荒村鬼事下载:小波性质与时频分析历史_Geoinformatics新浪博客

来源:百度文库 编辑:九乡新闻网 时间:2024/03/28 20:32:27

小波的性质及构造

    很明显随附加条件不同,我们可以构造出无穷多的正交或双正交小波,Mallat说过,如果没有应用的刺激,小波的构造将变成聊的游戏,这里我们先分析小波具有的性质,然后谈谈如果根据应用来构造(更多情况是选择)小波。

    前面虽然给出了小波构造的统一方法,但感觉太笼统,太灵活,这需要些著名的定理来逐步加强认识,既然是定理,大家就试着接受,记住,再理解好了。这里我们只谈紧支正交小波的构造,因为紧支双正交小波的构造已经涉及到了提升的概念。

 

性质1:消失矩(Vanishing Moment),这可以说是小波最具杀伤力的一个性质,压缩,去噪,快速计算等无不希望小波VM越高越好,虽然是通过滤波器卷积来求小波系数,但是思考上仍然用信号与小波的内积来表示,这样有助于理解小波的性质。由VM的定义可知具有p阶消失矩的小波与小于p次的多项式是正交的,也就是内积为0,这样若函数f是正则的且小波有足够的消失矩,则内积产生很小的系数。注,讨论函数的局部正则性其实是一个比较复杂的问题,在这里,姑且将f在某点附近想成一个k阶多项式和一个误差函数的逼近,这样当k

    小波的消失矩与对应滤波器h的傅立叶变换在pi处的零点重数是等价的,事实上我们也用这一点作为附加条件来构造具有p阶消失矩的小波(Daubechies系列的构造方法),当然我们可以构造出任意消失矩的小波,但是我们不得不注意到滤波器长度随小波消失矩增加而增加的事实,时的我们同样只能在支集与消失矩之间折衷!

 

性质2:正则性,小波的正则性(光滑程度),即使理论上的完全重构,在计算机实施的时候会引起由于量化和截断造成的误差,这样在重构的时候,若小波基不够光滑,则引入的误差很容易被人察觉,如haar小波,若小波基足够正则,引入的光滑误差不容易被察觉。有结论说明,对重要的共轭镜像滤波器族,如样条和Dx系列,小波的正则性随消失矩提高而提高

 

性质3:紧支性,我们当然希望我们的滤波器越短越好,因为这意味着计算量的大大减少,同时考虑到小波滑动作内积时包含到函数奇异点的时候同样可能造成大幅值系数(支集越长,包含奇异点的小波次数越多),这样若想大幅值系数数目最小,必须尽可能减小支集长度。前面提到了,紧支与消失矩是矛盾的,为了得到更小的系数,需要高的消失矩,而要得到更少的系数,希望小的支集。有定理在给定的消失矩情形下,Dx系列小波具有最小支集

    在这个意义上,这个系列小波是最优的。

 

注:紧支性和消失矩可以在多小波构造下得到更好的权衡,在实际情况中,我们更多是根据信号的奇异程度来权衡,若信号奇异点很少,则考虑高的消失矩,若奇异点很平凡,则考虑更短的支集。

 

性质4:对称性,对正交小波来说,除haar外不存在对称或反对称小波,这点daubechies已经严格证明了,而且由消失矩条件通过最小相位构造的小波是极不对称的,这在某些应用中是不好的性质,如奇异点的确定,图像的重构等等,至于symmlet滤波器虽然更对称,但是产生了复小波系数

双正交小波的性质与正交小波是类似的,但是可以做到完全对称,上面讨论的性质对双正交小波依然适用,前面提到双正交情形两组滤波器的位置是可以互调的,在这里我们一般选用消失矩高的小波来做内积,然后用另一个小波做重构(它通常都是最光滑的那个)

    在了解了小波的各种性质之后,我们就可以根据不同的应用来构造或选择我们适合的小波了,这在后面具体的应用中会反复提到。

 

