界条件下如何取世界面上的费米子的边界条件。这个费米子边界条件破坏一部份超对称,
保留另一部份超对称。
当然,型 II 弦论中也允许完全破坏超对称的D 膜存在,只不过这些D 膜不再是稳定的,
也不带任何雷芒荷。例如,我们可以研究IIB 理论中偶数维D 膜,如D 粒子(零维),但这些
膜不稳定,膜上的场论也完全不一样,特别是,存在一个快子,对应于一个不稳定模。
一个保持超对称的 D 膜的稳定的原因很简单,因为它是带相应雷芒荷的质量最小的物体
(在这里,质量的体现是张力),由于雷芒荷是守恒的,它不可能衰变成任何其它物体。
(第三节) 非阿贝尔对称性
膜物理学带来最有意思的物理是当有若干个膜同时存在的时候,特别是若干个平行的维度
相等的D 膜。威顿在95 年十月份泡耳钦斯基的文章出现在网络的两周后,写出了一篇研究多
D 膜和D 膜束缚态的文章。这篇文章第一次指出当多D 膜存在时,会出现非阿贝尔对称性。
前面已经看到,当两个D 膜同时存在时,除了两个端点都搭在同一个D 膜上的开弦,还有两
个端点搭在不同D 膜上的开弦。前者组成两个D 膜上的低能激发态,包括每个D 膜上的无质
量规范场和标量场。在超弦理论中,它们形成两个阿贝尔矢量超多重态。现在的问题是,两
个搭在在不同D 膜上的开弦是什么样的激发态?
其实,这个问题在弦论的早期就有了回答。现在我们用1 来标志搭在第一个D 膜上的端点,
用2 来标志搭在第二个D 膜上的端点。如果开弦是可定向的(在型II 弦论中必须是可定向的,
原因是两个开弦可以合并成一个闭弦离开D 膜,从而是型II 理论中的一个闭弦,必须是可定
向的),用1、2 来标志端点还简单了一点,因为定向性本身要求在一个D 膜上有两种不同的
端点,一种对应于弦的一个定向,其实相对于该D 膜上的矢量场来说,就是正电荷和负电荷,
后面这个观点可以通过研究开弦世界上的作用量看出:开弦的端点与规范场只有两个不同的
耦合。这样,端点搭在不同D 膜上的开弦有两种,对应于两个不同的定向。其中一种在第一
个D 膜的规范场下带正电,在第二个D 膜的规范场下带负电,另外一种端点的带电正好反过
来。
如果我们将两个 D 膜上的规范场看成是U(2)的两个U(1)子群,上述的两种新开弦正好可
以补足整个U(2)伴随多重态,与过去的开弦加起来一共有四种开弦,是U(2)的维数。过去的
所谓陈-巴顿因子恰好就是我们上一段所描述的1 和2 以及它们的负电荷。开弦的么正相互
作用要求所有的陈-巴顿因子形成一个群,在这里就是U(2)群。
当两个D 膜完全重合时,两个端点搭在不同D 膜上的开弦包含零质量态,有矢量场和标
量场。在纯玻色弦论中,这些场与过去的零质量场形成U(2)规范理论中的矢量场和伴随表示
的标量场。在超弦理论中,我们得到U(2)的矢量超多重态,由于超对称相当于四维中的N 等
于4 超对称,矢量超多重态正好含有六个伴随表示的标量场,以及四个手征费米场。总结一
下,对于U(2)的一个生成元,有八个玻色场,八个费米场。
非阿贝尔对称性的出现是一个相当反直觉的结果,在单个 D 膜时,阿贝尔对称性的起源是
几何的,规范场相当于D 膜在纵向方向的振动,而标量场直接对应于D 膜在横向空间中的位
置。当两个平行D 膜存在时,U(2)中的对角元还有两个D 膜的几何意义,但非对角元没有直接
的几何解释。当两个D 膜分开时,这些非对角元直接对应着搭在两个D 膜上的开弦,且有质
量。当两个D 膜完全重合时,由于非阿贝尔对称性,非对角元已经和对角元之一(两个对角
元的差)完全混合,所以不一定解释成搭在两个D 膜上的开弦。我们可以说,这个时候两个
D 膜中的一个位置,就是位置的差,已经非阿贝尔化,不再有明确的时空解释。只有两个对角
元之和,也就是两个D 膜的重心位置,才有几何意义。这个和不与非对角元混合。
当存在多个平行的D 膜时,对称性扩大为U(N),其中N 是D 膜的个数。D 膜上低能物理
完全由U(N)规范理论所决定。所以,知道多个D 膜的性质可以推出非阿贝尔规范场论的性质,
反之亦然。
D 膜的物理还直接告诉我们弦论中小距离的物理。例如,当两个D 膜靠近时,按照我们通
常的理解,量子引力的效应会变得越来越重要,特别当两个D 膜的距离小于普朗克长度时。
可是当两个D 膜的距离很小时,D 膜上的物理完全由零质量的开弦激发态决定,在极大超对
称的情况下,规范理论并没有特别不同的效应,从而显示出小距离上的量子引力效应。这里,
红外/紫外对应又一次出现,在闭弦理论中,小距离上的物理是紫外物理,而在开弦理论中,
低能规范理论中的物理是红外物理。
到此为止,似乎一个 D 膜对应于弦论中的一个态,这个印象当然是错的。如果弦本身一样,
每个D 膜应有一个超多重态。型II 弦论中弦的基态超多重态一共有256 个,一半是玻色态,
一半是费米态。同样,型II 中的D 膜也有256 个态,一半玻色一半费米。这个结论可以通过
研究超对称得到。我们知道,D 膜破坏一半的超对称,保持另外一半。也就是说,如果我们用
一半超对称生成元作用在D 膜的量子态上,我们得到零,对应于没有破缺的超对称。用破缺
的超对称作用在D 膜态上,得到一个新态。如果有n 个破缺的超对称,我们获得2 的n/2 次
方个新态,通过反复作用,这当然是极小可能,所以叫短超多重态。在型II 理论中,共有16
个破缺的超对称,所以有256 个D 膜基态。
型 I 弦论中的D 膜上的规范理论不同于型II 弦论中的D 膜。型I 理论中本来就有不可定向
的开弦,弦的端点在整个十维时空中自由运动,所以型I 理论中可以看作有D9 膜,这些膜的
世界体充满整个十维时空。那么有多少这样的D9 膜呢?回答可以通过两种方法得到。一种方
法是计算场的单点函数,这相当于决定规范群的阶。我们早以介绍过,型I 的规范群是正交群,
为了消除规范反常,这个规范群必须是SO(32)。D9 膜可以形式上看成带有十阶反对称张量场
的荷,所以会产生充满时空的反对称张量场。当规范群的阶恰好是16 时,反对称张量场的源
抵消,所以应当有16 个D9 膜。比弦中的单点函数与规范反常有关,后者是开弦中的量子效
应,这是开弦/闭弦的量子/经典对应的又一个例子。
上面的这个方法并不很直观,第二办法相当直观。我们知道 D9 膜有张力,这个张力就是
十维时空中的能量密度,如果没有其它能量密度来完全抵消D9 膜的贡献,就会有宇宙学常数,
从而使得真空解不再是平坦的。所以,我们推测,应该存在另一种物体,其张力是负的,这
种物体叫做不可定向面(orientifold plane)。在十维型I 弦中,恰好有一个九维的不可定向面。
这个不可定向面的存在,解释了为什么开弦在型I 理论中是不可定向的,例如,一个端点搭在
同一个D9 膜上的开弦可以看成两个端点搭在自身和该D 膜在不可定向面中的镜像,所以开弦
不能带有箭头。
如果存在 N 个D9 膜,在不可定向面的反映下,有N 个镜像,所以有2N 个D9 膜。从N
个D9 膜中的一个膜出发的开弦,可以终止在除了它自身的膜和所有镜像上面,共有2N-1 种
可能,这样共有N(2N-1)种不同的开弦,正好是规范群SO(2N)的维数。如何计算不可定向面
的张力?过去我们解释了开弦的单圈图计算可以给出D 膜的张力,这个单圈图是柱面。对于
不可定开弦来说,还有两个单圈图,就是莫比乌斯带和克莱茵瓶,前者的对角元可以解释为
开弦一段搭在一个D9 膜上,另一端搭在不可定向面上(如果没有不可定向面,就很难解释这
个图),后者的对角元可以解释为开弦的两个端点同时搭在不可定向面上。注意这些开弦没有
在壳态。这些贡献与不可定向面的张力以及雷芒荷有关,这样计算下来的张力是D9 膜张力的
16 倍,而且是负的,所以必须有16 个D9 膜来抵消张力。
型 I 理论中除了D9 膜外,还可以有D1 膜和D5 膜。研究这些膜比研究型II 理论中的膜要
复杂些,主要原因是D9 膜已经存在。以D1 膜为例,不但有D1 膜上的开弦,还有一个端点
搭在D1 膜上,另一个端点搭在D9 膜上的开弦。由于有16 个D9 膜和它们的镜像,这些开弦
会产生许多新的态。基态通过格舍奥投射后剩下费米场,共有32 个费米场,正好是杂化弦中
的左手费米场的个数。D1 膜上的开弦给出8 个无质量标量场和8 个右手费米场,没有矢量场。
总之,D1 膜和杂化弦的世界面理论完全一样,再次说明杂化弦在型I 理论中是孤子。
型 I 理论中的D5 膜理论较为复杂,我们下一节讨论。
(第四节) D 膜的一些应用
我们在介绍弦论中的孤子解时就提到,在杂化弦中,有一类孤子,其中规范场以及引力场
和伸缩子在一个四维的子空间是一个孤子解,特别地,规范场是瞬子。从十维时空来看,这
是一个五维膜。威顿后来指出,弦的对偶性要求这个膜当瞬子的尺度为零时还存在,并且膜
的低能有效物理是一个SU(2)规范理论。这个膜很不同于我们前面研究的膜,那些单个D 膜的
规范群是U(1),特别地,在型I 理论中,D1 膜没有规范群。
泡耳钦斯基和他的一个学生在 1996 年的一篇文章中指出,尺度为零的规范五维膜正是型I
理论中的D5 膜。他们论证,在型I 理论中,如果要求搭在D5 膜以及D9 膜上的开弦的相互
作用与D9 膜上的开弦以及D5 膜上的开弦形成一个自洽的系统,D5 膜上的规范群必须是辛群
Sp(n),当n 为1 时,这个辛群就是SU(2),有两个陈-巴顿因子。两个因子的存在也可以解释
成D5 膜总是成对地存在,就是说,所谓单个D5 膜可以形式上看成两个重合的D 膜。这个看
法还可以由推广的狄拉克量子化条件看出。如果我们重复D1 膜以及D5 膜的荷的计算,由于
开弦的不可定向性,我们发现它们不满足狄拉克量子化条件(D1 膜看成是型I 弦论中量阶雷
芒张量场的电荷,而D5 膜是该场的磁荷),当D5 膜总是成对地出现的时候,极小量子化条件
成立。
所以,型 I 弦论很不同于型II 弦论,其中D1 膜和D9 膜上的规范群是正交群,而D5 膜上
的规范群是辛群。
现在我们谈谈 D 膜的一些简单应用。最简单的D 膜是零维的,就是IIA 理论中的D0 膜。
这个粒子其实就是我们前面提过的带有雷芒矢量场荷的粒子,而该矢量场被解释为由11 维紧
化在圆上所带来的KK 矢量场,所以D0 膜是最基本的KK 粒子。如果型II 弦的确与一个11
维理论对偶,那么还应当存在其它KK 动量模。由于在第十一维方向的动量是量子化的,这些
模所带的雷芒荷是D0 膜的整数倍,而质量也是D0 膜的整数倍,这就预言D0 膜应当有无限
多个束缚态。这些束缚态在型II 理论中很难直接证明其存在,目前为止只是证明了两个D0
膜束缚态的存在。困难的原因之一是由于D0 膜是粒子,所以束缚态问题是一个量子力学问题,
因为粒子满足测不准原理。困难的原因之二是这个量子力学系统很复杂,是一个非阿贝尔量
子力学,相当于N 等于4 的四维规范理论约化为一维的理论,而束缚态的能量是两个粒子质
量之和,没有束缚能,这种束缚态叫临界束缚态。但是,通过T 对偶将问题化为一个D1 膜的
问题,可以证明所有束缚态是存在的。
D 膜在型II 弦论中的重要性莫过于IIB 弦论的强弱对偶依赖于D1 膜或者叫D 弦的存在,
D1 膜是弦的对偶,当我们施行最简单的强弱对偶变换时,原来的弦被变换成D 弦,而D 弦被
变换成弦。因为强弱对偶群很大,是SL(2,Z),我们通过更一般的变换,可以将弦变成弦与D
弦的束缚态,其中有p 个D 弦,q 个弦,而这两个整数是互素的,也就是没有公约数。威顿在
