蓝光手游大师梦幻闪退:第二章第四节

第四节 条件分布，随机变量的独立性
§4 条件分布，随机变量的独立性
一、条件分布
二、随机变量的独立性
一、条件分布
在第一章曾经定义过事件的条件概率，同样也可以考虑一个随机变量的条件分布，其条件与另一随机变量取值有关.
仍从离散型开始. 设(ξ,η)的联合分布列为 P(ξ=,η=) =,  i, j =1,2,….若已知ξ=(p () >0 )，则事件η=的条件概率为
P(η=|ξ=) = P(ξ=,η=)/ P(ξ=) =/.    j=1,2,…. (1)
它表示在ξ=的条件下η的条件分布.
在连续型的情况，因为对任何x, P(ξ= x) = 0, 故只能借助于密度函数. ξ= x时η的条件分布函数可写成
P(η≤y|ξ= x) =P(η≤y| x <ξ≤x+Δx)
=
=,
分子分母各除以Δx，并各自取极限，则
上式===.
上式说明条件分布也是连续型的，且在ξ= x的条件下,>0 时,η的条件密度为
=.                                    (2)
同理，当(y)>0时，在η= y条件下ξ的条件密度为
(x| y) =.                                      (3)
例1  设(ξ,η)～N (a, b,,,r)，求条件密度.
解  (ξ,η)的联合密度见上节(23)式，由本节(2)式立即可得
=exp    (4)

它表明：已知ξ= x条件下，二维正态分布的条件分布是正态分布N (b +(x-a), (1-)),其中第一参数m = b +(x-a) 是x的线性函数，第二参数与x无关(见图). 此结论在一些统计问题中很重要.
二、随机变量的独立性
现在我们把第一章随机事件独立性的概念移植到随机变量中来. 如果(ξ,η)是离散型随机向量，它的联合分布列由§3的 (2) 式表示，我们自然把ξ与η的相互独立定义为对一切i, j事件{ξ=}与{η=}都相互独立.
定义1  设离散型随机向量(ξ,η)的联合分布列满足
P(ξ=,η=) = P(ξ=) P(η=)  (或=),  i,j =1,2,…,  (5)
就称ξ与η相互独立(independent)，否则称ξ与η相依(dependent).
在§3的例1例2中，对情况(1), ξ与η是相互独立的，而对情况(2)，则是相依的.
当ξ与η独立时，相应的联合分布函数有什么特点呢？这时，对任意的x, y,
P(ξ≤x,η≤y) ==
= P(ξ≤x) P(η≤y),
也即
F(x, y) =,                         (6)
反过来，若对一切x,y，(6) 式都成立，则(5)式也成立，所以对于离散型随机变量，(5)式和(6)式等价. 于是我们可以利用(6)式对一般随机变量的独立性作出定义.
定义2  设F(x, y),和分别为(ξ,η)的联合分布函数及其边际分布函数，如果对一切x, y都有(6)式成立，就称ξ与η相互独立.
当ξ与η独立时，由(1)和(2)可知条件分布化为无条件分布，此时ξ的取值不影响关于η的任何结论.
与(5)式相对应，对连续型随机变量，我们有
定理  设p (x, y) 与分别为连续型随机向量(ξ,η)的联合密度和边际密度，则ξ,η相互独立的充要条件是
p (x, y) =.                       (7)
证  对任意x, y,
F(x, y) ==
=
 p (x, y) =.
即得所证.
在上一节的例4与例5中，ξ与η都不独立.
如果已知ξ与η相互独立，则从(5)、(6)、(7)式可知，ξ与η各自的分布完全决定其联合分布.
例2  设(ξ,η)～N (a, b,,, r), 求ξ,η独立的充要条件.
解  因为ξ～N (a,), η～N (b,), 故
ξ,η独立p (x, y) ==exp
 r = 0.
容易把上述定义, 定理推广到n个随机变量的情形. 例如若F(),,…,分别为…,的联合分布函数与边际分布函数，则当
F() =…                                  
时称…,相互独立.
推论  若…,相互独立，则其中的任意r (2≤r < n)个也相互独立.
证  我们只证…,相互独立，其余类似可证.
F() = P(≤,…,≤) = P(≤,…,≤,<∞)
= P(≤) …P(≤) P(<+∞) =…, 即证.
随机变量的独立性是很重要的概念. 人们对它的各种等价描述及与独立性相关的多种性质进行了深入的探讨，除了上述定义定理以外，还有：
（1）随机变量…,相互独立的充要条件是对一切一维波雷尔点集,…,成立着
P(,…,) = P()…P();
（2）n维随机向量ξ与m维随机向量η相互独立被定义为
P(ξ∈A,η∈B) = P(ξ∈A) P(η∈B)，
其中A, B分别是任意的n维与m维波雷尔集.
（3）若随机向量ξ与η相互独立，则它们各自的子向量也相互独立.
这些我们都不详细讨论了.
例3  设ξ是只取常数a的退化分布，求证：对于任意随机变量η,ξ与η相互独立.
证  η是任意随机变量，可以是离散型，也可以是连续型或其它, 故只能用(6)式.
ξ的分布函数为
(x) =  
当x < a时, {ξ≤x}是不可能事件，从而对任意y, {ξ≤x,η≤y}也是不可能事件，则
F(x,y) = P(ξ≤x,η≤y) = 0 = P(ξ≤x) P(η≤y)=(x)(y);
当x≥a时, {ξ≤x} = {ξ<+∞}, 因此
F(x,y) = P(ξ≤x,η≤y) = P(ξ<+∞,η≤y) = P(η≤y) =(y) =(x)(y).
这样对任意x, y, (6)式都成立，也即ξ与η相互独立.