双正交小波可以同时具备紧支撑、高消失矩和对称性,其构造理论得到了人们的广泛重视和研究。

小波分析是纯粹数学和应用数学的完美结合,理论上它是刻画函数空间与研究算子作用的重要双正交小波滤波器系数方法,它的产生、发展和应用始终受益于计算机科学、信号处理、图像处理、应用数学和纯粹数学、等众多科学研究领域专家学者和工程师们的共同努力。
历史发展
  1990年,崔锦泰和王建忠构造了基于样条的双正交小波函数,并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数;  1992年,Daubechies等人提出了具有紧支撑的双正交小波基; .   1992年,A Cohen等人又构造了具有线性相位的双正交小波,使小波分析更适用于信号处理;  1994年12月,Sweldens Wim提出了不依靠傅里叶变换,而运用提升算法构造的双正交小波(称之为第二代小波)变换;  1996年,SweldenS从一个全新的视角来讨论紧支集双正交小波函数的构造,提出了一种上升型方案。[1]
主要分类
  双正交小波构造方法可大致分为两类:频谱分解和提升格式。传统的双正交小波构造方法基于频谱分解,其中有代表性的是Cohen等人提出的CDF方法。通过预先指定小波及其对偶的消失矩,再对相应的三角多项式进行频谱分解,他们构造出双正交样条小波(Biorthogonal Spline Wavelet,BSW)系列以及无理数系数的CDF9-7,CDF11-9等小波。然而,该类方法构造过程复杂、不易推广,且在构造高消失矩小波时需要分解高阶三角多项,这并不是一个平凡的数学过程。
构造方法
  提升格式是一种完全基于时域的双正交小波构造方法,与频谱分解方法相比,,提升格式有固定的小波构造公式,其不仅简单易于理解,具有通用性和灵活性,而且有高效的小波变换实现方式。基于提升格式的小波理论与应用迅速吸引了众多专家的密切关注。具体到双正交小波构造方面:Sweldens给出了Deslauriers-Dubuc小波(D-DW)系列的提升构造过程。Li等人研究了提升格式与消失矩的关系,提出从任意小波出发,构造具有任意消失矩小波的方法。Cheng等人提出了和CDF9-7、CDF11-小波具有相同支撑长度双正交小波的提升构造算法,Averbuch和Zheludev从插值样条函数出发利用提升格式构造了部分D-DW和一系列IIR双正交小波.,He研究了样条类型小波构造,并指出部分高消失距BSW可通过相应的低消失矩BSW一步提升构造。[2]

 

 

基的却是不具有冗余性的啊,框架才具有冗余性,这种冗余性通过框架界体现出来,你可能理解的冗余性是一种相关性,当非正交基的时候,系数之间体现出了依赖,这里的基我们一般就是resize基

基和框架的概念:
基的概念大家都有,也很常见,只是很少涉及到数学的严格性,大家都知道颜色的RGB分解法,其实就是基的一种表示,取定RGB各自的比重就可以条配出任何一种颜色,信号和函数的表达也是如此。人们一直渴望找到一组基来表示所有信号,从三角基,DCT,小波,脊波,曲波,基越来越复杂,表示能力也越来越强,当然计算复杂度也大幅度增加,似乎这已经逐渐成为一个不可调和的矛盾,好在计算机的能力也在按摩尔定律增长。
基具有非冗余性,即使基不是正交的,有相关性,但若去掉其中任何一个,则不成为基,这一点也叫完备性;基的表示有唯一性,即给定一族基对一个函数的表达是唯一的;一般情况下基非正交,也称为为exact frame(Resize basis),这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基(对偶为其自身);也可以求其对偶框架(dual frame),其对应了小波变换中的双正交情形!信号可以依框架分解,然后用对偶框架重构。
若在基集里添加一些新的向量,并随意调整空间位置,则有可能成为框架。把函数与基或框架作内积,也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。若某种变换后的能量(内积的平方和度量)仍然有一个大于0的上下界,才可以成为框架,由于框架的冗余性,所以系数的表达也不具有唯一性。若上下界相等,则为紧框架,且界表示冗余度。若上下界相等为且为1,称为pasval identity frame,此时不一定为正交基(想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和,则pasval identity仍然成立),此时若加上基的长度均为一的条件,则框架退化为正交基。可能你会问我们用基来表示信号就行了啊,为什么还要框架呢?其实很多信号表示方法不能构成基,却能构成框架,如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件,则可推出该函数有很差的时频局部化性质(事实上退化为了傅立叶变换),框架的冗余性为我们提供了很多自由度