95 年十月的讨论D 膜的束缚态一文中指出,当p 个D 膜上的重心U(1)群所对应的电场场强是
某个固定值的整数倍时,我们就得到一个D 弦和弦的束缚态。最简单的情形是一个D 弦,此
时D 弦上的电场场强如果是一个固定值的q 倍,这个位形代表D 弦和q 个弦的束缚态。我们
可以通过以下的理想实验来理解这个结果。开弦的端点带有D 弦上电场的一个正电荷或者一
个负电荷,当我们将D 弦上的一个开弦无限地拉伸与D 弦重合时,我们就得到一个D 弦与一
个重合的弦的位形。而现在有一对位于无限远的正电荷和负电荷,产生一个均匀的场强。事
实上,一对电荷在一维空间所所产生的场强不依赖于电荷之间的距离。
当D 膜上有电场和磁场时,会有有趣的事情发生。我们前面说了D 弦上的均匀电场可以
解释成D 弦和弦的束缚态,其实,电场的出现还可以说明所谓的威顿效应。在通常的规范理
论中,如果有磁单极解,磁单极也可以和原有的电荷形成束缚态。在规范理论中,我们可以
让作用量多一个西它角,这样得到的真空叫西它真空,破坏宇称对称。当磁单极在这种真空
中出现时,磁单极不仅带有磁荷,还带有与西它角称正比的电荷,这就是威顿效应。在型II
弦论中,对于强弱对偶来说,弦就像电荷,而D 弦象磁荷,弦论中的雷芒标量场如同西它角,
不同的是现在这个角成了一个场。如果要求强弱对偶不变性,双子(就是D 弦和弦的束缚态)
的张力谱必须依赖于雷芒标量场,这样也就必须有威顿效应。我在威顿95 年十月份的文章出
之后一个礼拜,写了一篇论文,说明威顿效应的存在。不但如此,当D 膜上有规范场时,还
用诱导低维的雷芒荷。
一个最好的例子是 D4 膜,此时空间是四维的,所以可以有不依赖于时间的四维空间中的
“瞬子”解。这个瞬子解的解释是D4 膜上有一个D0 膜,这个事实可以由D4 膜上规范场所诱
导的雷芒荷来看出。当瞬子解的尺度为零时,说明这个D0 膜刚刚融入D4 膜。
其实,除了平行的有相同维数 D 膜是BPS 态,还有平行的不同维数的D 膜也能形成BPS
态。这里所谓的平行的意思是,那个有较低维数的D 膜的纵向空间与有着较高维数的D 膜的
一部份纵向空间相同。如果我们要求两个膜的同时存在还能保持一定的超对称,那么两个膜
维数之差必须是4 的整数倍。前面说的D4 膜和D0 膜的情形就是这样,这里原来的四分之一
的超对称没有破缺。
超弦的对偶要求存在着 D4 膜和D0 膜的束缚态,而且,与D 弦与弦的束缚态不同的是,
这里对D4 膜和D0 膜的个数没有限制。紧化所有D4 膜的空间方向,通过U 对偶,我们可以
将这个束缚态变换为一个绕在一个圆上带有一定动量模的弦态。与D0 膜本身的束缚态一样,
D4 膜的束缚态和D0 膜的束缚态是一个量子力学问题。在这个量子力学中,D0 膜上原来的自
由度以及搭在D4 膜和D0 膜上开弦提供的自由度形成一个超对称体系,有8 个超对称。虽然
束缚态的存在得到证明(从而为U 对偶提供证据),但量子力学的波函数很难得到。同样,这
个束缚态是临界束缚态。当弦的耦合常数很小时,D0 膜的质量很大,但从有效的量子力学效
应来来看,束缚态的半径很小,是11 维理论中的普朗克长度。当耦合常数为零时,D0 膜完全
融入D4 膜,这就是D4 膜上的零尺度瞬子,此时我们可以通过研究D4 膜上的物理来确定束
缚态,这是道格拉斯95 年底的工作。
同样通过研究 D0 膜D0 膜之间的有效相互作用,我们可以决定D0 膜本身的束缚态的尺度,
并不令人惊奇的是,这个尺度也是11 维普朗克长度,说明IIA 弦论与11 维理论有关系。
D 膜束缚态的最重要的应用也许是黑洞的微观物理,我们打算专写一章黑洞的物理。本章
中没有提及的是所谓的不可定向平面的构造以及与弦论对偶的关系,我们希望后面有机会介
绍。
第十一章弦论中的对偶 (续)
(第一节)
94 年中最为轰动的事情是塞伯格-威顿的工作,上了纽约时。当年的胡耳-汤生的工作虽
然后来发生了很大的影响,当时却被忽略了。第二年威顿关于弦论对偶的工作再次轰动理论
界,这样,以前跟着潮流研究塞伯格-威顿工作的人自然接着研究四维弦论中N 等于2 的超
弦的对偶。在泡耳钦斯基提出D 膜就是带雷芒荷的孤子之前,这在很大程度上主导了当时的
超弦研究。
现在我们回过头来介绍这个方面的部分工作。在第九章中我们介绍的超弦对偶涉及的超对
称最少含有16 个生成元,相当于四维时空中N 等于4 的超对称,如杂化弦紧化在四维环面上,
这个理论对偶于IIA 理论紧化在K3 流形上。其实,超对称的生成元越少,动力学就越复杂,
我们了解的就越少。接下来我们感兴趣的就是四维的N 等于2 的理论,我们已经看到,在场
论中,这样的超对称理论已经有相当复杂的动力学,如不平凡的模空间,等等。
其实,斯特劳明格 95 年的四月份的重要文章虽然受到塞伯格-威顿的工作的影响,却没
有直接受到当年三月份威顿的关于弦论中对偶文章的影响,尽管他在文章中提到威顿的工作。
斯特劳明格所用的标题很吸引人,他用了无质量黑洞。黑洞在这里完全是一个名词而已,与
真正的黑洞无关。
我们先稍微介绍一下斯特劳明格工作的背景。卡-丘流形是自第一次革命后许多人相信的
与现实世界有关的紧化,那时人们一般认为杂化弦紧化在一个六维的卡-丘流形上是最有可
能与粒子物理的标准模型有关的情形。由于这些流形只允许存在一个基林旋量(见第五章第
三节),这样另外四维时空中的超对称就是N 等于1 的超对称,与超对称扩充后的标准模型一
样。人们并没有注意型II 弦论紧化在卡-丘流形上的物理,主要原因是那时还不知道型II 弦
可能产生非阿贝尔规范场,同时,四维时空中的超对称是N 等于2 的超对称,与现实世界无
关。后者是因为型II 弦论中本来的超对称比杂化弦多了一半,每个10 维的N 等于1 的超对称
通过卡-丘流形上的基林旋量约化维四维时空中的N 等于1 的超对称。
然而在塞伯格-威顿理论的出现后,人们开始关心如何得到四维的 N 等于2 的弦论。最方
便的办法就是将型II 弦紧化在卡-丘流形上,我们既可以用IIA 理论,也可以用IIB 理论。这
两种理论都产生四维的N 等于2 的非手征理论,虽然只有IIB 理论在十维中有手征性。我们
在第七章第四节中介绍过镜像对称性,这个对称性将一个紧化在某个卡-丘流形上的IIB 理论
对应到一个紧化在另外一个卡-丘流形上的IIA 理论。这两个流形虽然很不相同,但对应的弦
的世界面上的共形场论却完全一样,所以,两个弦理论起码在微绕论中是完全一样的。这是
推广的T 对偶。
在坚持研究镜像对偶的过程中,坎德拉斯等人发现一般的卡-丘流形都有一个奇异的极
限,这个极限下的卡-丘流形上有一个奇异点(当然也可以有若干个奇异点)。笼统地说,一
个卡-丘流形是一个六维紧致空间上加了一个复结构和度规。给定一个空间,复结构和度规
都可以改变,这些改变由许多复参量来标志。其中一部分复参量用来描写复结构,个数等于
流形中三维不平凡子流形个数的一半。我们要稍微解释一下什么是不平凡的子流形:这些流
形本身不同调于一个点,或者说,不是一个高一维子流形的边界。举例子:在球面上我们随
便看一个圆,这个圆一定是球面上一个实心圆的边界;相反,在环面上存在一些圆不是实心
圆或者其他什么面的边界,独立的个数有两个。巧合的是,两维的卡-丘流形就是环面,其
复结构参数的个数是1,也是不平凡的圆的个数的一半。现在,一个六维的卡-丘流形上有偶
数个不平凡的三维子流形,其中部分是三维球面。在一个极限下,某三维球面变成了一个点,
这个点是奇异的。在复结构参数空间(我们也叫它为模空间),这对应于将一个复参数调成零,
这些地方叫锥形点(conifold),因为卡-丘流形上这个奇异点附近看起来象一个锥面。沿着这
个锥面走到锥顶,一个三维球面缩小成一个点。
坎德拉斯等人的研究结果是,所有已知的卡-丘流形都有一个甚至更多的锥形极限,起码
有一个不平凡的三维球面可以缩小成一个点,有时,更多的三维球面缩小成一个点。一般地,
要将一个三维球面缩小成一个点,模空间上的某个复参数要调成零。并且,有意思的是,在
模空间中绕着这个锥点(其实有许多锥点,因为还有其他复参数,但我们将其他复参数固定)
转一圈,其他不平凡的三维子流形会发生变化: 如果某个三维子流形与锥点流形(就是可以缩
小为点的)相交,那么这个流形在转了一圈后会多出这个锥点流形。
在锥形点,卡-丘流形是奇异的,因为标量曲率在锥点处变为无限大,从而弦的世界面上
的物理没有定义,弦的微绕论很难处理。坎德拉斯等人发现,将该锥点吹大的办法有两种,
一种当然是回到原来的非奇异的卡-丘流形,还有一种是将锥点变成一个两维球面,从而获
得一个新的、完全不同的卡-丘流形(当然数学家较早地知道这件事)。这两种卡-丘流形
的拓扑完全不同,差别比两个互为镜像的卡-丘流形还要大。他们猜测,有一个物理的办法
将这两个卡-丘流形连接起来,就是说,物理上,我们可以从一个卡-丘流形光滑地变到另
一个卡-丘流形,但那个时候(90 年左右)并不知道如何达到这个目的。并且,那个时候所
知道的所有的卡-丘流形都可以通过这个缩小-吹大的办法连接起来。
斯特劳明格 95 年四月份的贡献是提供了从一个卡-丘流形通过锥形点过度到另一个卡-
丘流形的物理机制。他首先注意到,几何奇异性出现在物理中。对应于那个与锥点正交的不
平凡三维子流形有一个复函数,该复函数是模空间上的一个指数函数。当我们在模空间上绕
锥形点转一圈后,该函数改变了。这个改变非常类似塞伯格-威顿中初势(prepotential)在模
空间上绕奇异点的改变(见第八章第一节)。其实,这个函数正是某U(1)规范群的初势(稍后
再谈),而模空间上的复参数正是该规范超多重态中的复标量场。所以,直接的几何竟然是低
能有效理论中的物理。这大概是弦论令人惊讶的事实之一。
这个事实以前已经有人注意到,但没有理解为什么会有奇异性。斯特劳明格所作的进展是
将这个事实和塞伯格-威顿理论联系起来,这样他就被迫寻找类似的解释。在塞-威的理论
中,奇异性的出现是一个零质量的超多重态的出现,可能是一个磁单极超多重态,也可能是
一个双子超多重态。在弦论中,这是什么呢?
我们已经了解了弦论中的各种膜,特别是 D 膜的存在,所以他的回答对于我们来说并不奇
怪。他当时的回答是带雷芒荷的黑洞,今天更准确的说法就是D3 膜,IIB 理论中的D3 膜-
不是原来意义上的黑洞。当D3 膜的三度空间绕在那个可以缩成为点的三维球面上时,这个膜
在其余的四维时空看来就是一个粒子,其质量正比于三维球面的体积。当体积变成零时,这
个粒子的质量就变成零了,正是我们希望得到的类似塞-威理论中的零质量的粒子。
IIB 理论中有一个自对偶的四阶反对称张量场,其电荷-磁荷的携带者就是D3 膜(这里
电荷与磁荷没有区别,因为这个场是自对偶的)。当紧化在卡-丘流形上时,对应于一个非平
庸的三维子流形,我们由四阶反对称张量场获得一个四维时空中的U(1)规范场,而绕在该子
流形上的D3 膜正好是这个规范场的电荷, 并且, 这些D3 膜形成一个超多重态
(hyper-multiplet)。当这个超多重态变轻时,我们可以积出它们从而获得一个低能的有效理论,
单圈图对初势的贡献会有指数函数,这正是模空间上的几何所给出的。从而,原来知道的锥
形点的奇异性来自于零质量的粒子。如果我们不积出这些粒子,理论就没有奇异性。诚然,
这里最不可思义的是经典的几何反应了D3 膜的量子效应。
(第二节)
我们上一节大略总结了一下斯特劳明格的工作,接着他和格林( B.Greene)以及莫里森(D.
