九乡新闻网荣誉战魂:有限域-伽罗瓦域
来源：百度文库 编辑：九乡新闻网 时间：2024/04/25 19:58:20
有限域
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汉漢▼
包含有限个元素的域被称为有限域。它在密码学中有着重要的应用。伽罗瓦还研究过所谓“伽罗瓦虚数”[来源请求]，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗瓦域。
[编辑]定理
有限域的阶是一个素数的方幂。
对于每个素数p和每个正整数居同构的意义下存在惟一的pn阶的有限域，并且所有元素都是方程
的根。
有限域的乘法群是循环群。即若F是有限群，则存在
使得
有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张
有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。
[编辑]一些小型的有限域
F2:
+ | 0 1 · | 0 1 --+---- --+---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 0 1 | 0 1F3:
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 --+------ --+------ 0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 2 | 2 0 1 2 | 0 2 1F4:
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B --+-------- --+-------- 0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B A | A B 0 1 A | 0 A B 1 B | B A 1 0 B | 0 B 1 A[编辑]参考书目
《近世代数》
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汉漢▼
包含有限个元素的域被称为有限域。它在密码学中有着重要的应用。伽罗瓦还研究过所谓“伽罗瓦虚数”[来源请求]，即有限域的元素，因此又称有限域为伽罗瓦域。
[编辑]定理
有限域的阶是一个素数的方幂。
对于每个素数p和每个正整数居同构的意义下存在惟一的pn阶的有限域，并且所有元素都是方程
的根。有限域的乘法群是循环群。即若F是有限群，则存在
使得有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张
有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。
[编辑]一些小型的有限域
F2:
+ | 0 1 · | 0 1 --+---- --+---- 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 1 0 1 | 0 1F3:
+ | 0 1 2 · | 0 1 2 --+------ --+------ 0 | 0 1 2 0 | 0 0 0 1 | 1 2 0 1 | 0 1 2 2 | 2 0 1 2 | 0 2 1F4:
+ | 0 1 A B · | 0 1 A B --+-------- --+-------- 0 | 0 1 A B 0 | 0 0 0 0 1 | 1 0 B A 1 | 0 1 A B A | A B 0 1 A | 0 A B 1 B | B A 1 0 B | 0 B 1 A[编辑]参考书目
《近世代数》