MRA(多分辨分析)
我们先来考虑下任何函数的二进网格采样f(2^j*t),随着j的增大,采样网格越来越密,由采样值重构函数的空间也越来越大(频域范围越来越大),可以想象当j趋于+inf时,L^2中的任何函数都可以由其采样值重构。j趋于-inf时,这个空间只能包含零空间。直观理解f(2^j*t)就是在分辨率j上的逼近,也可以理解成f(t)在空间Vj上的正交投影。
注:可以这样想象,每个采样点是空间中的一个坐标轴,Vj就是由这些坐标轴张成的一个空间,j每增大一次,坐标轴就越来越多,坐标张成的空间也越来越大,且原来的坐标轴也包含在更大的空间里面,一般的连续函数f是在一个很大的空间里面的,这样把f向Vj垂直投影,得到的是在Vj空间上对函数的最佳逼近,可以拿三维的情况想象,再进行扩展。
若Vj空间的有以下几个性质,就称为MRA:
a)属于Vj的函数随网格平移仍属于Vj。(这个条件暗含了平移不变性)
b)空间是随j的增大二进膨胀的且严格包含(一个比一个大,且逐层包含),表明Vj-1的信息完全包含在Vj中且比Vj包含信息要少
c)若f(t)属于Vj,则f(2t)属于Vj+1,
d)j趋于+inf,Vj能逼近属于L^2的所有函数,j趋于-inf时,Vj丢失所有细节信息,成为零空间。
e)V0存在riesz基{m(t –n)},即属于V0的f都可以由{m(t –n)}线性组合构成。
则称m为尺度函数,并称m生成了一个多分辨分析{Vj}。可以预见,不同的m张成的多分辨分析性质是不一样的,如由Haar函数张成的空间连续性非常差(分段线性函数空间),用这个空间去逼近连续函数的效果是很差的。理所当然想找到好的m使得张成的空间有更好的性质,更适合逼近一般的函数。
前面的讨论要求我们构造小波函数,使其二进伸缩平移函数族构成L^2的一组基。怎么构造呢?在MRA背景下,我们可以先找到V0的riesz基{m(t –n)}(可以证明Vj空间的riesz基是{2^(j/2)*m(2^j*t –n)})。MRA框架下,Vj是一系列嵌套且随j不断(二进)膨胀的空间,Vj与Vj-1的差空间记为Wj-1空间,很显然,Wj-1空间的任何函数(包括基)可由Vj的基构成,这样,我们就找到了每个Wj空间的基,把所有Wj空间的基合起来就构成了整个L^2的Riesz基(而且不同空间的Wj是正交的,空间不相交)。实际上,我们一般从V0开始,把V0的基和的Wj(j>0)空间的基合起来作为L^2空间的Riesz基。
与Vj的基类似,我们当然希望由一个函数g(t)的二进伸缩平移构成整个W空间的基,当然MRA保证了有这样的函数存在,它就是小波函数。如果m(t)二进伸缩平移构成的是V0规范正交基,则可以得到L^2的规范正交基。
由空间的关系和我们的希望可以写出几个关系:
a)Vj中的基函数可以由Vj+1的基线性组合构成(尺度方程)
b)Wj的基函数可以由Vj+1的基线性组合构成(小波方程)
c)不同尺度的小波基是正交的(不同尺度空间分割关系)
d)同一尺度上的小波基与尺度函数是正交的(同一尺度空间分割关系)
e)同一尺度中的不同的基之间是正交的(正交基关系),若无此条件则为双正交情形。
到这里就有两条路摆在面前,一是找尺度函数,然后得到小波函数,迭代求极限可得到尺度函数和小波函数。对于第一条路,我们根据关系(a)找到h,然后由(d)找到g,再由(b)求得小波函数。但是一般情况下可供选择的尺度函数都太少,而且求得的小波函数性质都比较差。
第二条路是滤波器组,通过找到满足条件的h,g,迭代求极限可得到尺度函数和小波函数。
可以说滤波器组完美重构理论为我们提供了小波构造的一般方法。