Morrison)将这个工作用到理解从一个卡-丘流形过渡到另一个卡-丘流形这个问题上去。
在斯特劳明格的文章中,他还试图理解为什么经典的几何会反映量子的信息。就是说,D3
膜单圈量子修正为什么会出现在模空间的经典几何中。这的确有点奇怪,因为单圈图通常有
普朗克常数。他的解释是,普朗克常数通常伴随着弦耦合常数出现,所以要看为什么弦耦合
常数不出现。D3 膜所耦合的雷芒张量场的耦合常数的确与弦耦合常数无关,加之,决定弦耦
合的伸缩子在一个N 等于2 的超多重态中,不会与张量场所产生的矢量多重态发生任何耦合,
因为超对称不允许中性超多重态与矢量场耦合。所以,D3 膜在四位时空所产生的超多重态,
由于带矢量多重态的电,又是无质量粒子(如果有质量的话,其质量与弦耦合常数有关),其
量子效应也不会与弦耦合常数相关。
另外一个问题是如何在 IIA 理论中理解锥形点的奇异性:每个在锥形点的卡-丘流形上的
IIB 理论应当有一个IIA 理论在另外一个流形上。但在IIA 理论中,不再有D3 膜,相应的流
形也不会有缩小为一点的三维球面。原先的与复结构相关的模空间现在变成与开勒形式相关
的模空间,所以应当是两维子流形缩小成一个点。这个时候,代替D3 膜出现的是D2 膜。
斯特劳明格和他的合作者在 95 年四月份的第二篇文章中利用无质量的D3膜从一个锥形点
光滑过渡到另一个卡-丘流形。
一般地,紧化在一个卡-丘流形上的 IIB 理论中的矢量多重态的个数等于非平凡子流形个
数的一半,这些四维时空中的矢量场来自于四阶雷芒反对称张量场,给定一个三维子流形,
四阶反对称张量场在这个子流形上的积分给出一个四维的矢量场(四阶张量场中的三个时空
指标在三维子流形上已被积掉)。但我们所得到的矢量场的个数不等于非平凡三维子流形的个
数,这是因为四阶张量场是自对偶的,给定两个正交的三维子流形(交于一点),由这两个子
流形得到的矢量场互为对偶。这样,对于一个矢量场来说,绕在该子流形上的D3 膜带这个场
的电荷,而绕在与其正交的子流形上的D3 膜带它的的磁荷。一个三维子流形对应的矢量多重
态中的复标量场标志该三维子流形的“大小和形状”。当这个标量场为零时,我们得到一个缩
小为一点的三维球,这就是一个锥形极限。但不是所有的三维子流形都可以缩为一点,能缩
成一点的三维球面的个数依赖于具体的卡-丘流形。
在 IIB 理论中,还有度规和内吾-史瓦兹二阶反对称张量场。这些场在卡-丘流形上可能
取的值给出四维时空中的标量场,由于我们有N 等于2 的超对称,这些标量场与费米场形成
超多重态:每个这样的多重态中有四个实标量场。当然伸缩子,雷芒标量场以及四维中的二
阶反对称张量场也给出超多重态,不难计算,所有超多重态的个数是卡-丘流形中非平凡二
维子流形的个数加上1。
当我们处于锥形极限时,就多出了一些超多重态,来自于无质量的 D3 膜,并且带一些矢
量多重态的电。由于是无质量的,一部分这样的超多重态中的标量场对应于所谓的平坦方向,
也就是说,这些标量场可以获得真空期待值,从而发生黑格斯现象。其所带电的矢量多重态
变成有质量的,而一些新的超多重态仍然是无质量的。这样,我们从一个卡-丘流形过渡到
另一个卡-丘流形,这个新的卡-丘流形少了一些矢量多重态,多了一些超多重态。
举一个例子,一个所谓的五阶卡-丘流形(quintics)中有202 个非平凡三维子流形,从而
有101 个矢量多重态,有1 个二维非平凡子流形,从而有两个超多重态。现在,16 个三维子
流形可以同时缩成一点,但缩成一点的自由度是15,就是说,当其中15 个三维球面缩成一点
时,第16 个自动缩成一点。所以,15 个矢量多重态可以通过黑格斯机制变成有质量的。但是
并非会产生16 个无质量的多重态,因为规范独立的平坦方向只有四个,所以黑格斯机制后,
只多出一个无质量的超多重态。总结一下,新的卡-丘流形上有86 个矢量多重态,3 个超多
重态。这个新的卡-丘流形正好可以通过吹大16 个锥形奇点点获得(吹大出一些两维球面,
而不是三维球面),这样,过去的一些猜测得到证实:通过缩小-吹大联系起来的卡-丘流形
的确在物理上可以光滑地连接起来,原来独立的模空间其实是一个大的模空间的两个分支。
有意思的是,在新的卡-丘流形上的新的超多重态来源于微绕弦态,尽管原先是无质量的
D3 膜。
已知的所有的卡-丘流形都可以通过锥形极限连接起来,人们并且猜测,所有的卡-丘流
形都可以这般连接起来。如果是这样,那么在物理上,只存在唯一的卡-丘流形模空间,这
就将弦论统一在一个“真空模空间”下。
这样,过去的镜像对称猜测一定是对的,因为现在我们只要找到一个镜像对偶,其余的镜
像对偶一定存在,因为物理上所有的卡-丘流形处在一个模空间上。
我们过去难以想象,物理中的概念如黑格斯机制、孤子等会与看起来完全没关系的数学有
着这样深刻的联系。
四维的 N 等于2 弦论既可以由型II 弦紧化在卡-丘流形上得到,也可以由杂化弦紧化在
K3XT(2)上得到,K3 就是四维的卡-丘流形,而T(2)是两维环面。由此自然产生一个问题,
这两类N 等于2 的弦论是完全不同,还是对偶的?弦论中对偶的普遍性隐含着一个结论,就
是这两类弦论是对偶的, 如果规范群允许的话。型II 的规范群的阶可以很大,因为,我们已经
看到,如果不平凡三维子流形很多,矢量多重态就很多,这是IIB 的情形。但是,杂化弦的规
范群的阶有一个上限。当规范群的阶允许时,卡切儒(S. Kachru)和瓦法(C. Vafa)得到一些
对偶的例子,他们的工作出现于95 年五月份。
从拓扑的角度,四维卡-丘流形只有一个,就是 K3 流形。当然这个流形上的复结构参数
和开勒参数有许多,我们在第九章第二节已经介绍了一点,这里不再作进一步介绍,因为实
在比较技术。K3 流形破缺一半超对称,所以原来杂化弦中的16 个超对称生成元只剩下8 个,
等于四维N 等于2 的超对称。进一步紧化在两维环面上,没有超对称被进一步破坏,得到的
四维理论是一个N 等于2 的弦论。
杂化弦中可以得到非阿贝尔对称性,型 II 弦如何得到?其实,当六维IIA 理论紧化在K3
上时,我们已经有这个问题,因为我们知道这个理论对偶于一个紧化在四维环面上的理论。
这个问题的回答是,IIA 理论中多出的非阿贝尔规范场来自于绕在缩小为一点的K3 中的两维
球面上的D2 膜,此时D2 膜在六维非紧的时空中表现为一个矢量多重态。进一步紧化在两维
环面上,这个N 等于4 的矢量多重态可以解释为N 等于的一个矢量多重态和一个超多重态。
但上面是 IIA 理论紧化在K3XT(2)的情形。六维的卡-丘流形很不同,但也有两维面,有
些卡-丘流形可以通过将K3 流形在两维球面上作丛获得,这个K3 纤维在两维球面上的某些
点缩小为一点,从而提供了出现新矢量多重态的可能-也是来自于D2 膜。事实上,卡切儒-
瓦法构造的对偶中涉及的卡-丘流形都可以通过这个办法获得。在后瓦法和另外三个人的工
作中,卡-丘流形可以通过K3XT(2)的迹形获得。
这些工作都相当技术化,我们不拟介绍任何细节。需要指出的是,在型 II 理论中,由于伸
缩子处于中性超多重态中,与矢量多重态没有耦合,所以后者的经典模空间没有量子修正,
如果有修正,在IIA 理论中是弦的世界面瞬子修正,这是树图,但超多重态的模空间有量子修
正。在杂化弦中,伸缩子处于矢量多重态中,从而矢量多重态的模空间有量子修正。这些量子
修正在型II 理论中已经为经典几何决定。同样,杂化弦中的超多重态的模空间没有量子修正,
因为伸缩子在矢量多重态中,所以经典结果是严格的。可是,相应的超多重态的模空间在型II
理论中有量子修正,虽然如此,我们可以用杂化弦得到严格的结果。
塞伯格-威顿的N 等于2 的量子场论结果虽然是一个奇迹,但在弦论中,奇迹更多,而场
论的结果在这里反而轻而易举地被得到,因为,通过弦论的对偶,时空瞬效应等价于对偶理论
中的弦的世界面的瞬子效应。
(第三节)
在第九章的结尾,我们提到型 I 弦可以看作是IIB 弦的迹形,这个构造其实是一类构造的
特例,这类构造叫定向迹形(orientifold), 早在80 年代末就被发现。这是泡耳钦斯基及其学生
在发现D 膜的文章中所指出的,同时也被其他人独立发现。
迹形构造我们在介绍弦论第一次革命时已经提过,这里再简要说一下。当弦在一个自洽的
时空中运动时,该时空可能有对称性,也可能没有;可能有连续对称性,也可能有分立对称性。
只要有对称性,我们就可以构造迹形。构造迹形的对称群是一个分立子群,在这个子群的作用
下,我们将所有可由子群联系的点等同起来,得到的时空是原来时空的一个陪集空间。在过去,
一般假定对称子群只作用在空间上,不作用在时间上。这样,迹形的弦论的时空就是这个陪集
空间。与迹形量子场论不同的是,弦论构造会产生所谓的纽态(twisted states ),这些纽态不是
别的,是原来不能闭合的弦在子群的作用下闭合的弦。最简单的例子是一个圆上的绕态,在构
造迹形之前,圆本来是一根无限长的直线,对称子群由一个平移产生的无限群。一个绕数为1
的态原来不可能闭合,因为两个端点差一个平移。
上述的一般迹形所用的对称是时空对称。现在我们想利用的对称性是弦世界面上的宇称对
称,就是世界面的定向反演。这个对称性无非是将一个有着一定定向的弦变到一个有着相反定
向的弦,弦的相互作用不破坏这个对称性。在弦的定向反演下,世界面上的左手模被映射到右
手模。可以说,这是弦的一个“内部对称性”。这个对称产生的群只有两个元,我们用这个对称
群来构造迹形。从某种意义上来说,迹形构造是将分立对称性规范化:所有可以通过这些对称
元变换的物理态被等同为同一个物理态。
当考虑超对称时,我们要考虑到弦的定向反演如何作用在世界面的费米场上。同样,我们
将左手费米模映射到右手费米模。但由于格舍奥投射,IIA 弦没有这个对称性,因为左手模和
右手模的格舍奥投射相反。IIB 弦有这个对称性,因为格舍奥投射相同。从时空的角度来说,
IIB 弦论中两个超对称的手征相同,所以可以等同起来,其他场如两个引力微子场的手征性也
一样,可以等同起来。当我们构造迹形后,闭弦不再是可定向的,而超对称也只剩下一个。这
正是型I 弦的情形。从某种意义上看,开弦可以解释成迹形构造的纽态。但这个解释不宜太认
真地对待。
如此构造后的型 I 弦含有16 个D9 膜和一个不可定向平面,这个平面的张力是负的,正好
抵消16 个D9 膜的张力。形式上,D9 膜也带有十阶反对称张量场的荷,这个荷也被不可定向
平面所带的荷抵消。从这个定向迹形的构造,我们很难看出不可定向平面是怎么来的。
不可定向平面最容易从 T 对偶来理解。将型I 弦紧化在一个一维缘圆,我们问经过T 对偶
变换,所得到的理论是什么?或者,我们问,IIB 弦的迹形的T 对偶是什么?
在 T 对偶的映射下,新的世界面上的场(一维圆)的左手模和过去的一样,右手模改变符
号。在定向反向变换下,左手与右手交换。这个变换作用在T 对偶的世界面上的场,不但交
换左手和右手,同时还改变符号。由于IIB 弦的T 对偶是IIA 弦,所以我们用IIA 弦作迹形构
造,群也是两阶群,群元作用在对应于一维圆的那个世界面标量场,效果是在交换左右手的同
时还改变符号。这样,就有两个不动点,两个对极点。这两个点不变,其余的点通过改变符号
等同起来,所以型I 弦的T 对偶不再是一个圆,而是一个线段。在线段中的任何一点,左手模
和右手模是独立的,这不同于型I 弦。当然,由于这个线段比原来的圆小于一半,自由度和T
对偶前一样。在线段的两个端点上,左手模和右手模等同起来。这两个端点从十维时空的角度
来看是一个空间为八维的面,这两个面是不可定向平面。所得到的新的开弦理论叫做型I'。由
于对称群的元是定向反演和圆上的对称的结合,这个构造叫定向迹形构造。
在讨论 D 膜时我们知道,沿着D 膜的一个纵向方向的T 对偶使得D 膜减少一个空间方向。
这样原来的一个D9 膜变成一个D8 膜,与线段垂直。一个不可定向平面的张力是D8 膜的8
倍且差一个符号,这样,总张力为零,所以型I'理论中的九维时空宇宙学常数为零。现在,D8
膜上线段上的位置就是原来D9 膜上的一个威尔逊线的相,由于原来的规范群是SO(32),有
16 个独立的相,对应于16 个D8 膜在线段上的位置。这个规范场与标量场在T 对偶变换下的
对应我们在上一章的第二节已经说明了。
当 N 个D 膜在一起时,规范群为U(N),注意这里弦是可定向的。当N 个D 膜与一个不可
定向平面重合时,由于它们的镜像也重合于这个面,此时规范群变大了,成了SO(2N)。
我们可以将这个一维的定向迹形构造推广到高维。将 IIB 紧化在一个高维环面上,结合定
向反演和T 对偶,我们得到一个新的理论,这是一个定向迹形,非平庸元是定向反演和整个
环面反演的结合。现在有若干个不可定向平面,个数等于环面上不动点的个数。如果是两维环
面,有四个不动点,就有四个不可定向平面。一维圆的陪集是一个线段,两维环面的陪集看起
来就象一个四面体的面,拓扑和一个圆一样。
如此这般构造出来的不可定向平面都叫 SO 平面,因为当D 膜与其重合时,扩大的规范群
是一个正交群。还存在SP 平面,因为可以用来构造SP 群。这种平面可以通过推广以上的构
造获得。
一般的定向迹形所用的群可以包括定向反演以及其他的时空对称元,最简单的例子是泡耳
钦斯基和他的学生基芒(E. Gimon)96 年考虑的一个例子。考虑IIB 弦紧化在四维环面上,对
称群含有定向反演,空间反演以及这两个反演的结合。这样得到的理论其实就是型I 弦紧化在
四维环面的迹形上,一共有16 个不动点从而有16 个五维的不可定向平面。N 个重合的D5 膜
的规范群是SP(N),当这些D5 膜同时和一个不可定向平面重合时,规范群就是U(2N)。D5 膜
的规范群是SP 和我们在上一章中的讨论吻合。
如何获得以上的结果呢?和过去一样,这里要考虑所谓蝌蚪图的抵消(tadpole)。也就是,
开弦的单圈图要抵消,这里的单圈图包括莫比乌斯带、克莱因瓶和交叉帽(crosscap)。当这些
图抵消时,就不会存在产生非紧的六维时空背景场的源。这些要求给D5 膜可能的陈-巴顿因
子一些限制,从而决定了可能的规范群。我们知道,开弦对偶于闭弦(s-t 道对偶),开弦的单
圈图可以解释成闭弦的树图,所以我们叫这些计算为蝌蚪图计算(产生经典场的源看上去象蝌
蚪)。
六维时空中的手征理论含有规范和引力反常,而蝌蚪图从开弦的单圈角度看又和反常有关,
所以相应的抵消其实也就反常的抵消。这在后来包括泡耳钦斯基和塞伯格等人的文章中有很好
的讨论。
定向迹形构造随着紧化空间的维度增大越来越复杂,可能性也越来越多。这些构造可能以
这样或那样的方式与其他的弦论对偶。一个非常特出的例子我们在第九章的结尾已经提出过,
就是九维的型I'弦和杂化弦以及哈加瓦-威顿理论的对偶。
两维环面上的定向迹形构造还和一种特别的 IIB 紧化对偶,这个紧化被叫成F 理论,我们
在下一节中再说。
(第四节)
在 11 维的M 理论提出不久,有一部分人有提出更高维理论的趋势。其中瓦法提出的F 理
论,影响较大。虽然他的目的是提出一个12 维的理论,但这个理论似乎并不是独立的理论,
只是IIB 弦的特殊紧化而已。那时提出的一些高维理论,现在看来,并不是实质的新理论。当
时还有13 维理论等等,随着时间的推移,我们并没有看到这些理论有什么生命力。
一次革命后讨论的弦论的紧化一般要求紧化空间的二阶曲率张量(里奇张量)为零,一来
可以保证非紧的时空有一定的超对称,二来不会因为曲率的产生要求非紧的时空也有曲率。
二次革命后,由于D 膜的发现,紧化有了更多可能,上一节中的定向迹形就是一种新的紧化,
但定向迹形还是里奇平坦的,因为在构造迹形之前,紧化流形是平坦的。瓦法引入的一种新
的紧化可以说第一次引进了里奇非平坦的紧化流形。
所以可能有非平坦的流形是因为 IIB 理论中存在不同的D7 膜,这样就不需要引入定向平
面来抵消相同D7 膜的所带的雷芒荷,同样,D7 膜所带的张力使得两维横向空间弯曲而完全
闭合,不会带来八维非紧时空中的宇宙学常数。后者的另一个解释是,紧化的两维空间的正
曲率对非紧化的8 维时空贡献一个负宇宙学常数,正好抵消D7 膜张力的贡献。由于每个D7
膜在横向两维空间产生一个缺陷角(deficit angle),是30 度,我们需要24 个D7 膜来产生足
够的缺陷角使得两维空间闭合,也就是产生720 度缺陷角。
IIB 理论中为何有不同的D7 膜?原因是,IIB 理论中有不同的弦,如基本的弦以及D 弦,
还有所谓(p,q)弦,带内吾-史瓦兹荷以及雷芒荷。每一个这样的弦又有自己的D 膜,这种弦
可以在其上断开运动。只有一种D3 膜,因为D3 膜是强弱对偶不变的,但有不同的D1 膜以
及D5 膜和D7 膜。
不同的 D7 膜产生非平庸的伸缩子场和标量雷芒场。这两个场结合起来形成一个虚部为正
的复标量场,当我们在两维横向空间绕D7 膜一圈时,这个复标量场不一定回到原来的值,而
与原来的值差一个SL(2,Z)变换,不同的变换对应于不同的D7 膜。当24 个不同的D7 膜放在
一起时,由于空间是闭合的,我们要求所有的SL(2,Z)变换的乘积为1。这也是各种荷抵消的
一个要求。
瓦法在提出新的 IIB 弦的紧化之前,对这样的解很熟悉。他过去和一些合作者研究过所谓
轴子(axion)弦,和D7 膜的解完全一样。在三维空间中,弦有两维横向空间,轴子弦产生伸
缩子背景场和一个轴子场,合起来也是一个复标量场。现在我们加上六维纵向空间,由弦可
以得到D7 膜。在研究轴子弦的时候,瓦法等人发现,如果将复标量场解释为一个两维环面的
复结构模(moduli),很容易找到解。在两维横向空间的每一点加上与这个模对应的环面,我
们得到一个四维空间。如果横向空间是一个球面,这个四维空间就是一个K3 流形,一个四维
的卡-丘流形。这个K3 流形叫球面上的椭圆纤维,因为每个纤维是一个环面-数学中的复椭
圆曲线。在一个D7 膜上,环面是奇异的,缩小为一个圆。
瓦法在他的 F 理论文章中,很认真地对待这个环面。加上两维球面,紧化空间就是四维的,
加上八维非紧时空,我们就有12 维时空,他认为这是一个新的理论,F 理论。两维环面被看
成是SL(2,Z)强弱对偶的几何实现,因为这个群由环面的几何对称性生成。但是,除了这个复
模参数之外,环面上没有其它场。这样,这个F 理论与M 理论很不相同。
在他提出这个理论后,因为去哈佛报告,我问了瓦法为什么将 12 维理论叫做F 理论,他
答,他太太刚生了第二个儿子,F 是英文父亲的简写。而M 理论对于某些人来说,是母亲理
论。
但目前除了用来获得比较复杂的 IIB 弦紧化,F 理论并没有什么独特的内容,所以作为一
个新理论,已经没有很多人认真对待了。
瓦法的两维球面紧化使我们获得一个 N 等于1 的八维理论,并且有规范场,由于对偶的普
遍性,自然我们会猜测这个理论与已知的N 等于1 的八维理论对偶,如紧化在两维环面上的
杂化弦。数闭弦中的无质量场,这两个理论的确一样。一般地,八维杂化弦有20 个阿贝尔规
范场,16 个从十维的杂化弦直接得到,另外四个来自于环面上的紧化。表面上,F 理论中含
有24 个D7 膜,所以应该有24 个阿贝尔规范场。瓦法论证,由于这24 个D7 膜不同,可能有
重复计算,所以只有20 个规范场是独立的。比较直观的证明是我和道格拉斯在一篇文章中提
出的。
还可以通过观察不同的非阿贝尔点来论证这个对偶。当然还有所谓的追逐对偶论证法,就
是用一个许多对偶串起来的链子来证明,其中一个论证是,将球面紧化进一步紧化在环面上,
我们得到一个N 等于2 的六维理论,在杂化弦方面,是一个紧化在四维环面上的理论。IIB 理
论过去被论证对偶于IIA 理论在K3 流形上的紧化,后者对偶于杂化弦在四维环面上的紧化,
所以F 理论的紧化对偶于杂化弦在四维环面上的紧化。
相对直接的证明来自于森。森指出,瓦法的 F 理论紧化其实是一种定向迹形的变形。这个
定向迹形正是我们上一节讨论过的。将IIB 理论紧化在两维环面上,此时有弦的定向反演不变
性,以及定向反演结合环面的两维同时反演不变性。用前者构造迹形得到型I 理论,用后者构
造迹形,我们就得到定向迹形。由于环面反演有四个不动点,迹形的两维紧致空间就是一个
四面体的面,拓扑是一个球面。这个球面应该是瓦法的紧化球面一个极限情形,在这个极限
下,球面上除了四个点外没有曲率,而复标量场也是一个常数。这的确是F 理论紧化所允许
的,那个四维K3 流形在这个极限下是一个四维的迹形。
在定向迹形理论中,在四个不动点上有四个不可定向平面,其雷芒和可被 16 个D7 膜的雷
芒荷抵消。的确,在每一个不动点上有四个D7 膜,所以对应的规范群是SO(8)。F 理论中瓦
法通过奇异点的分析用在这里也得到SO(8)群。更为重要的是,在F 理论也就是IIB 理论的紧
化中,当我们绕一个顶点转一圈后所得到的SL(2,Z)变换正是定向反演,而所谓绕一圈等于环
面上的反演,所以这个结合变换正是定向迹形中的对称性。这样,瓦法紧化的一个极限是定
向迹形。
但这两个图象有所不同。在瓦法紧化中,有24 个D7 膜,每个定点上共有6 个。而在定向
迹形中,每个定点上只有4 个D7 膜。森说明,定向迹形的非微绕效应使得每个不可定向平面
分裂成两个D7 膜。特别是,当每个顶点上的四个D7 膜分开后,定向迹形构造中的复标量场
不再是严格的,有非微绕修正。这些修正正好使我们得到是瓦法构造中的复标量场的解。奇
怪的是,微绕结果以及非微绕结果正好对应于塞伯格-威顿理论中有四个超多重态情形(复
标量场被解释为塞-威理论中的复耦合常数,而两维横向空间是塞-威理论中的模空间)。当
然,这里是一个巧合,因为塞伯格-威顿理论是四维理论。
F 理论还可以紧化到更低维的非紧时空,同样,要利用复标量场可以解释为两维环面复模
参数这个好处。当紧化到四维非紧空间时,还必须引入D3 膜,但这里的技术细节比较复杂。
在结束本章时,我们要强调,我们仅仅讨论了一些最为重要的对偶和紧化,还有更多的对
偶和紧化我们不能涉及。这些对偶使得弦论的对偶非常丰富多采。
第十二章黑洞
(第一节)
黑洞的量子物理的理解可以说是弦论第二次革命最大成功之一,虽然弦论还没有解决黑洞
的所有问题。对于一大类可以在弦论中实现的黑洞,弦论不仅可以解释贝肯斯坦-霍金熵公
式,还可以解释黑洞的霍金蒸发以及更为细致的所谓灰体谱。从这些进展中我们无疑可以得
出一个结论,那就是弦论在原则上可以解决与黑洞相关的所有量子问题,包括过去长期争论
的黑洞信息问题。但是,所有目前技术所限,最为普遍和最为简单的黑洞-史瓦兹希尔德黑
洞-的量子物理还没有在弦论中得到理解。可以肯定,一旦这方面有进展,弦论的发展将又
进了一大步,甚至会带来弦论的又一次革命。
我们早在第二章第三节就介绍了黑洞及其量子物理的一部分,现在不再重复。想补充强调
的是,黑洞热力学建立在半经典物理基础之上,所导出的结论是非常可信的,不依赖于具体
的微观物理,如霍金温度以及黑洞的熵公式。黑洞与热力学的类比虽然有一定的假设,但还
是得到贝肯斯坦等人的物理论证的支持。真正缺乏的是,由于没有一个量子引力理论,我们
不知道黑洞的热力学是否和通常热力学一样有微观的起源;如果有微观的起源,这个微观理
论是什么?还有,在黑洞的蒸发过程中,量子力学的基本假设如么正演化是不是已经被破坏?
黑洞蒸发的末态是一个量子纯态还是一个混合态?