(四)滤波器组完美重构与小波快速算法。
前面的分析可以知道Vj相当于在j分辨率的逼近,Vj-1相当于j-1分辨率的逼近,这样Wj-1相当于两个分辨率逼近的差。在高分辨率下,我们可以用f在(2^j*t)的采样值来代替向Vj空间的投影,但是这是需要说明的,否则成为“小波的罪恶”,本来在Vj上的投影需要函数对Vj上的基{2^(j/2)*m(2^j*t –n)}投影,用采样值来代替是因为当j足够大的时候,如一般情况下j=7~9时,尺度函数已经非常窄,以致用delta采样来表示误差可以忽略(其实数学推导中还因为尺度函数的消失矩有关),但是必须理解这个取代是近似的。
得到了第j层的系数,如何求得j-1层的逼近系数和两个逼近层次间的误差系数呢?这就是mallat由MRA得出的快速算法。这个算法由上面列出的几个空间和相应基的关系很容易得出。同样重构算法也可以推导得出。(具体可以查看任意一本小波书)
到这里是不是就结束了呢,那这样的话MRA也得不到这么大的名声了,它的伟大之处是与完美滤波器重构桥接上了,从而为小波构造提供了一个普遍的方法,个人认为双正交小波也是由滤波器组理论发展出来。
把快速算法的一级分解和重构结构画出来,这不就是一个完美滤波器重构么?之前对完美滤波器的重构的结论大都可以搬上来了,大家熟知的两个PR方程其实也可以通过MRA下的空间关系推出。当然单由这两个方程得到的h和g有很多解,并不是每个解都可以收敛到尺度函数和小波函数,必须附加其他条件,其中以Daubechies的p阶消失矩条件构造出的小波应用得最多(Daubechies系列小波)。
很遗憾,除了Haar小波以外(haar小波可由一阶消失矩条件构造出来),没有正交小波满足对称性条件,也就是不满足线性相位,这样在分解重构后会造成失真,在一些需要对称性的场合(如图像的分解重构,奇异点的检测等),结果是不能满足要求的。
为了构造具有光滑特性,一定消失矩,对称的小波,就不得不放弃正交条件,也就是前面提到的双正交多分辨分析
在正交情形下,我们只需要知道H0,就可以由共轭镜像滤波器条件推导得出其他滤波器为G0,H1,G1(是H0的逆序及调制),也就是我们只需要知道一个滤波器。在双正交情形下,由完美重构滤波器条件可从H0,G0推导出H1和G1(通过逆序及调制),这表示我们需要知道两组滤波器。{(H0,G0)(H1,G1)}这两组(双)正交滤波器是可以对调的,就是谁做分解另一组就做重构。由滤波器来造小波的步骤前面已经提及!四个滤波器之间的关系是相互交叉的,即G1由H0逆序调制,而H1由G0逆序调制。
当然我们希望尺度函数和小波是紧支的(暗含滤波器也是紧支的),否则在计算时需要进行截断,正交紧支小波的对偶为其自身,当然也是紧支的,但是有一个定理:紧支非正交小波,其对偶必然是无限支集的,可能你会很奇怪,我们平时用的双正交小波不都是紧支的么,其实这些紧支双正交小波是经过提升的,Daubechies有一个定理,任何双正交滤波器可通过对惰性滤波器不断做提升和对偶提升而生成!你只需要了解这一事实即可,深入的理解恐怕需要太多的数学知识。至于提升我也希望我能有时间写一个总结,从框架的角度来理解提升,恐怕会容易得多,只是这个愿望可能不太好实现,因为这必须要大量的推导来表述。
最后说说消失矩这个条件,Haar小波得不到应用是因为它的消失矩为1,也就是对大于一次多项式的函数的“消失”效果不好,所谓消失矩其实就是对多项式的抑制能力,消失矩越高,与信号做内积得到的系数越少越小,这在度量信号局部正则性和压缩方面是相当重要的。提升就是一种提高小波消失矩和正则性的及其重要的手段。
注:由mallat算法得到的快速算法不具有平移不变性,其中的原因是因为采样因子是不具有平移不变性的。如果需要保持平移不变性,则需要去掉抽取这一步(多孔算法),其实不是去掉,如果去掉了,就不是小波变换了,而是利用noble identity把抽样算子移到每一分支的分解完全结束之前而已。得到的是每次分解得到原来两倍长信号,而mallat算法是每次抽掉了其中的一部分,这样随着分解层次的增加,小波系数也越来越稀。多孔也抽,不过移到最后一起抽,然后在重构之前同数目的上采样。
注:实际编程实现的时候由于要做滤波器卷积,每次卷积完后要用wkeep保持原来的长度。

 

比如说间断点检测,间断点有两种类型,在信号某点处有跃变和一阶导数有跃变。当你用小波对信号分解后,就能从分解的粗节和细节的某一层中看出跃变点的位置了。在探测第二类间断点时,要用具有正则性的小波。


尺度函数可以用来生成小波函数,有的人称之为父小波函数
尺度函数和小波函数分别是尺度空间(近似空间)和细节空间的基函数,两者通过双尺度方程联系

以多尺度分析或者多分辨分析为例。尺度函数一般是整个框架的生成元,它生成整个框架,也生成小波函数,另外,尺度函数的傅立叶变换一般可做低通滤波器,而小波函数的傅立叶变换一般是用作带通或高通滤波器!

可以通过尺度函数来构造小波函数,这是构造小波函数的一种方法,两者通过双尺度方程相联系,但是,并不是说每一种小波函数都有相应的尺度函数,有的小波是没有对应的尺度函数的。

其实就我自己理解的话,框架就是一套对信号进行小波分解的方法,它就像一个固定的模式。比如多分辨分析,它所构造的小波分析框架就是把信号分解成一个个互相不交叉的子频带,但所有的子频带的直和又是信号的频带,如果尺度函数选得好,各个子空间还可以是正交的(好像是这样)!


尺度函数和小波函数构成j+1空间,也就是V空间中尺度函数的正交补,

框架是比正交基更广的一个概念,打个比喻,一个平面直角坐标系,x、y轴就是坐标系的正交基,它们是相互垂直的,而框架则不一定垂直,例如夹角为120度的三个向量就构成了坐标系的一个框架。
正交基只是框架中的一个特例。

不知我这样理解对不对,大家指正

尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行副近.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!