过去数年弦论中黑洞理论的发展预示着“保守”观点是正确的,也就是说,黑洞的确和任何
其它热力学系统一样,遵从量子力学,黑洞的熵也是微观态数目的一个度量。黑洞的末态是
纯态的最终证明将引入一些不可思义的观念,我们后面要谈。
早在第二次革命之前,弦论中就有了关于黑洞的一些猜测,主要由沙氏金及其合作者作出。
他们有两个重要结果,其一是弦的微绕态很重时可以变成黑洞,在变成黑洞的时候,弦微绕
态在给定一个质量时的态数目与黑洞的微观态数目一样;第二个结果我们在本章最后稍加介
绍,就是所谓的量子全息原理,这个原理基本上是一个定性结果,只是后来在弦论中的特殊
场合才被定量地实现。
在自然单位制中,牛顿引力常数有长度的平方量纲,就是通常的普朗克长度平方。贝肯斯
坦-霍金公式说,一个宏观的黑洞所带的熵是黑洞的视界面积除以四倍的牛顿引力常数。由
于普朗克长度非常小,而宏观黑洞比较大,这个熵相当大,比我们熟悉的热力学系统的熵要
大得多。当然,当黑洞变得很大时,黑洞熵要小于同样大的热力学系统,因为后者的熵正比
于体积,而前者的熵正比于面积。可是黑洞是一个系统可能达到的最大的熵,因为当一个热
力学系统达到相当大的体积时就变成引力不稳定的,逐渐塌缩成一个黑洞。
弦论中的微绕态的数目随着弦态的质量增大而增大,因为质量平方与弦上的激发量子数成
正比,而量子数越大弦态的数目越大。当量子数大到一定程度时,弦态的渐进数是量子数的
平方根的指数,当然指数上有一个无量纲的常数。也就是说,如果我们定义弦的熵,熵与该
量子数的平方根成正比,与质量成正比。但是,黑洞的熵在四维中与质量的平方成正比,所
以我们不能简单地将弦的熵和黑洞的熵等同起来。沙氏金猜测,弦态如果成为黑洞,引力的
效应就不能忽略,引力使得弦的质量“重正化”,也就是说物理的质量比微绕态的质量要小。这
样就能解释为什么弦态的熵与“裸质量”成正比,而与物理质量的平方成正比。
虽然直观上这个想法是正确的,但很难加以证明。后来泡耳钦斯基和豪罗维芝说明,我们
没有必要一定要去计算质量的重正化。我们要做的是去考察什么时候我们既可以相信微绕弦
论的结果也可以相信黑洞的结果。要相信微绕弦论,弦的质量就不能太大,否则有效的引力
耦合强度太大使得微绕论失效。要相信黑洞的结论,弦的质量也不能太小,否则弦不会给出
经典的几何(如果质量太小,几何量子涨落可能很大)。所以,应该有一个固定的点,在这一
点两种不同的图象同时正确,他们将这个点叫作对应点。我们叫这个将成为黑洞的弦为重弦。
从几何的角度来看,其他弦(试验弦)在这个重弦的背景下运动时,世界面上的理论正好当
几何的尺度是弦论标度时变成强耦合的,几何开始失效。也就是说,这个对应点应当发生在
重弦的引力半径接近于弦标度时。这样,用对应点的弦的熵公式,我们就得到黑洞的熵公式。
可惜这个计算只是半定量的,因为很难严格计算对应点。许多人相信,当弦的质量由轻调重
经过对应点时,应当发生某种相变。可以将这个相变叫做对应点相变。
在高于四维的时空中,黑洞的熵不再与质量的平方成正比,但对应点还是存在,计算表明
在对应点黑洞的熵由微绕弦态的熵给出。
弦论中的许多黑洞的熵都由贝肯斯坦-霍金公式给出,这就说明,如果弦论是正确的量子
引力理论,黑洞对应的微观态的数目,是熵的指数,无论这个黑洞是简单的史瓦兹希尔德黑
洞还是更为复杂的黑洞。
早在 90 年代初,弦论中的黑洞就为豪罗维芝和斯特劳明格以及吉本斯等人(G. Gibbons)
等人讨论过。他们讨论的是一般的黑膜,可以带一种荷以及质量。当膜紧化在环面上时就可
以获得低维的黑洞。但是在那个时候,根本无法讨论黑洞的物理,所以这些工作没有得到重
视。相反地,也是在90 年代初,威顿提出的一种两维黑洞吸引了相当大的注意力,因为这个
黑洞可以解释为当时研究的两维玻色弦中的解,同时世界面理论在是一个严格的共形场论。
这个方向在第二次革命中没有人重提,也许最近的对两维弦论的新的兴趣可以使得这个问题
复活。
弦论中的确存在许多种复杂的黑洞,因为弦论中有许多长程场,如内吾-史瓦兹反对称张
量场以及雷芒反对称张量场。根据黑洞无发定理,应该存在带有这些场所对应的荷的黑洞。
其实,我们熟悉的各种膜就是带这些荷的“黑洞”解。这些解不能真正地被看成黑洞,因为它们
的视界面积(或者体积)都是零。
我们经常说,弦论中的膜是 BPS 态,也是临界黑洞(extremal black hole)。在四维中,临
界黑洞是那种既带电荷又有质量的黑洞,同时电荷达到允许的最大值。这种黑洞虽然温度为
零,但熵不为零。弦论中只带一种荷的临界黑洞的熵为零,与四维的临界黑洞不同。这个现
象的微观起源很简单,举例来说,一个绕在一个紧化圆上的弦是一个BPS 态,其绕数就是一
个荷,这样的弦态的数目是一个超对称多重态的数目,不大,从而也就没有宏观的熵。视界
体积为零的现象也有一个简单的物理解释:还是以弦的绕态为例,由于弦的张力,圆的长度
越是靠近视界-也就是弦的位置-越小,在视界上等于零。有意思的是,弦的横向空间的体
积因为弦的存在变得比原来大。这个现象很普遍,在D 膜的情形,纵向空间越靠近视界越小,
横向空间越靠近视界越大。
当然,上面的结论只是对类似绕态才成立。对于动量态,纵向空间越靠近视界变得越大。
这可以由T 对偶看出来,因为动量模T 对偶于绕数模,而动量模所在的圆的半径是绕态所在
的圆的半径的倒数。同样,如果一个绕态上也存在动量激发态,圆的长度会因为动量的存在
变大。这也有一个直观的物理解释,动量模对应的能量与圆的半径成反比,所以圆的半径越
大,激发这些动量模所需的能量越低-这是能量极小化原理。
从上面的讨论我们可以看出,如果我们想在弦论中得到一个有宏观视界的临界黑洞,我们
必须有几个不同的荷。上面所说的弦的一个绕态上同时有动量激发是一个带两种荷的例子。
但两种荷还不足以产生一个宏观的视界,其实,要产生一个宏观的临界黑洞,最少需要三种
不同的荷,非紧时空必须是五维的。我们或者可以说,要产生一个宏观的黑膜,其横向空间
必须是四维的。将这个黑膜紧化在于其纵向空间平行的环面上,就得到一个低维的黑洞。到
目前为止,弦论中的临界黑洞都是这么构造的,第一个例子由斯特劳明格和瓦法给出。
(第二节)
斯特劳明格和瓦法的黑洞构造利用了新发现不久的带雷芒荷的 D 膜,他们的工作出现于
96 年一月,距泡耳钦斯基的D 膜文章只有三个月,这在当时也是正常的,那时的发展的确飞
快,弦论的知识一天一个样。虽然他们的五维黑洞的构造是第一个,却不是最简单和最自然
的。最简单的构造由卡伦(C. Callan)和马德西纳给出,相应的文章出现在斯特劳明格和瓦法
文章的一个月之后。在这篇文章中,卡伦和马德西纳不但讨论了临界黑洞,还讨论了稍微偏
离临界黑洞的情况,也给出了霍金蒸发计算的大致想法。所以,我们先从这篇文章谈起。
将型 II 弦紧化在五维的环面上,由于T 对偶,我们既可以从IIB 出发,也可以从IIA 出发,
比较简单的是IIB 中的构造。我们要构造一个既带三种荷的黑洞,同时还要求一些残余的超对
称没有破缺。这个要求很重要,我们后面要解释为什么重要。在IIB 理论中,我们有D1 膜和
D5 膜,这些可以被利用,D7 膜不能被利用,因为横向空间只有两维。D5 膜和D1 膜可以形
成束缚态,只有四分之一的超对称没有破缺。这个束缚态有许多解释,其中最直观的解释是
将D1 膜看成D5 膜上的激发态。如果将D5 膜绕在五维环面上,D1 膜绕在五维环面其中的一
个圆上,D1 膜在D5 膜的纵向空间中有四个垂直的维度,在这个四维空间中,D1 膜是D5 膜
上规范场的瞬子解。但在实际应用中,我们总是假定D1 膜在这四维空间中没有固定位置,瞬
子荷均匀分布在四维空间中。从超引力的解来看,就是将D1 膜的荷在四维环面上弥散化
(smearing)。从D5 膜上的规范理论来看,瞬子解不是通常的有固定位置的解,而是特霍夫特
的环子解(toron)。
有两个方法来看为什么这样的舒服态破坏了四分之三的超对称。一种是直接从 D 膜来看。
D5 膜以及D1 膜分别破坏二分之一超对称,但这些超对称不完全一样,只有四分之一是同样
的,所以当它们同时存在时,共有四分之三的超对称被破坏了。第二种方法是从D5 膜的理论
来看。D5 膜的存在破坏了一半超对称,所以D5 膜的规范理论含有16 个超对称元。这个规范
理论中的瞬子解和环子解能保持一半的超对称,也就是说只有8 个超对称元被保留了下来,
是型II 弦理论中超对称的四分之一。
我们接着要再加一个荷,就是沿着 D1 膜方向的动量模。可以证明,这个动量模破坏剩下
超对称的一半,所以三种荷的存在使得原来的超对称只剩下八分之一了。我们要解决的问题
是,这些动量模是什么开弦的激发态?因为两种不同D 膜的存在,应该有三种开弦。一种是
两个端点都在D5 膜上的开弦,一种是两个端点都在D1 膜上的开弦,第三种开弦的端点一个
在D5 膜上,一个在D1 膜上。卡伦和马德西纳试图论证,前两种开弦的动量模所费的能量要
大。但他们的论证不具体,没有很大的说服力。这个问题很久以后在仔细分析D5 膜D1 膜系
统后才得到令人信服的说明。尽管如此,卡伦和马德西纳是对的,只有搭在D5 膜和D1 膜上
的开弦才有无能隙的激发。
如果我们对上述的无能隙的开弦量子化,得到一些无质量的两维玻色场和同样多数目的无
质量的两维费米场,数目分别是D5 膜的数目乘以D1 膜的数目的四倍。在这些场中分配所有
的动量,得到很大的量子态的数目。取这个数目的对数,由一个渐进公式,我们得到对熵的
最大贡献,这个贡献不是别的,正是贝肯斯坦-霍金熵公式。这个公式非常简单,是三个整
数乘积的平方跟乘以一个常数。三个整数分别是:D5 膜的数目,D1 膜的数目,在圆上动量量
子化的那个整数。熵公式有明显的对称性,我们可以随意交换三个整数。这个对称性也是U
对偶所要求的,在U 对偶下,不同的D 膜甚至动量模可以互相转化。
要得到稍微偏离临界的黑洞,我们可以对一种或多种荷加对应的反荷。例如,如果原来的
动量模是向右运动的模,在加了向左运动的模后,我们得到一个偏离原来临界黑洞的黑洞。
有了向左运动的模,所有的超对称都破缺了,黑洞不再是稳定的,也有了霍金温度。黑洞不
稳定性在D 膜理论中有简单的解释,那就是,向右和向左的动量不是分别守恒的,一个基本
的向左运动的模可以和一个基本的向右运动的模湮灭,成为一个闭弦离开D 膜的束缚态,这
就是霍金辐射。标准的几何计算表明,霍金温度与向左运动的动量的平方跟成正比。
卡伦和马德西纳不但在 D 膜理论中计算了加入向左运动模后的熵的变化,还计算了霍金温
度。计算霍金蒸发就是计算辐射一个闭弦的几率,这由两个开弦的湮灭振幅给出,还要在可
能的初态中作平均。涉及的要作平均的算符是向左运动的数目算符,这样平均的结果是普朗
克分布,其中的温度就是霍金温度。当然,如果向右运动的动量不是比向左运动的动量大很
多,霍金温度就不这么简单。其实,如果我们将向左(右)运动的动量模看成一个气体,就
可以定义温度。这样就有个两个温度,向左温度和向右温度。由于向右的模多,温度也高。
霍金温度的倒数是这两个温度倒数的和,所以,如果向左温度远远低于向右温度,霍金温度
就接近向左温度。
我们回来谈谈斯特劳明格和瓦法的原始文章。这篇文章也是利用了 D5 膜和D1 膜,但紧
化的方式稍有不同,是将IIB 理论紧化在一个K(3)流形和一个圆上面。这样,没有黑洞的时空
中的超对称比紧化在环面上少了一半。这里,只考虑那些只破坏一半时空超对称的D 膜位形,
这些D 膜位形可由一个整数来刻划,这个整数很类似我们前面例子中的D5 膜和D1 膜数目的