这个问题不好说,简单的说你得从小波的多分辨率分析开始理解,多分辨率分析又得从映射来理解,映射又得从向量的投影来理解,所以我就从向量的投影来说:假设是在三维空间里表达一个向量,我们需要建立一个三维的坐标系,只要坐标系建立我们就可以用三个点(x,y,z)来简单的表示一个向量,同样的在一个信号我们设为f(t),要想表示它,我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系,然后将f(t),映射与这些简单的正交函数上,产生一个系数,这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的所以你不好想象,总之就是利用相互正交的简单函数,构建一个表达信号的空间“坐标系”,然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),
借就是小波的核心思想,在小波分析中这个构建坐标系的函数,就是小波函数,但是在小波函数来表示一个信号的时候,它其实是将信号映射在了时频平面内的,这里面就有一个问题,在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台,来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的,这个起到底座的函数就是尺度函数,在尺度函数的平台下对频率的分析,或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用,小波函数的实现就是高频滤波器的使用。

 

 

 

小波基构造与多孔算法

 

对小波的分解有几种模式,按照边界补零方式、边界缠绕方式、边界平滑方式以及周期延拓方式。其中,使用周期延拓模式,可以使得小波分解的信号个数与理论值相符;但在信号重构时,各级的信号个数怎样才能做到与理想个数一致呢?比如,信号1024点,分4层,各层系数分别为512,256,128,64,64。另外一个问题,小波分解有这么多种模式,不同的模式得到的小波系数不同,我要算信号能量,不知哪种适合?(分解时我采用的dwtmode('per');)不需要,补任何值。用圆周卷积就行了。


小波发展到今天,在各个领域的应用都受到了重视。但看了许多文献、论文,觉得咱们国内的小波研究领域,90%都局限于应用,说得在实在些就有点照葫芦画瓢。其实,小波的基本概念、基本理论还是国外一些大师的东西。这几天,在看小波基的构造方法,有点乱,说出来大家看看,给些帮助和建议。
1、由尺度函数出发-->正交尺度函数-->滤波器h-->正交小波;这是基于MRA思想的小波构造方法,不过好像都是大师们的专利,没有看到实际有人这样做,各种参考书在介绍这种方法是也是引用的资料;
2、滤波器构造方法。直接构造满足要求条件的滤波器h(比如对称性、支集长度等),再计算滤波器g,再由两尺度方程导出的滤波器与尺度函数、小波函数间的关系,得到尺度函数与小波函数;
3、目前说的比较多的好像是提升算法,我还没看,一点不懂什么意思。看到有一篇文章说,由提升算法,可以从已知小波直接构建新的小波。不知道这种构建得到的小波与原来的小波有多大的区别,也就是它们之间的性质可以改变多少,又有什么内在的联系。
小波的构造文章有很多,不过形成系统理论的还是前两种,本人正在郁闷中,望大侠多指教。
基于提升格式的第二代小波有如下特点:
(1)本位操作:所有运算可作本位操作,节省内存;
(2)效率高:利用复合复制,减少了浮点运算量;
(3)并行性:一个上升步骤中的所有操作是并行的,而多个上升步骤之间是串行的;
(4)逆变换:逆变换只须简单地改变代码执行的先后顺序,具有与正向变换相同的计算复杂性;
(5)通用性:由于变换过程中不必依赖Fourier分析,很容易推广到一般性应用领域;
(6)易于构造非线性小波变换(如整数变换)。


小波边缘提取方法中的多孔算法能否得到二值图像的边缘,我看过网上流传的一个比较好的多孔算法的程序,不过得到的并不是二值边缘图像。不知道多孔算法进行二值图像边缘提取的思想是什么?另外如果不用滤波器进行边缘检测时,想进行多尺度的边缘提取,对于尺度这个参量该如何在程序中进行体现?


小波的问题在那里?其中之一,平移不变性。说白了,先将源信号平移n位,再做小波变换,和先将源信号做小波变换,再平移n位,结果不同。这对于实时处理和一些场合是极为不便的。(gibbs效应于此也有关)。

怎么办?多孔算法(a trous)可以解决此瓶颈。多孔算法,又称非抽取小波变换,即undecimated wavelet transform or nonsampled wavelet transform,简写(NSWT)。(有可能二进小波变换也是一个意思)。

实现多孔算法,需要什么呢?回答MALLAT算法是基础。若你不懂MALLAT,请去学习,或看我置顶的贴子。我可以告诉大家,我写TROUS代码从看论文到完成只用了10分钟。

但单单MALLAT算法够吗?答案否定的。我们必须找到两种算法的不同点。方可得心应手。这里我浅谈一二。

首先,为什么MALLAT不具有移不变特点而TROUS具有移不变特点。根源就在抽取插值上。看这个系统Y(N)=X(2N),它是不是移不变系统,显然不是。现在大家明白了吧。所以非抽取算法,是移不变的。而这个移不变所付出的代价,就是高频分量加低频分量长度再不是源信号的长度,而是源信号长度的2倍。

其次,滤波器还是可以用,WFILTERS()。而且重构和分解滤波器的关系,还是逆序后再右移一位(圆周卷积+周期延托)。但所有的滤波器系数要乘以SQRT(2)/2。为什么,答案在PR条件上。MALLET算法PR条件有两个,一个是抗混叠,另一个是完全重构。而多孔算法由于非插值抽取,只有完全重构,且等式的右边常数是“1”,而不是MALLET-PR条件的“2”。所以MALLET的PR条件要乘以“1/2”才和TROUS一致,而这个因子“1/2”正好被分配到两个滤波器上,所以是SQRT(2)/2。

再次,在每一层的下一层,滤波器中间要插值0。为什么?从谱上看,这是小波最经典的物理意义。数字信号一个周期的频谱范围为[-PI PI],MALLAT算法的低通滤波[-PI/2 PI/2],高通滤波[-PI -PI/2] U [PI/2 PI],则滤波后低频分量频谱范围[-PI/2 PI/2]。这时注意“开始抽取,频谱展宽”,又回到源信号频谱[-PI PI],然后再低通、高通滤波,周而复始。(小波包的问题顺便也说一下,实际上将高频抽取,频谱展宽后,发生了频谱颠倒现象,论坛里对此有精彩讨论,对此不再赘述。)而多孔呢?情况变了。低频分量始终是[-PI/2 PI/2],若低通滤波器仍是[-PI/2 PI/2],高通滤波器[-PI -PI/2] U [PI/2 PI],岂不是有些可笑吗?于是“滤波器插值”极其精妙的登场。低通和高通滤波器频谱变窄,低通[-PI/4 PI/4],高通[-PI/2 -PI/4] U [PI/4 PI/2],这下物理概念对了。那多孔有没有小波包呢,留给大家探讨。


连续小波变换的概念、操作、及时间尺度图的显示


1。连续小波的概念。就是把一个可以称作小波的函数(从负无穷到正无穷积分为零)在某个尺度下与待处理信号卷积。改变小波函数的尺度,也就改变了滤波器的带通范围,相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。本质上,连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。

2。连续小波是尺度可连续取值的小波,里面的a一般取整数,而不像二进小波a取2的整数幂。从连续小波到二进小波再到正交离散小波,其实就是a、b都连续,a不连续、b连续,a、b都不连续的过程。操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶),多孔(a trous),MALLAT。在MATLAB里,也就是CWT,SWT,DWT。SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。

3。从冗余性上:CWT>SWT>DWT,前面两个都冗余,后面的离散小波变换不冗余。

4。从应用上:CWT适合相似性检测、奇异性分析;SWT适合消噪,模极大值分析;DWT适合压缩。

5。操作。就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积,再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数,多个尺度就是一个矩阵,这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。

6。显示。“不要认为工程很简单”。我的一个老师说过的话。小波系数的显示还是有技巧的。很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。第一步,一般将所有尺度下的小波系数取模;第二步,将每个尺度下的小波系数范围作映射,映射到你指定MAP的范围,比如如果是GRAY,你就映射到0-255;第三步,用IMAGE命令画图;第四步,设置时间和尺度坐标。MATLAB是个很专业的软件,它把这些做的很好,但也就使我们懒惰和糊涂,我是个好奇心重的人就研究了下。里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起,就是WCODEMAT,有兴趣的同学可以看看

 

 

 

时频分析与小波变换的发展历程
傅立叶分析的发展历程
1807年,法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示,开创了傅立叶分析。
(1)操作过程:从数学角度而言,对一个函数进行傅立叶变换(Fourier Transform,FT)。从信号处理的角度而言,对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。
(2)优点:能够准确刻画平稳信号在整个 时(空)域的频率性质。
(3)缺点:不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系,即FT在时域没有任何分辨率,无法确定信号奇异性的位置。
1946年,Gabor提出了短时傅立叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT)。
(1)操作过程:对信号进行加窗,再对加窗后的信号进行傅立叶变换,从而得到信号在局部区域的频谱。
(2)优点:能够分析信号局部频域特征。
(3) 缺点:由于STFT中时间窗的宽度与频率无关,它仍然是一种恒分辨率分析。
1948年,Ville提出了维格纳-威尔分布(Wigner-Ville Distribution,WVD),并引入时频信号分析。
(1)操作过程:信号中心协方差函数的傅立叶变换。
(2)优点:具有对称性、时移不变性、真边缘性、平均瞬时频率等优良性质,WVD的时频分辨率比STFT的分辨率高。
(3)缺点:存在交叉干扰项(Cross-Term Interference,CTI),这是二次型时频分布的固有结果,大量的CTI会淹没或严重干扰信号的自项,模糊信号的原始特征。
 