乘积。在K(3)理论中,这相当于所有闭合子流形的交合点的数目:K(3)与一个点,或者两个
垂直相交的两维子流形。前者对应于四个维度绕在K(3)上的D5 膜和在K(3)上只处在一点的
D1 膜,它们的其余一个维度绕在圆上。后者对应于一些绕在一个两维子流形上的D3 膜和一
些绕在另一个正交子流形上的D3 膜,同样它们剩下的一个维度绕在圆上。
这样获得的 D 膜构形破坏时空超对称的一半,剩下的超对称和我们前面环面上的D 膜构
形一样多。现在,假定K(3)的尺度比圆小得很多,D 膜上的有效理论就是一个1+1 维的理论。
如果只考虑无质量的激发态,我们得到一个两维共形场论,其中心荷就是那个交合点数目。
现在,激发D 膜理论中的向右动量,我们计算熵的结果和黑洞的几何熵完全一致。
我想,斯特劳明格和瓦法的合作正好利用了他们各自的长处,前者对弦论中的黑洞很熟悉,
后者刚做完K(3)上D 膜的有效理论。但这个工作也有一些猜测的地方,如D 膜位形上的共形
场论是一个迹形共形场论。但这个猜测是正确的,后来有更严格的证明。
后来发现,上面介绍的两件工作在数黑洞的微观态时都有一个很大的缺陷,那就是,D 膜
上的有效理论的中心荷太大,原来用以计算态数的方法不能给出正确的结果。这个问题是马
德西纳和沙氏金发现的,他们指出,正确的物理图象是,D5 膜和D1 膜的束缚态其实形成了
在圆上的单个绕态,而不是许多绕数为一的膜的简单组合。这样,我们就有一个非常长的膜,
其上的中心荷是一个固定的数,也就是6。这样,通常用来计算态数的渐进公式是适用的。这
个物理图象同时解释了另一个问题,就是D 膜上激发态的能隙。根据黑洞的预测,这个能隙
很小,这和很长的D 膜有关,因为当D 膜很长时,其第一激发态的能量与长度成反比。
我们接着解释一个重要的问题,就是我们为什么要集中讨论临界黑洞?其实,弦论中讨论
D 膜上的有效理论时,我们必须假定这个理论是弱耦合的,否则我们很难证明有效理论是我们
想得到的那个共形场论。有效理论中的耦合常数与弦论的耦合常数成正比,同时也与D 膜的
个数成正比-当然,这是假定D 膜没有形成一个单独的长膜。要获得宏观黑洞,这个有效耦
合常数很大,所以黑洞的区域正好不是我们可以控制的情况。但如果所考虑的微观量子态保
持一定的超对称,这些量子态的存在不随耦合常数变化,所以我们可以人为地调节耦合常数
到很小来计算态的数目,虽然此时没有宏观黑洞。这个计算结果当耦合常数变大时也成立,
的确,黑洞的熵不依赖于弦论的耦合常数。
当 D 膜形成一个长D 膜时,似乎耦合常数变小了,这是个假相。有两个原因我们还要面
对强耦合问题,第一是形成长D 膜本身是强耦合的结果,第二,虽然只有单个D 膜,但D 膜
绕在圆上许多次,D 膜上的激发态在真实空间上相遇的几率还是很大,所以有效耦合常数还是
很大。
(第三节)
五维的黑洞虽然由 D5 膜、D1 膜和动量模形成,由于U 对偶,也可以由其他构造得到。
一个最简单的办法是在绕着D1 膜的圆上作T 对偶,从IIB 理论过渡到IIA 理论。在T 对偶下,
原来的D1 膜变成D0 膜,其绕数变成D0 膜的个数。原来的D5 膜变成D4 膜,垂直于新的圆,
而原来圆上的动量模变成新圆上的绕数模,这些绕数模是连接D4 膜和D0 膜开弦的绕数。直
观地,我们可以想象,此时D4 膜和D0 膜均匀地分布在新圆上,而开弦则尽量地变成链接相
邻膜的开弦,这就是所谓分数化的最简单的体现。这个IIA 位形看起来象一个手链,D4 膜和
D0 膜在新圆上是珠子,绕数模是串起这些珠子的链子。
由于 U 对偶,即使在IIA 理论中,5 维黑洞有许多不同的构造。上面是用D4 膜和D0 膜
以及开弦构造的位形。D0 膜在M 理论中是沿着第11 维方向的动量模。现在我们换一个角度,
从11 维理论看这个位形,那么D4 膜就是M 理论中的M5 膜,而开弦是M 理论中的M2 膜,
这两种膜的共同特点是在第11 维圆上绕了一圈,也就是说,M5 膜与M2 膜相交于一个圆,相
交的地方是一根弦,现在,D0 膜是沿着这个弦运动的动量。这样,M 理论中的解释就很清楚
了:M5 膜与M2 膜相交于一个弦,这个弦沿着M5 膜剩余的4 个方向作振动,振动以沿着弦
方向的动量出现。
在 11 维理论中,我们有随意选取第11 维的自由。现在,我们选M2 膜上垂直于相交弦的
那个方向作为第11 维,M2 膜在新的IIA 理论中的解释还是弦,但原来的D4 膜的五个空间方
向都垂直于第11 维,所以是新的IIA 理论中的内吾-史瓦兹5 膜,弦可以看成是内吾-史瓦
兹5 膜上的弦激发态(我们还没有仔细解释内吾-史瓦兹5 膜上的激发态,现在我们将弦是
基本激发态的这个事实直接接受下来),这个弦在5 膜中剩余的四个方向作振动。这个5 膜中
弦的振动形成黑洞的图象是后来马德西纳给出的。
将 M 理论或者型II 弦论紧化到四维非紧时空,我们可以构造带四个独立荷的临界黑洞。
和五维黑洞一样,为了得到有非零面积的视界,必须要有不同的荷,也就是不同的膜。现在,
为了得到四维时空中的黑洞,我们要将弦论紧化在六维环面上,比五维的情况多了一个圆,
从而,为了使得这个圆在视界上的周长不为零,我们需要另一个荷如沿着这个圆方向上的动
量抵消别的荷的缩小效应。为了得到一个还有剩余超对称的黑洞,四个荷不能是任意的四个
荷。
克莱巴诺夫(I. R. Klebanov)和赛特林(A. A. Tseytlin)在96 年四月份的构造也许是最简单
的。他们也是在M 理论中直接考虑这个问题,利用M5 膜。当两组M5 膜相交于一个三维空
间时,我们得到BPS 位形,剩余超对称是原来的四分之一。在M 理论中,这两组M 膜需要
的空间维度是七维,因为一组M5 膜已经占了五维,另一组M5 膜与前一组相交于一个三维空
间,还需要两维吹直的空间。现在,加入第三组M5 膜。第三组膜与第一组也相交于一个三维
空间,这三维空间与原来两组相交的三维空间只有一个共同的空间。同样,第三组膜与第二
组也相交于三维空间,我们不难看出,第三组膜的五个空间维度中的一维与前两组完全相交,
其余的四维分别于两组膜相交。这样,三组M5 膜占据了七维空间,完全相交于一维。这个三
组M5 膜的位形的剩余超对称是原来的八分之一。
将这个由三组 M5 膜形成的位形紧化在七维环面上,当然这个七维环面就是三组膜所占的
空间的环面,我们得到一个四维的黑洞。由于只有三个独立的荷,这个黑洞的世界面积为零。
我们现在激发三组膜相交的那个弦,使得沿着那个弦有动量出现。加上这个动量模,现在的
黑洞带了四个荷,世界面积不为零了。这个带有四个荷的临界黑洞在92 年和95 年就有人解
出,很容易利用这些解算出黑洞的熵,我们发现这个熵公式和五维黑洞的熵公式很类似。只
要将四个整数荷乘起来开平方乘以一个常数就获得了熵。这个四维临界黑洞的剩余超对称是
原来的十六分之一。
这个位形在型 II 弦论中有不同的解释。例如,取那个相交弦的方向作为第11 维,三组M5
膜在IIA 理论中的解释是D4 膜,在十维中相交于一点,而沿着第11 维方向的动量是与三组
D4 膜形成束缚态的D0 膜。
三组 M5 膜的简单图象却不是可以用来计算统计熵的最好构造。可以用来计算统计熵的一
种构造是马德西纳和斯特劳明格在96 年三月份的一篇短文中提出来的,其框架是IIA 理论,
所以和M5 膜的构造差一个U 对偶变换。在这个IIA 构造中,理论紧化在六维环面上,有一
组绕在六维环面上的D6 膜,还有一组D2 膜(可以解释成D6 膜上与其垂直的四维空间上的
瞬子解)。如果没有其他的膜,搭在D6 膜和D2 膜上的开弦可以有激发,但是一个两维空间上
的激发,这两维空间就是D2 膜和D6 膜共有的空间。现在,我们加入一组内吾-史瓦兹5 膜,
与D2 膜相交于一根弦,由于5 膜的出现,原来的D2 膜分数化,也就是说,D2 膜变成许多两
端搭在5 膜上的开膜,这样,原来搭在D6 膜和D2 膜上的开弦种类增多了,因为D2 膜的种
类增多了。这些开弦的激发是统计熵的来源。
虽然克莱巴诺夫和赛特林的三组M5 膜的图象不能用来直接计算统计熵,但他们提供的解
释还是很有意思的。他们说,用来计算微观态的是一种开膜激发态。这种开膜是两维的,就
是M2 膜,其端点是一维的,可以搭在M5 上。但是,现在有三组M5 膜,所以相应的开膜有
三个端点(很象一个短裤),每个端点搭在一种膜上,这样激发态的种类是两组M5 个数的乘
积。这样也能大概地解释统计熵。
我们过去没有解释开膜的概念,现在回过头来简介一下。开膜的存在可以从开弦的存在用
对偶的方法推出来。严格的推导要求考虑BPS 位形,所以我们从两个平行的D 膜和一根搭在
两个D 膜间拉直的开弦出发(如果这个开弦有振动,就不是一个BPS 位形)。如果两个D 膜
是D3 膜,在IIB 理论的强弱对偶变换下,D3 膜还是D3 膜,开弦变成了有两个端点的D1 膜,
或者叫D 弦。所以,D 弦可以搭在D3 膜上,在D3 膜理论中,这个开D 弦的解释是标准的磁
单极。现在,我们沿着垂直于D3 膜的一个方向作T 对偶,D3 膜变成D4 膜,而开D 弦变成
开D2 膜,与D4 膜相交成一根直线。我们可以继续作这样的T 对偶。
M2 膜可以搭在M5 膜上的这个事实也可以从D 膜推出。我们从两个平行的D4 膜出发,
这是绕在第11 维方向上的M5 膜。考虑一个拉直的两端搭在D4 膜上的开弦,我们知道,弦
来自于M2 膜,其一维绕在第11 维的圆上,所以,这个位形在M 理论中就是两个平行的M5
膜,还有一个两端搭在M5 膜上的开M2 膜,其端点是一个圆。将这个圆无限拉大,开M2 膜
与M5 膜相交于一根直线。
在 96 年上半年,许多不同的临界黑洞被构造出来,除了前面所述五维和四维的临界黑洞,
带角动量的黑洞也被构造出来。例如,在五维非紧时空中,角动量由两个整数所描述。当两
个角动量数相等时,黑洞是一个临界黑洞。角动量量子数在D 膜理论中对应于相应的共形场
论的R 对称性,如果量子数不为零,我们要激发带有这些R 荷的激发态。具体的计算表明,
黑洞的熵同样可以通过数D 膜上有效理论的微观态获得。
同样,对临界黑洞的小偏离的微观数态也是很成功的,贝肯斯坦-霍金熵一再被微观计算
所证实。
比推广这些熵计算更有意思的是严格地计算霍金蒸发,计算方法已经由卡伦和马德西纳提
出。具体的认真计算是达斯(S. R. Das)和马图(S. D. Mathur)完成的。他们先准确地计算了一
个左手的开弦态与一个右手的开弦态湮灭成一个带零动量的引力子(一个闭弦态)的几率,
然后结合可能的初态(由对黑洞熵贡献的所有微观态给出),这样得到辐射几率,与霍金的黑
体谱吻合。不但如此,能量辐射谱前面的系数正比于黑洞的视界面积,所有这些,都与经典
的黑洞辐射计算相同。能量辐射谱在(半)经典的计算中正比与黑洞吸收几率,他们也具体
计算了这个吸收几率,因为计算结果与具体的黑洞解有关,这是前人还没有做过的。前人的
计算一般是基于简单的史瓦兹希尔德黑洞和类似的推广。这样,黑洞在弦论中的微观实现不
但能解释微观态,还能解释具体的动力学。这些计算不但体现了弦论在理解在黑洞的量子性
质上的成功,还为将来的一些发展如反德西特/共形场论的对应作了准备。
达斯和马图的计算最早是关于五维黑洞的,这当然很快被推广到其它黑洞情形,也包括带
电粒子的辐射。
黑洞的微观考虑不但证实了在弦论中黑洞的存在并不破坏量子力学,还为弦论本身的发展
提供了动力和洞察,例如,非临界M 膜的熵就预言了一些M 理论中非常微妙的东西。
(第四节)