小波分析的发展历程
一、    小波分析
1910年,Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基,即Haar正交基。
(1)操作过程:Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
(2)优点:Haar小波变换具有最优的时(空)域分辨率。
(3)缺点:Haar小波基是非连续函数,因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年,Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论,(即L-P理论:按二进制频率成分分组,其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状),这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年~1962年,Calderon等人将L-P理论推广到高维,建立了奇异积分算子理论。
1965年,Calderon发现了著名的再生公式,给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年,Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年,Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时,给出了Besov空间的一组基。
1981年,Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基,对Haar正交基进行了改造,证明了小波函数的存在性。
1981年,法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年,法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年,Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性(即光滑性)的正交小波基时,意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基(即Meyer基),从而证明了正交小波系的存在。
1984年~1988年,Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数:Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年,Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中,提出了多分辨率分析的概念,统一了在此前的所有具体正交小波的构造,给出了构造正交小波基的一般方法,提出了快速小波变换(即Mallat算法)。它标志着第一代小波的开始?
(1)操作过程:先滤波,再进行抽二采样。
(2)优点:Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。
(3)缺点:以傅立叶变换为基础,直接在时(空)域中设计滤波器比较困难,并且计算量大。
1988年,Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基(即Daubechies基)。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数,并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年,Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲,引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视,将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1992年,Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
       1992年3月,国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊,全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展,从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年,Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年,Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
(1)操作过程:利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。
(2) 优点:具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
1992年,Coifman和Wickerhauser提出了小波包(Wavelet Packet,WP)分析。
(1)操作过程:不仅对低通子带进行分解,而且也对高通分量分解,从而聚焦到感兴趣的任意频段。
(2)优点:突破了小波分析对信号频带进行等Q划分的局限性。
(3)缺点:最优基的搜索问题
1992年,Zou等提出了多带小波(M-band Wavelet)理论,将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。
基于“二带”小波变换的多分辨率分析中,尺度函数对应一个低通滤波器,而小波函数对应一个高通滤波器。“二带”小波变换把信号分解成不同的通道,而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的,因此高频通道具有较宽的带宽,而低频通道具有较窄的带宽。 
1993年,Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波(Multi-Wavelet)理论框架。
(1)操作过程:将单小波中由多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成,以此获得更大的自由度。
(2)优点:
1994年,Geronimo等提出了多小波变换(Multi-Wavelet Transform,MWT),将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
(1)操作过程:小波函数的构造是由多个尺度函数完成的。
(2)优点:与二带小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比,多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、利普希茨Lipschitz连续性(消失矩)等特性。——发展中
         1991年,Alpert用多项式构造了第一个多小波。
               Geronimo等利用分形插值函数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1995年,Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案(Lifting Scheme)。它标志着第二代小波的开始。
(1)操作过程:先将原始离散样本信号进行奇偶剖分,然后对奇偶样本点进行滤波处理。
(2)优点:所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。具有运算速度快、对内存需求量小、能实现整-整变换等特点。
(3)缺点:对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征,小波不是表示图像的最优基。
 
 
小波变换的局限性:
1)二维小波变换只有2.5个方向选择性。
小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基(能有效表示信号的零维奇异特征,反映奇异点的位置和特性),但是难以表示更高维的几何特征。
2)二维小波变换的基函数都是各向同性的。
二、超小波分析(X-let,或多尺度几何分析)
1、自适应多尺度几何分析——指图像变换的基函数随图像内容变化而变化
1997年,Meyer和Coifman提出了Brushlet变换,即一种自适应频带分割方法。
(1)操作过程:
(2)优点:非常适合描述周期纹理图像。
(3)缺点:对于分片光滑图像的边缘不能提供稀疏表示。
1999年,美国学者Donoho提出了楔波(Wedgelet)变换。
(1)操作过程:Wedgelet是定义在正方形区域上的分片二值函数,该区域被一条直线分成两个楔块,直线的方向可以根据边缘的方向调节,用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet可以逼近图像的边缘轮廓。
(2) 优点:使用多尺度Wedgelet对图像轮廓进行分段线性近似,能较好地捕捉图像中的“线”和“面”的特征。
(3)缺点:没有基于临界采样的滤波器组(临界采样对于压缩是很方便的)。
1999年,美国斯坦福大学的David L. Donoho教授提出了小线(Beamlets)变换。
(1)操作过程:以各种方向、尺度和位置信息的小线段为基本单元建立小线库,沿小线库中的小线段对目标图像进行线积分产生小线变换系数,以小线金字塔方式组织变换系数,再以小线图结构为驱动从小线金字塔中提取小线变换系数,从而实现多尺度分析。
(2)优点:对于处理强噪背景的图像有无可比拟的优势。
(3)缺点:小线库(字典)、小线金字塔扫描等小线变换的前期准备工作过于庞大,需要简化以利于研究。
2000年,法国学者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet变换。
(1)操作过程:根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块,变化剧烈的区域用多一些的小矩形块分割,而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。对每一个矩形块应用和边缘同向的几何流对其进行描述。把分割方式和几何流模型作为参数,去优化一个给定的目标函数,从而得到该图像的最优表示。
(2)优点:能够自适应地跟踪图像的几何正则方向,适合图像压缩应用。能够对图像的不同变化区域给以不同的处理,并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念,转而采用“几何流”这样一个反映图像连续区域变化的概念。
(3)缺点:没有基于临界采样的滤波器组。
2001年,Cohen和Matei提出了边缘自适应多尺度变换(Edge-Adapted Multiscale Transform)。
(1)操作过程:基于边缘方向检测的非线性多尺度变换。
(2)优点:用于图像压缩,重构图像边缘处的视觉效果明显优于小波变换。
2003年,Wakin等提出了Wedgeprint的图像稀疏表示方法。
(1)操作过程:利用Wedgelet字典(Wedgelet Dictionary)来描述图像边缘产生的小波系数。
(2)优点:能够得到比小波和Wedgelet更为稀疏的图像表示方法。
2005年,Peyre和Mallat提出了第二代Bandelet变换。
(1)操作过程:普通的二维小波变换+几何正交投影。
(2)优点:不需要计算几何流,算法更加简洁快速。
2005年,Velisavljevic等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlets。
(1)操作过程:利用拉格朗日优化算法对图像进行最优分块操作,每块图像采用不同方向的Directionlets来表示。
(2)优点:各向异性基函数Directionlets在沿着任何两个有着合理斜率的方向上都有方向消失矩(DVM)。 
 