黑洞的膜的理论到了马德西纳和斯特劳明格的灰体谱计算可以说到了高潮。
我们在上一节提到达斯和马图关于 D 膜辐射的计算,这个计算假定黑洞离临界黑洞不远,
这样除了标准黑体谱中应有的普朗克公式外,还有一个和吸收截面成正比的因子。这个因子
的存在是因为被辐射出的无质量粒子要克服黑洞的引力,幅射谱不再是简单的黑体谱。在黑
洞的半经典计算中,计算这个因子比较复杂。而D 膜的图象中,我们只要计算两个开弦合并
成一个闭弦的几率,计算相对简单。这样简单的计算所给出的结果与半经典计算完全一样,
不能不令人惊讶。在离临界黑洞不远时,对于一个被辐射出的标准标量粒子来说,当能量低
于霍金温度时,这个吸收因子与黑洞视界的面积成正比,也就是说,对于长波来说,黑洞看
起来象一个黑盘。
而马德西纳和斯特劳明格则考虑黑洞离临界极限比较远的情况,同样考虑低能极限。在这
种情况下,吸收因子是能量的一个复杂函数,不仅仅与黑洞视界面积有关。这个因子破坏了
标准的黑体谱,所以这个因子被称为灰体因子。同样,吸收因子在黑洞背景下的半经典计算
很复杂,因为黑洞的几何比较复杂。但是,他们的计算结果表明,灰体因子和D 膜的简单计
算结果完全一样。所以,简单的D 膜图象不但能给出霍金辐射的黑体谱,同时给出与几何相
关的灰体因子。这是一个谜,为什么D 膜图象能够知道黑洞的几何?这在当时没有真正答案,
后来的反德西特/共形场论对应解开了这个谜。
当然,这些计算还是在一定的条件下才成立,这个条件叫做稀薄气体近似。在这个近似下,
D 膜上用来解释熵的开弦形成一个稀薄的气体。当这个气体不再稀薄时,我们真正的远离了临
界黑洞,而且黑洞在某种意义下相当大。
从后来发展的德西特/共形场论对应来看,我们比较容易理解96 年黑洞文献中各种极限的
意义。一般说来,如果某个极限可以放在德西特/共形场论的对应之下,两种计算的结果的吻
合是这种对应所保证的。共形场论是D 膜上的理论,表面看来与黑洞的几何完全无关,但这
个对应保证场论知道黑洞的几何,这是后来基于黑洞物理上的最重要的发展。
马德西纳和斯特劳明格还计算了带电粒子的蒸发,这里的带电粒子所带的电与五维黑洞所
带的第三种荷一样,这第三种荷就是开弦激发态沿着圆的动量。他们发现,带电粒子的辐射
超过中性粒子的辐射,这个结果还是和半经典计算的结果完全一样。
所有这些计算都针对标准的标量粒子,也就是说,辐射出来的粒子是一个和引力场有着标
准耦合的标量场。还有一种标量场,叫做固定标量场(fixed scalar),这种标量感受到一个有
效的势,使得它在黑洞视界所取的值固定。对于这种标量场来说,灰体因子的计算与标准标
量场不同,结果也很不一样。当能量很低时,固定标量场的灰体因子趋向于零,而标准标量
场的灰体因子趋于黑洞的视界面积。当能量不为零时,固定标量场的灰体因子更复杂一些,
对黑洞的几何更“敏感”一些。同样,半经典近似计算的结果和相对简单的弦论计算结果完
全一样。
我们到目前讨论的五维黑洞和四维黑洞都有一个有效弦的图象,例如四维黑洞可以看做是
三组不同的M5 膜相交于一根弦,这根弦振动起来,就产生了黑洞。其实,以上描述的所有物
理都可以由这根有效弦来描述。当我们激发这根弦上的向右运动的模时,我们产生临界黑洞,
当我们同时激发向右运动和向左运动的模时,我们产生了一个偏离临界的黑洞,此时黑洞有
了温度,从而有了霍金辐射。如果我们进一步将这根有效弦与引力场以及其它闭弦场耦合,
我们就可以计算弦的振动模衰变成闭弦的几率,这个几率就是霍金辐射加上灰体因子。有效
弦与闭弦场的耦合完全是过去已知的,不同的是,我们这里处理的不是基本弦而是有效弦,
所以弦的张力不一样。要得到正确的霍金辐射,有限弦的张力必须与不同的D 膜的数目成反
比,这就是我们前面说过的分数化现象,弦不是简单的与D 膜形成束缚态的弦,而是被D 膜
“切割”成很小很小的弦了。
在过去的三节以及本节的开头我们讨论的黑洞是由不同 D 膜或者M 膜形成的黑洞,这样
我们留给大家的印象是弦论中必须用到不同的D 膜。这不是事实,事实是,我们可以用一种
膜形成黑膜或者黑洞,只不过这类黑膜的弦论计算不容易实现。举例来说,我们可以由一种D
膜出发在上面激发零质量的开弦态。当D 膜是无限大时,我们就获得一个黑膜,这个黑膜只
带一种荷,就是D 膜所对应的雷芒荷,与D 膜的个数成正比,黑膜的能量是D 膜的张力加上
D 膜上的激发态的能量。当我们紧化黑膜的所有纵向方向时,我们就获得一个低维时空中的黑
洞。例如,由若干个D3 膜出发,激发上面的零质量开弦态,然后紧化在一个三维环面上,我
们就获得一个七维时空中的黑洞。这个黑膜或者黑洞解早在九十年代初就知道了,所以可以
很快算出黑洞的熵。这个熵与D 膜个数的平方成正比,这很容易理解,因为D 膜上的零质量
开弦的低能有效理论是超对称规范理论,有8 乘N 平方个场,这里N 是D 膜的个数。8 是每
个D 膜上场的数目。可是,D3 膜的计算表明,熵似乎是由6 个无质量没有相互作用场所作的
贡献。这就说明,我们不能简单地将D 膜上的量子场论看成是自由理论,否则我们应当有6
个场。的确,黑洞解是宏观解的条件表明,D 膜上的场论是强耦合的,超对称规范场不应当是
自由场论。黑洞物理告诉我们,虽然场论是强耦合的,但是处于一个不动点,也就是说是一
个共形不变的场论。我们可以说,D3 膜上的场论是一个共形不变的有相互作用的理论,或者
叫非阿贝尔不动点,其有效自由度是6 乘以N 平方。这个结论应当是最早的黑洞告诉我们的
有关场论的结果。由于我们对四维N 等于4 的超规范理论的有限了解,直到今天我们还不能
在场论中直接证明这个结果。
由其它 D 膜所获得的场论更为复杂,因为当D 膜的空间维度小于三时,超对称规范场论
在高能极限下是渐进自由的, 或者用场论的术语, 这些理论是超可重正的
(super-renormalizable)。而在低能极限下,理论是强耦合的,所以我们也不能由第一原理计算
膜上热激发态的熵。当D 膜的空间维度大于三时,理论在高能极限下是强耦合的,而且是不
可重正的,这个时候我们要考虑到质量不为零的开弦态的贡献,从而场论不再可以信赖。在
低能极限下,理论是自由的,可是,黑洞所对应的物理要求膜的数目很多,有效相互作用强
度不可能趋于零。所有这些理论都有几个不同的区域,对应于黑洞也有几个不同的区域,这
样理论中可能存在相变,我们现在不打算继续这个有趣的话题,将来可能的话回到这个话题。
最后,我们介绍一下最为神秘的膜,M 膜。在11 维理论中,有两种膜,M2 膜和M5 膜。
当这些M 膜完全重叠在一起时,膜上的理论是共形场论,而且是有着相互作用的共形场论。
这在M2 膜的情形比较容易理解,毕竟是一个2+1 维的量子场论,而且,我们可以通过D2
膜上的理论来定义它。我们知道,M 理论是IIA 理论的强耦合极限,而M2 膜可以由D2 膜在
这个极限下得到。D 膜上场论的耦合常数的平方与弦论的耦合常数成正比,所以,在M 理论
的极限下,D2 膜上的超对称规范理论是强耦合的,并且趋于一个共形不变点。可是,M5 膜
上的理论是一个高维量子场论,我们的通常的量子场论知识告诉我们很难有高维的可重正的
量子场论。M5 膜上的理论的确是量子场论,由于M 理论的存在性,我们可以确定这个量子
场论的存在性,但是我们不知道如何描述它。很可能,这个量子场论不是通常的有著作用量
的量子场论,我们要通过量子算符来定义它。
与 M 理论本身的神秘性一样,这些M 膜上的量子场论也很神秘,可以称为小M 理论。理
解这些小M 理论必定会带来对M 理论本身的进一步理解。同样,黑洞物理已经能够告诉我们
一些关于M 膜上的量子场论的信息。在M2 膜的情形,黑洞熵正比于膜的个数的二分之三次
方,这有别于D 膜的平方。这个结果说明,在强耦合极限下(或者低能极限下),D2 膜上的
有效自由度由原来的N 的平方降低到N 的二分之三次方,说明低能极限的共形场论的确很复
杂,很难用一个自由理论来描述,或者说根本不可能。在D 膜的相下,理论的自由度正比于
N 的平方,说明有效自由度就是规范理论中的场,那些可以写成矩阵的场,而在M 膜的相下,
理论不可能用弱耦合的场来描述,因为谁也写不出N 的二分之三次方个场。
M5 膜更加神秘,不仅是因为这是个高维理论,而且还因为根本不可能由强相互作用的拉
氏量场论获得。第一,人们似乎可以说,M5 上有张力为零的弦,因为我们知道,当两个M 膜
分开时,M2 膜可以搭在上面,端点是弦而不是点。当两个M5 膜无限靠近时,开M2 膜的长
度越来越小,所以端点弦的张力越来越小。可是,我们知道,弦有无限多个激发态,这些激
发态的质量的平方正比于弦的张力。无张力的弦似乎告诉我们应该有无限多个零质量的场,
但这不是事实。事实是,黑洞物理告诉我们,黑洞的熵也就是M5 膜上的自由度正比于膜的个
数的三次方。所以,M 膜不可能是弦论,起码不是一个弱耦合弦论,同样也不是一个简单的
场论,因为我们不知道场如何带三个子标因而场的个数与膜的个数的三次方成正比。
弦论黑洞的一些重要文献:
1. A. Strominger, C. Vafa, hep-th/9601029, Phys.Lett. B379 (1996) 99.
2. Curtis G. Callan, Juan M. Maldacena, hep-th/9602043, Nucl.Phys. B472 (1996) 591.
3. J. M. Maldacena, L. Susskind, hep-th/9604042, Nucl.Phys. B475 (1996) 679.
4. J. Maldacena, A. Strominger, hep-th/9603060, Phys.Rev.Lett. 77 (1996) 428.
5. I.R. Klebanov, A.A. Tseytlin, hep-th/9604089, Nucl.Phys. B475 (1996) 164.
6. I.R. Klebanov, A.A. Tseytlin, hep-th/9604166, Nucl.Phys. B475 (1996) 179.
7. S. R. Das, S. D. Mathur, hep-th/9606185, Nucl.Phys. B478 (1996) 561.
8. J. M. Maldacena, A. Strominger, hep-th/9609026, Phys.Rev. D55 (1997) 861.
9. C.G. Callan, S.S. Gubser, I.R. Klebanov, A.A. Tseytlin, hep-th/9610172,Nucl.Phys. B489
(1997) 65.
第十三章矩阵理论
(第一节)
M 理论在超弦理论中的地位自95 年威顿的文章开始变得越来越重要,但是,除了低能极
限是11 维超引力以及五维膜和两维膜的存在,人们对M 理论的其他性质一无所知。特别是,
我们无法量子化超引力,11 维微扰超引力到了一定的圈数是发散的。可以说我们没有一个M
理论的微观理论。
泡耳钦斯基的 D 膜理论发表之后,我们对M 理论中出现的KK 引力子,就是IIA 理论中
的D0 膜有了一定的理解。但这个理解也不出低能的范围,因为一个完备的D 膜理论涉及所有
的开弦激发态。令人惊讶的是,96 年十月份班克斯(T. Banks)等四人提出M 理论的非微扰量
子理论其实是多D0 膜理论的一个极限,而需要的D0 膜理论也只涉及到低能理论。这个理论
提出来时许多人不相信,因为这个理论也太简单了,怎么可能是包罗万象的M 理论?