   
2、非自适应多尺度几何分析——指图像变换的基函数与图像内容无关
1998年,Candès和Donoho提出了连续脊波(Ridgelet)变换。
(1)操作过程:利用Radon变换将一维奇异特征(线奇异)映射为零维奇异特征(点奇异),然后再进行小波变换。
(2)优点:Ridgelet变换是表示具有线奇异性的多变量函数的最优基。
(3)缺点:对于图像曲线边缘的描述,其逼近性能只相当于小波变换。
  1998年,Donoho提出了正交Ridgelet变换的构造方法。
1999年,Candès提出的单尺度Ridgelet变换实现了含曲线奇异的多变量函数的构造方法。
2000年,Do和Vetterli提出了一种离散Ridgelet变换。
 
1999年,Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波(Curvelet)变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。
操作过程:子带滤波+多尺度局部Ridgelet变换。
2002年,Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。
操作过程:频域子带滤波+离散局部Ridgelet变换(由算法简单的伪极坐标(Pseudo-polar)FFT变换实现)。
第一代Curvelet变换的共同点:
(1)优点:对于具有光滑奇异性曲线的目标函数提供了近乎最优的表示。
            Curvelet能够达到的MSE衰减率为O(N-2(logN)1/2)。
(2)缺点:在实现时首先用子带分解算法对原始图像进行分解,完成对图像子带滤波的功能;然后对不同的子带图像进行分块,再对每个分块进Ridgelet变换。为了避免分块效应,块与块之间必须有重叠,因此其实现算法的冗余度较高。并且,没有基于临界采样的滤波器组。
 
2002年,Candès等人提出了第二代Curvelet变换。
(1)操作过程:无需分块操作和Ridgelet变换。
(2)优点:实现简单、便于理解、算法快速。
(3)缺点:没有基于临界采样的滤波器组。
2005年,Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法:1)非均匀空间抽样的二维FFT算法(Unequally-Spaced Fast Fourier Transform,USFFT);2)Wrap算法(Wrapping-Based Transform)
 
2002年,Do和Vetterli提出了Contourlet变换。
(1)操作过程:多尺度分解+方向滤波器(Directional Filter Banks,DFB,也即2D-DFB)。首先采用拉普拉斯金字塔(Laplacian Pyramid,LP)式结构对图像进行多尺度分解以捕获奇异点,再由DFB将各尺度的细节子带进行多方向分解,从而将分布在同一尺度同一方向的奇异点合并成一个系数。为满足各向异性尺度关系,各尺度的方向子带的数量应取不同值,每隔一个尺度,方向数加倍。
(2)优点:它能用不同尺度、不同频率的自带更准确地捕获图像中的分段二次连续曲线,从而使表示图像边缘的Contourlet系数能量更加集中。
            Contourlet能够达到的MSE衰减率为O(N-2(logN)3)。
(3)缺点:没有基于临界采样的滤波器组。
 
2007年,Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组(N-dimensional Directional Filter Banks,NDFB)的Surfacelet变换。
(1)操作过程:多尺度分解(采用新的塔式结构)+NDFB(三维信号时为3D-DFB)。首先对信号进行多尺度分解以捕获奇异变化,接着由NDFB将同一方向上的奇异变化合成为一个系数。
(2)优点:有效地捕捉和表示高维信号中的曲面奇异。
1992年,Bamberger和Smith提出无冗余且能完全重构的方向滤波器(Directional Filter Banks,DFB,也即2D-DFB),DFB能有效地对二维信号进行方向分解。具有不可分性,把DFB从二维扩展多维,至今没有完美的实现方法。
 
2007年,Yue Lu和M.N. Do提出了多维方向滤波器组设计方法——NDFB。采用一种简单、高效的树状结构,能够对任意维的信号进行方向分解。  

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