要理解当时四人提出这个理论的原因,我们需要了解提出这个理论的两个主要人物在当时
对弦论的理解,这两个人就是闲克和沙氏金。
先谈闲克的背景。闲克于当年的八月份和另外三个人写了一篇关于 D0 膜性质的长文,据
我所知,他们在这篇文章上断断续续花了近八个月时间。我在他们研究D0 膜期间曾经两次访
问洛特格斯大学,每次都见到闲克和道格拉斯(M. Douglas) 在黑板上讨论和D0 膜有关的问题。
在这种讨论中,我也看到了闲克的研究风格,他很少作计算,但对物理的把握非常好。这篇
D0 膜文章的另外三位作者不是矩阵理论的另外三位作者。在这篇D0 膜文章中,他们用低能
理论,也就是矩阵量子力学-一维的非阿贝尔规范理论,来研究D0 膜相互作用的性质。他们
得出结论,在D0 膜散射振幅中,只有11 维的普朗克长度出现。这个长度当弦是弱耦合时,
远远小于弦的标度。这样,在弦论中,人们可以探测到小于弦标度的长度,这和微扰弦论的
结论不同。
另外一个重要的结果是,用矩阵量子力学可以计算两个 D0 膜之间的相互作用势。这个势
是长程力,但当两个D0 膜相隔很远时,长程力有所有开弦的贡献,而矩阵力学中只有最低能
模的贡献。这就说明,开弦的激发模的贡献互相抵消了。这个现象在我和道格拉斯的一篇文
章中已经知道了,抵消的原因是超对称。
D0 模之间的长程力其实是引力子之间的相互作用,所以能看到11 维普朗克长度是自然的。
闲克一直相信D0 膜在弦论中是特殊的,可以看成其他物体的基本组元,但在D0 膜文章中他
们没有走得这么远。
沙氏金提出矩阵理论的动机完全不同,他的背景中六七十年代的粒子物理更多些。在六十
年代,强相互作用是粒子物理学家关心的主要问题。强子的相互作用非常复杂,很难用一个
简单的理论来概括。后来,费曼介入强相互作用研究,提出部分子的概念(partons),后来我们
知道,部分子不是别的,正是夸克和胶子。费曼的想法是,当一个强子的动量很大时,我们
可以假定强子的动量无限大,这样,强子可以看成是带不同动量的部分子的束缚态,部分子
的个数与动量成正比。强子的相互作用可以看成是部分子相互作用的结果。如果强子的动量
不够大,我们总可以人为地选取一个参照系,在这个参照系中,强子的动量变成无限大了,
这个参照系叫做无限动量参照系(infinite momentum frame)。在无限动量参照系中,部分子的相
互作用比较简单,而强子的复杂相互作用来源于强子中的部分子分布函数以及部分子之间的
相互作用。无限动量在这里并不是指动量的所有分量都是无限大的,而是一个固定的分量无
限大,这个分量对应的方向叫做纵向方向,其余与纵向方向垂直的方向叫横向方向。
物理上,当一个物理系统被沿着纵向方向加速到无限动量的情况下,由于相对论效应,横
向方向的运动变得很慢,所以系统中的一切和横向运动有关的动力学化成非相对论动力学,
即伽利略力学。这对动力学作了很大的简化,例如,在相对论场论中有一种粒子就有对应的
反粒子,而非相对论场论中没有反粒子。在部分子模型中,每一个粒子都带有一个正的纵向
动量,部分子之间的相互作用也是非相对论相互作用。
在最早的弦的一次量子化中,光锥坐标的选取也起了关键的作用。这里,光锥坐标等价于
无限动量参照系,虽然严格地说在光锥坐标中弦的纵向动量不是无限大。即使一个相对论性
粒子,我们也可以采用光锥坐标。在光锥坐标中,我们选取一个光锥时间,是时间与纵向坐
标之和,另一个光锥坐标是时间与纵向坐标之差,其余为横向坐标。对于一个相对论性粒子,
我们可以任意选取粒子的本征时间,或者叫联络参数(affine parameter),而在光锥坐标中,我
们选取标度粒子的本征时间为光锥时间。这是一个特别的选择,在这个选择下,粒子的作用
量被简化为横向方向运动的作用量,并且采取非相对论形式。同样,在光锥坐标下,弦的作
用量也变成了横向坐标的非相对论作用量。这种选择对于一次量子化弦尤其重要,因为我们
不必处理非物理模了,所有作用量中出现的变量都是物理的。当然,直接处理物理模带来的
坏处是系统失去了直接的相对论不变性,要证明弦的相互作用是相对论不变的比较复杂。
因为弦在光锥坐标下只涉及物理模,所以最早的弦场论是光锥规范下的弦场论,理论看起
来很正常,既有空间上局域性也有时间上的局域性。弦在纵向方向的长度与纵向动量成正比,
而在相互作用过程中纵向动量是守恒的,所以所有初始态中弦的纵向长度只和等于所有末态
中弦的纵向长度之和,同样在任何中间过程中,所有弦的纵向长度之和也不变。这样,任何
一个弦的圈图在光锥规范下都是一条带(开弦),我们在这个带上画出长短不一的平行线分割
这条带,就会出现不同的初始弦,中间弦和末态弦。
对于单个弦来说,在光锥规范下,弦的振动模式也可以看成在一个长度与纵向动量成正比
的弦上作振动。这个图象加上上述的相互作用图象使得我们猜测,如果弦是一些更基本物体
的复合态,那么在光锥规范下这些更基本的物体应该带有最小的纵向动量。
以上一些关于部分子和光锥规范下的弦论是沙氏金提出矩阵模型的主要动机。在 M 理论
中,如果我们从IIA 弦论出发,我们逐渐增大弦耦合常数,第11 维的半径越来越大,M 理论
的极限就是半径无限大的极限。由于D0 膜是第11 维方向上的KK 模,即带有单位动量的模,
所以当半径增大时,它们的动量和能量越来越小。如果我们考虑一个在第11 维方向带有有限
动量的物体,并且象部分子模型一样,假定这个物体是带有单位动量D0 模的束缚态,那么当
第11 维的半径越来越大时,该物体所含的D0 膜越来越多。我们想象,物体的束缚态模型在
这个极限下越来越好。
这个猜测并不是非常令人惊讶。令人惊讶的是,班克斯等四人猜测描述束缚态所需要的动
力学都含在D0 膜的低能理论中,即非相对论矩阵力学。乍看起来,虽然非相对论符合我们前
面解释的无限大动量参照系中的运动学,但D0 膜本身在11 维半径趋于无限大的极限下质量
(从10 维弦论的角度来看)越来越小。要满足非相对论要求,我们需要限制D0 膜在横向方
向的动量。在M 理论极限下,D0 膜的个数越来越多,可以假定每个D0 膜的横向动量越来越
小。
需要强调的是,D0 膜的确是部分子的最佳选择,一是因为它们带有纵向(第11 维)动量,
二是弦论中的D0 膜的动力学只涉及到弦论中的空间方向,这些空间方向垂直于第11 维,正
是所有的横向方向。D0 膜的动力学是矩阵量子力学,矩阵也可以对角化时,本征值对应于D0
膜在横向空间中的位置,非对角元没有很好的几何解释。当矩阵不能同时被对角化时,我们
也就没有了D0 膜在横向空间中的几何解释,而理论中的自由度远远大于D0 膜本身的自由度,
因为有更多的非对角自由度。当然,除了对应于横向空间的矩阵外,我们还有16 个费米矩阵,
这是超对称要求的。我们在下一节中介绍关于为什么矩阵理论可能是正确理论的两个理由。
(第二节)
班克斯等四人的矩阵理论提出不久,立刻就有许多人来验证这个理论。在他们的原文中,
支持这个猜测有两个重要的检验。一个就是原来道格拉斯等人的关于D0膜的相互作用的计算,
计算结果表明D0 膜的矩阵力学的确给出D0 膜作为11 维时空中的引力子的相互作用。第二个
证据是由若干个D0 膜可以构造出M 理论中的两维膜,D0 膜的个数越多,这个构造就越精确。
我们后面再仔细解释这个有趣的构造。
基于这些验证,沙氏金受到鼓舞,于第二年,也就是 97 年四月份,又提出另一个猜想。
同样是类比于原来的场论结果,沙氏金现在考虑的是将11 维M理论紧化在一个类光座标上(沿
着一个类光座标,本征时间为零)。现在只考虑M 理论中的一个子系统,该子系统沿着类光方
向的动量是固定的。由于量子力学,这个动量也是量子化的,是类光方向半径倒数的整数倍。
沙氏金的第二个猜想是,描述一个带有固定类光动量系统的理论就是N 个D0 膜的低能矩阵力
学。如果这个猜想是正确的,那么班克斯等人的猜想就是这个猜想的一个推论:我们只要取
无限大类光半径和无限大类光动量极限就回到班克斯等人的猜想。
97 年的九月份和十月份,森和塞博格分别提出了沙氏金猜想的一个“证明”。他们的论证当
然不是什么严格的证明,只是一个相当有力的说明而已。后来泡耳钦斯基给出一个论证更为
明晰,我们稍后再谈泡耳钦斯基的论证。
森和塞博格的论证本质上是一样的,我们这里解释一下后者的理论。光锥紧化在物理上不
太容易被接受,因为我们很难想象一个闭合光线(在时空中闭合,而不是仅仅在空间中闭合)。
所以,塞博格稍稍变化了一下,将光锥的那个座标加了小的空间分量,这样原来的光线圆变
成了一个类空圆,这是我们可以接受的,光锥紧化是这个类空紧化的极限。可以看出,这个
接近光锥的类空紧化是通常空间紧化的一个不同表述,在另一个座标系中,我们得到一个纯
空间紧化,紧化圆的半径很小,两个紧化相差一个洛仑兹推动。在光锥极限下,空间紧化圆
的半径趋于零。换句话说,光锥紧化是零半径空间紧化的一个无限大洛仑兹推动。
撇开在一个紧化方向作洛仑兹推动这个复杂问题不谈,我们就得到一个结论,光锥紧化的
M 理论等价于M 理论紧化在一个零半径的空间圆上。后者又等价于零耦合的IIA 弦论,微妙
的问题在于,如果我们想保持前者的“寻常”物理,如有限的普朗克长度和有限能量,我们就得
考虑后者-弦论-中的一些特别的物理,如无限大的弦长度和接近零的能量系统,这是我们
不熟悉的。好在一个理论中的物理只依赖于那些有量纲量的无量纲比例,我们可以将弦论中
无限大的弦长度变成有限的,而能量也变成有限的。这样变换的结果是,弦论中的无限多的
振动模式全部成了无限大能量模。如果我们只考虑D0 膜(带有固定的纵向动量的系统),理
论简化成D0 膜的矩阵力学,因为无限大的能量膜脱耦了。
非常有趣的是,当一部分人开始相信以上的证明而另一部分人还在迷惑时,97 年十月份出
了两篇否定沙氏金新猜想的文章。一篇是道格拉斯和大栗(H. Ooguri)的文章,他们声称在K3
面(其实是放大后的K3 面)上的D0 膜计算不符合引力子之间的相互作用,这个矛盾至今没
有解决。另一篇文章是达因(M. Dine)和一个学生的文章,他们考虑的是三个引力子的相互作
用,也发现D0 膜矩阵力学的计算不符合引力预言。好在这个所谓的矛盾后来被米谷民明等人
解决了:达因等人犯了两个错误,一个出在D0 膜相互作用的计算上,另一个出在引力子相互
作用的计算上。仔细地将两种情形算出,这两个结果实际上完全一致。米谷等人的文章几乎
是一年之后才出现的,在他们的工作出现之前,许多本来就怀疑矩阵理论的人更不相信这个
理论了。
时至今日,几乎没有人再公开地怀疑矩阵理论了,这不是因为矩阵理论有了什么证明,而
是因为还没有人能够找到真正的矛盾。我们前面说过,矩阵理论最明晰的“论证”是泡耳钦斯基
给出的,这是99 年三月份的事。泡耳钦斯基这里直接在IIA 弦论中取零耦合极限,同时固定
M 理论中的普朗克长度,这样,弦的张力趋于零。看起来,所有弦的激发态的能量都趋于零,
而D0 膜的质量趋于无限大。但是,如果我们固定D0 膜的动量(从而其横向速度趋于零),D0
膜的动能也趋于零,与弦激发态相比,其趋于零的速度更快。如果我们只对D0 膜在横向空间
的动力学感兴趣,我们就可以忽略弦的各种激发态。同样,在D0 膜之间的拉直的开弦的能量
也趋于零,其趋于零的速度与D0 膜的动能一样。如果我们重新标度能量,让D0 膜的动能有
限,这样D0 膜和其间的拉直的开弦都幸存下来,而动力学完全由矩阵力学给出。
上面的讨论也说明一旦 D0 膜的数量给定,我们不能改变这个数量,因为多出一个D0 膜
需要无限大的能量,因为与D0 膜的动能相比,D0 膜的质量无限大。这也说明了为什么沙氏
金的猜想可能是正确的,因为在这个极限下,不同数目的D0 膜系统完全不同,互相之间没有
动力学联系,这就是我们熟悉的超选择分支(super-selection sectors)。
泡耳钦斯基的论证虽然最为明晰,但如果仅仅这样我们还不能和班克斯等人的猜想联系起
来,因为后者讨论的是11 维理论,也就是无限大耦合IIA 弦论,另外,能量在后者的猜想中
一开始就是有限的,而不是趋于零再通过重新标度得到有限的结果。解决第一个矛盾,也就
是零耦合与强耦合的矛盾,我们可以借助塞伯格的无限大洛仑兹推动手续达到目的。其实,
泡耳钦斯基接着做的事情也类似这个手续,但更加物理和更加可以接受了:他利用马德塞纳
猜想将强弱耦合的两个极限联系起来。我们在将来讨论了马德塞纳猜想后再回到他的讨论。
在矩阵理论的提出和马德塞纳猜想的提出期间,许多人从看起来不同的角度讨论了矩阵理
论和各种奇怪极限的联系。这些不同极限看起来很不同,其实是一样的,泡耳钦斯基在他的
文章中做了很精彩的讨论,限于这个讨论过于技术,我们不作介绍了。
说了这么多矩阵理论为什么成立的理由,现在该谈谈理论的动力学。我们在讨论 D 膜时已
经解释了一般D 膜的动力学,这里要特别回顾一下D0 膜的动力学。从IIA 弦论的角度看,
D0 膜是九维空间中的点粒子,而从M 理论的角度来看,D0 膜是十维空间中的引力子,带有
纵向方向的单位动量,也在九维横向空间中运动。对单个D0 膜来说,动力学极其简单,只是
九维空间中的一个非相对论性自由粒子,因为我们假定动能远远小于质量。原则上,单个D0
膜的世界线理论中有一个规范场,只有时间分量(因为世界线是一维的),所以完全规范等价
于零规范场。除了九维坐标外,还有16 个费米子场,量子化之后,这些费米场使得粒子可以
带不同的自旋,这就是引力子及其超对称伙伴。
有了若干个 D0 粒子,动力学就完全不同了。九个坐标变成了九个矩阵,当这些矩阵可以
同时对角化时,矩阵的对角元就是各个D0 膜在横向空间中的坐标。如果矩阵不能同时对角化,
并且非对角元相对于对角元来说并不小,矩阵完全失去空间坐标的解释,我们在这里看到了
非对易几何的起源。当矩阵可以近似对角化时,我们还可以认为对角元对应于D0 膜的位置,
非对角元就是D0 膜之间的开弦激发态。完全不可对角化时,区分D0 膜和开弦就失去意义。
和单个D0膜的另一个不同点是规范场有了物理意义,虽然我们还是可以将其等价于零规范场,
但规范场诱导一个限制,就是多个D0 膜所形成的物理态必须是“色单态”。
和单个 D0 膜一样,多个D0 膜同样存在超对称,也就有16 个费米矩阵。这么多的费米矩
阵使得D0 膜的物理态大大增多。超对称的存在使得D0 膜的动力学变得更加复杂,另一方面,
却是不可或缺的,否则我们不可能得到最简单的要求:D0 膜之间的相互作用必须与引力子一
样。